正弦定理、余弦定理（8題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（解析版）

專題21正弦定理、余弦定理7題型分類

彩題如工總

彩先例寶庫(kù)

i.正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

=廬+02-22CCOSA;

a_____b_____c___

內(nèi)容sinA_sinB-sinC~2R廬=。2+〃2-2。加05B;

/=層+62-2〃/7cosC

(l)a=2EsinA,

b=2RsinB,

〃+，一/

c=22sinC；cosA—2bc；

a

(2)sinA=2^,c2+tz2—/?2

變形cosB-2ac；

bc

sinB=2R,sinC=層+一—。2

cosC~lab

(3)。：b：c

=sinA:sin3：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角

Cccc

圖形

薩一射

ABAA，B

關(guān)系式〃=bsinAbsinA<a<ba,ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

(1)5=%兒(總表示邊〃上的高)；

(2)S=T〃bsinC=；〃csinB=^bcsinA；

(3)S=；r(〃+/?+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

4.在△ABC中，常有以下結(jié)論：

(1)ZA+ZB+ZC=K.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)6Z>/?<4A>B<4sinA>sinB,cosA<cosB.

,???.A+BCA+B.C

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=_tanC；sin--=cosy；cos-,-=sin,

⑸三角形中的射影定理

在AA3c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=/?cosA+tzcosB.

(6)三角形中的面積Sp(p—a)(p—b)(p—c^p=^a+/?+c)\

5.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂目標(biāo)

/視線

鉛的角水平

平面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線垂

仰角與俯角線道南一視線

上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下、目標(biāo)

方的叫做俯角視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到北

35。東

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位

角。的范圍是0°W8<360。

北

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角例：（1）北偏東a：

銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）a北|

（2）南偏西a：/al

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。

X

為坡角）;坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比

坡角與坡比

、,h

叫坡比（坡度），即i=7=tan。I

彩得題被籍

（一）

利用正弦定理、余弦定理解三角形

解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊

的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

題型1:利用正弦定理、余弦定理解三角形

1-1.（2024?天津）在AABC中,角AB,C所對(duì)的邊分別是c瓦c.已知〃=風(fēng)力=2,44=120。.

⑴求sinB的值；

（2）求c的值；

（3）求sin（B-C）的值?

【答案】⑴巫

13

⑵5

⑶一拽

26

【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出;

（2）根據(jù)余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方關(guān)系求出cosBcosC,即可由兩角差的正弦公式求出.

a_bA/392冷刀《日.nA/O

【詳解】（1）由正弦定理可得,即0N------=-----f角牛于?sinB=------

sinAsinBsin120°sinB13

（2）由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,即39=4+/_2x2xcx

解得：c=5或。=一7（舍去）.

（1c>/39

（3）由正弦定理可得，--=^-,即=—,解得：sinC=而4=120。

sinAsinCsin120°sinC26

所以反C都為銳角，因此cosC=、1^=3屈c(diǎn)osB=Jl--：2屈

V5226V1313

,、J133A/392屈5岳773

sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=~^~>--------X--------=-

--1326~26~'

jrSir

12⑵24高三上?江西贛州?期中）在AABC中,角ABC所對(duì)的邊分別為。，瓦J若〃=4,A="C=1r

則6=（）

A.2#>B.2石C.2強(qiáng)D.6

【答案】C

【分析】三角形三內(nèi)角和為兀，故可求角3,利用正弦定理即可求6.

【詳解】因?yàn)锳=JrC=,5jr,所以B=7r-A-C=1IT,

.?71彳6

4xsin—4x—

abasinB

因?yàn)?所以。=3卡=2瓜

sinAsinBsinA

2

故選：C.

1-3.（2024?河南?三模）在"BC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,若sinA=sin3cosC且0=26，A=~,

6

貝ij一￡±￡一=（）

sinC+sinA

A.8A/3B.4/C.8D.4

【答案】D

【分析】由sin（3+C）=sin3cosc可得cos3sinC=0,求出。=4，利用正弦定理可得答案.

【詳解】在△ABC中，由sinA=sinBcosC可得sin（B+C）=sinBcosC,

即sinBcosC+cosBsinC=sin5cosC

所以cosBsinC=0,因?yàn)?,C￡（0,兀）,

所以sinCw0,且cos3=0,

所以5=又A=?,可得C=1,

263

c+a_c_2A/3

由正弦定理可得sinC+sinAsinC

故選：D.

彩健題海籍

(二)

正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化南：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A+2+C=兀這

個(gè)結(jié)論.

2.三角形面積公式的應(yīng)用原則

(1)對(duì)于面積公式S=5bsinC=2<?csinB=^bcsinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角

形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角

度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若

研究最值，常使用函數(shù)思想.

題型2:三角形的形狀判斷

ahc

2-1.(2024IWJ二?全國(guó)?專題練習(xí))在AABC中，設(shè)命題p：.=——-=―—―,命題q：AABC是等邊二角

sinCsinAsinB

形，那么命題p是命題q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由正弦定理可知三二二二三,".i'2..abc

yf~|——

smAsinBsmCsinCsinAsinB

即a=tc,b=ta,c=bt,

即abc=t3abc,即t—1,

則a=b=c,即△ABC是等邊三角形，

jrGhC

若ULBC是等邊三角形，則A=B=C=g,則」\=二=；=1成立,

3sinCsmAsinB

即命題P是命題q的充要條件,

故選：C.

22(2024?甘肅酒泉?三模)在AABC中內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為。，瓦c,若《=包生￡場(chǎng)，則疑。的形

bsinBcosA

狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)已知等式可得(/-62),2+62—C2)=0,即可判斷&4BC的

形狀.

11

**2_22A-r—h

【詳解】由正弦定理，余弦定理及片cosAsinSu從cosBsinA得，4，b=b-"

2bc2ac

:.a2[b1+c2-a2)=Z?2(a2+c2-b2^,即a4-b4+c1{b2-a2)=0,

貝I](a2+/72)(a2-Zj2)+c2(Z?2-a2)=0,gp(a2-Z?2)(a2+b2-c2)=0,

.?.。=3或1+62=°2,以48。為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

2-3.(2024?四川綿陽?三模)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且c—AosA<0,則AABC

形狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】使用正弦定理和兩角和的正弦公式花間即可求解.

【詳解】c-Z?cosA<0,

所以由正弦定理可得2RsinC—2Rsin8cosA<0

所以sinC-sinBcosA<0,

所以sin（A+3）-sin3cosA<0,

所以sinAcosB+cosAsin8-sinBcosA<0,

所以sinAcosB<0,

在三角形中sinA>0,

所以cosB<0,

所以3為鈍角，

故選：C.

2-4.（2024高一下?江蘇蘇州?期中）在AASC中，若?叱/,貝Ua4BC的形狀為（）

c?cosBl-cos2C

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷AASC的形狀.

b-cosCsinBcosCl-cos2B2sin2B

【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知,

c-cosBsinC-cosBl-cos2C2sin2C

即_sin',整理為sinBcosB=sinCeosC,

cosBsinC

即Lsin28=4sin2C,得2B=2C,或23+2C=180°n3+C=9(T,

22

所以AABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

故選：D

2-5.（2024高一下?陜西西安?期中）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若"=c?+/一.,

且sinA=2sinC,則AABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出角B,再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出人，即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?c2+a2—ca=c2+a2—2cacosB,

所以cos3=，,

2

又3?0,兀)，所以8=(

因?yàn)閟inA=2sinC,由正弦定理得a=2c,

貝ljb*2*6=c2+a2-ca=c2+4c2-2c2=3c2,

則k+。2=",

7T

所以AABC為有一個(gè)角為§的直角三角形.

故選：B.

題型3：三角形的面積、周長(zhǎng)

3-1.(2024高三上?廣東?期末)在44BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

2檔acsin3=(a+6+c)(a+b-c).

⑴求角C的大??；

(2)若a+b=7,“1BC的面積為2班，求AABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)C=1

⑵12

【分析】(1)利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；

(2)先利用面積公式求必，再利用余弦定理求。，則面積可求.

【詳解】(1)因?yàn)?gacsin5=(a+Z?+c)(a+b—c)=a2+/+2"—。2,

又S=—acsinB=—absinC,

22

所以2點(diǎn)〃。sinC=a2+b2+lab-c2,

整理得出sinC-l="+"———=cosC，

lab

即

因?yàn)閛<c<兀，所以一〈.，

o66

所以c—g=

66

則c.；

（2）由（1）得S=工absinC=走~ab=2布,

24

得而=8,

21

所以。2="+/-2abcosC=+-2ab-2abcosC=49-16-16x—=25,

所以c=5,

所以AABC的周長(zhǎng)為12.

^22_2

3-2.（2024?全國(guó)）記AABC的內(nèi)角A5,C的對(duì)邊分別為〃也c,已知^--------=2.

cosA

⑴求be；

,acosB-bcosAb〕

⑵若——―r—-二1，求金。面積?

amsB+bcosAc

【答案】（1）1

⑵W

4

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出.

【詳解】（1）因?yàn)椤?62+C2—26CCOSA,所以』2+C?-J26CCOSA=2仆2,解得：bc=l.

cosAcosA

/、,十分…EfQcos3-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得------------=—;——-————---—

acosB+bcosAcsinAcosB+smBcosAsine

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB

"sin（A+B）-sm（A+B）-sin（A+B）一'

變形可得：sin（A-B）-sin（A+B）=sinB,即一2cosAsin5=sin5,

W0<sin,所以cosA=—」，又OVAVTI,所以sinA=走，

22

故zABC的面積為S%c=；bcsinA=gxlx*=*.

3-3.（2024?浙江）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=&c,cosC=g.

⑴求sinA的值；

⑵若b=ll,求的面積.

【答案】⑴

5

(2)22.

【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC=以及4a=可解出。，即可由三角形面積公式S=（a6sinC求

2ab2

出面積.

34I—

【詳解】（1）由于cosC=丁.0<C<71,則sinC=1.因?yàn)?〃=J^c,

由正弦定理知4sinA=J^sinC,則sinA=￥^sinC=.

21621[a

（2）因?yàn)?a=&c,由余弦定理，得「a2+b2-c2a'+^-Ja'口一53,

2ab22a2a5

4

即〃2+6〃-55=0,解得a=5,[fusinC=—,b=ll,

114

所以AABC的面積S=—H?sinC=—x5xllx—=22.

225

7T

3-4.（2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）在AASC中，。為上的中點(diǎn)，滿足/A4O+/AC2=升

⑴證明：AABC為等腰三角形或直角三角形；

（2）若角A為銳角，E為邊AC上一點(diǎn)，AE=2EC,BE=2,BC2,求AABC的面積.

【答案】（1）證明見解析；

（2）返.

4

【分析】（1）設(shè)NACB=c，ZABC=0,由正弦定理可得黑=絲2,黑=吧7，

BDcosaCDcosp

根據(jù)二倍角正弦公式和正弦函數(shù)性質(zhì)證明C=乃或a+S=T即可；

（2）由余弦定理列方程求CE,AC,再求/ACB的余弦值和正弦值，再利用三角形面積公式求解.

TT

【詳解】（1）因?yàn)?姑。+/472=不，

JT

所以/C4Q+/A3C=兀一N3AD—NAC3=—,

2

設(shè)NACB=(z,AABC^p,

TTTT

貝|J/5A￡)=——a,ZCAD=——B,

22

ADBDBD

在△ABZ)中，由正弦定理可得sin4.(7i)cosa,

(2)

所以處=包也，

BDcosa

AD_CD_CD

在△ACD中，由正弦定理可得sinasin［工cos廣，

又BD=CD,

—,sinBsina

所以一~=-

cosacosp

所以sin/7cos/7=sinacosa,

所以sin2a=sin2/3,

所以2。一2/7=2E或2a+2月=2也+九，左eZ,

又a,〃e(O,兀)，a+y0G(O,7i),

JT

所以□=;?或a+夕=5,

TT

即？ACB?ABCZACB+ZABC=-,

2

TT

所以？ACB?ABC或N8AC=—,

2

所以AASC為等腰三角形或直角三角形；

(2)因?yàn)榻茿為銳角，由(1)可得NABC=/ACB,

所以AB=AC,設(shè)A3=3x,貝l|AC=3x,

因?yàn)锳E=2EC,所以CE=x,

f'R2+CF2-RF2

在中，由余弦定理可得cos/3CE=——

2CBCE

在V3c4中，由余弦定理可得cos/BCA=+。下一

2CBCA

XBE=2,BC=A/5

所以5+/-45+91-9/

2x^/5xx2xy/5x3x

所以x=,cosZBCA=,

312

所以sin=

12

所以44SC的面積S=LcB-CAsin/2CA=LxJ^xJ^xM^=叵.

-22124

3-5.（2024?北京）在AABC中，。+6=11,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求:

(0)a的值:

(ffl)sinC和AABC的面積.

條件①：c=7,cosA=-y；

條件②：cosA=icosB=-^.

8lo

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選擇條件①（0）8（0）sinC=/,S=6g;

選擇條件②（回）6（回）sinC='，S=^~.

【分析】選擇條件①（0）根據(jù)余弦定理直接求解，（回）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,再根據(jù)正弦定

理求sinC,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；

選擇條件②（0）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得sinA,sing,再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（回）根據(jù)兩角和正弦

公式求sinC,再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.

【詳解】選擇條件①(回)：c=7,cosA=-g,a+b=ll

222222

a=b+c-2bccosAa=(ll-?)+7-2(ll-a)-7-(-1)

a=8

(回),/cosA=,A￡(0,TT)「.sinA=Jl—cos?A=＞近

77

「杷

___a____=_____c___,___8____=____7____?c.in(=____

由正弦定理得：sinAsinC..迪sinC,2

S=-tesinC=-(ll-8)x8x^=6>/3

222

ig

選擇條件②(團(tuán))vcosA=-,cosB=一,A,Be(0,TI)

816

sinA=-cos2A=,sinB=Vl-cos2B=§幣

816

__a__—__b___■_a___—_1_1_-_6_/?0—,6

由正弦定理得：sinAsin33幣5幣

~S~~L6~

(回)sinC=sin(A+5)=sinAcosB+sinBcosA=x—+x—=-

8161684

c1A.「1,、、久、久幣15a

S=-basmC=—(ll-6)x6x——=-------

2244

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

3-6.(2024?全國(guó))在AABC中，已知NA4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinNABC；

（2）若。為8C上一點(diǎn)，且NB4D=90。，求AWC的面積.

【答案】（得;

(2)f

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為BC=g,然后由余弦定理可得cosB=邁，最后由同角

14

三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin5=—；

14

（2）由題意可得沁^=4,則/ACD=：S-BC，據(jù)此即可求得八包。的面積.

【詳解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2—2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcos120°=7,

r-i.i八6/2+c2—b27+4—15^/7

貝1JBC=J7,cosB=--------------=----------=---------，

lac2x2xj714

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得浸迪----------------=4,

△ACD—xACxADxsin30°

2

則Soo=（入詆=（x]gx2xlxsinl2oj=*.

3-7.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知AABC中角A,3,C的對(duì)邊分別為a,6,c,acosC+V3asinC-b-c=0.

⑴求A；

（2）若°=屈，且AABC的面積為3相，求AABC周長(zhǎng).

【答案】⑴巳

（2）7+5/13

【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；

（2）由面積公式和余弦定理可得答案.

【詳解】（1）由acosC+6asinC-6-c=0和正弦定理可得sinAcosC+VSsinAsinC-sinB-sinC=0，

sinAcosC+百sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0,

因?yàn)?<C<〃，所以sinCwO,

所以出sinA_COsA=l，A*e

A7171,兀

A——/.A=一

66f3

⑵S^ABC=^bcsinA=^bc=3yf3,be=12,

又a2=吩+C1—2Z?ccosA={b+cf—2bc—bc=13,

：.b+c=l，

Q+Z?+C=7+Jl3，

△ABC的周長(zhǎng)為7+g.

題型4:正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用

4-1.（2024?全國(guó)）記AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知sinCsin（A-5）=sinBsin（C-A）.

⑴若A=26,求C；

(2)證明：2/=/+c2

【答案】⑴?；

O

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意可得，sinC=sin(C-A),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinC(sinAcos5-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再

根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出.

【詳解】(1)由A=25,sinCsin(A-B)=sinBsin(C—A)可得，sinCsinB=sini5sin(C-A),jfu0＜B＜—,

所以sinBE(0,1),即有5桁。=5畝(。-4)＞。，而0＜。＜兀,0＜。一4＜九，顯然CwC—A,所以，C-bC-A=7i,

5兀

而A=25,A+B+C=7i所以C=—.

f8

(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sinB(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=bccosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

+/一后卜*/+C2_/)+C2"2)_g(/+廿_/)，化簡(jiǎn)得：

2/=從+?2,故原等式成立.

4-2.(2024?重慶?三模)已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b,c,sin(A-B)tanC=sinAsinB.

.._ixCl2+C2

⑴X求，，；

b

2

⑵若cos3=§,求sinA.

【答案】⑴3

【分析】(1)將切化弦，再由差角公式得到sinAcos_BsinC—cosAsin5sinC=sinAsinBcosC,利用正弦、

余弦定理將角化邊，即可得證；

（2）由余弦定理及（］）的結(jié)論得到〃=c’即可得到三角形為等腰三角形,利用二倍角公式公式求出

再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)閟in(A—5)tanC=sinAsinK,

所以sin(A-B)-----=smAsinB,所以sin(A-B)sinC=sinAsinBcosC,

cosC

即sinAcosBsinC-cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定理可得accosB-bccosA=abcosC，

由余弦定理可得3=1-a2+b2-c2

=ab-

lab

所以々2+H/_02+.2=/+,

即4+，=3火

所以2=2=3.

b2

(2)由題意可知cos5="———,又片+02=3^2,可得/+。2—2〃0=0,

2ac3

所以〃=c,即AABC為等腰三角形,

,251_2板陽3J30fBV30

由cosB—2cos1-~國(guó)牛彳守cos—=----cos——--------,

232626

因?yàn)锽e］。,，，所以所以cos［=*

71BB730

所以sinA=sin-=cos—=----

22~26

4-3.（2024?全國(guó)?三模）已知〃，b,c分別為的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊,a2+c2=ac\3cos2--sin2—

AABCI22

（1）求證：a,b,c成等比數(shù)列;

⑵若而鬻而求c。姐的值.

【答案】⑴證明見解析

嗎

【分析】（1）使用三角恒等變換及余弦定理化簡(jiǎn)得

（2）結(jié)合匕2=%及正余弦定理可求cosB的值.

【詳解】（1）因?yàn)镸+c?

1+cosB1-cosB

所以〃2+/=〃C3x

22

所以/+02=々0(I+2cosB).

a2+c2-b2

根據(jù)余弦定理，得l+2x

2ac

所以4+。2=。。+々2+。2-〃2.

所以〃=QC.

所以〃，。，C成等比數(shù)列.

^22_,2

+C2—CLCa?+/1

(2)由余弦定理，得cosBl

laclaclac2

sin米

因?yàn)閞所以由正弦定理，得上】

sin?A+sin2c

3

所以

4

141

所以cosB=—x--------

2326

題型5:與平面幾何有關(guān)的問題

5-1.（2024高三上?北京豐臺(tái),期末）在團(tuán)ABC中，a=&,A=g.

⑴求C的大?。?/p>

（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使“LBC存在且唯一確定，并求出AC邊上的中線的長(zhǎng)度.

條件①：a=2b；條件②：團(tuán)ABC的周長(zhǎng)為4+26；條件③：回ABC的面積為6.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【答案】⑴￡

0

⑵選擇條件②或③，不

【分析】（1）由正弦定理可解得；

（2）條件②由余弦定理可得；條件③由三角形的面積公式和余弦定理可得.

【詳解】（1）在AABC中，因?yàn)槿?三;，又。=辰,所以sinA=J^sinC.

sinAsinC

因?yàn)锳=T27r，所以sinC=；I.

7TTT

因?yàn)?<c<W，所以c=$.

36

⑵選擇條件②：因?yàn)锳/RC中，A=營(yíng)，C=gA+B+C=n,

36

所以8=9即AABC為等腰三角形，其中b=c.

0

因?yàn)椤?技，所以。+6+。=?+28=4+26.

所以6=2.

設(shè)點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn)，在△ABO中，AD=\.

A

因?yàn)椤鰽BD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

2-rr

=22+12-2X2X1XCOS——=7,

3

所以BD=沂,即AC邊上的中線的長(zhǎng)度為⑺.

選擇條件③：因?yàn)椤癐BC中，A=§,C=2，A+B+C=7t,

所以8=9即AABC為等腰三角形，其中b=c.

O

因?yàn)锳ASC的面積為6，即S.c=g6csinT=石，

所以b=c=2.

設(shè)點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn)，在△ABD中，AD=1.

因?yàn)椤鰽BO中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

=22+12-2x2xlxcos—=7,

3

所以BD=布,即AC邊上的中線的長(zhǎng)度為近.

由題可知〃=廊，故①不合題意.

52（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別為。也c,已知

A

cos23cos2c+1-2cos92—=sin2Bsin2C.

2

⑴求A的值；

（2）若AABC的面積為3區(qū)a=2岳,D為邊BC的中點(diǎn)，求4）的長(zhǎng).

【答案】⑴號(hào)2兀

⑵近

【分析】（1）由兩角和的余弦公式、二倍角余弦及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果，

（2）根據(jù)三角形面積公式、余弦定理及平面向量的模進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.

AA

【詳解】（1）13cos2Bcos2C+1=2cos2—+sin2Bsin2C,所以cos（25+2C）=2cos2萬一1,

所以cos（2兀-24）=cosA,所以2cos2A-l=cosA,

所以cosA=-；或cosA=l（舍去）.因?yàn)??0,兀），所以4=等.

（2）因?yàn)椤癇C的面積為3VL所以;bcsing=3有，所以乩=12.

因?yàn)閍=2y/l3）所以+c'—2bccos=52,即b1+c2+be=51>

所以62+/=40.因?yàn)椤Ｊ荁C的中點(diǎn)，所以AD=5（A_B+AC）,

222

所以=1+C+2Z?CCOSA）=I（Z?+c-&c）=7,所以國(guó)=4,

故AD的長(zhǎng)為77.

5-3.（2024?湖南株洲?一模）在3c中，8c=2右，點(diǎn)。在AB邊上，且NBCD為銳角，CD=2,/\BCD

的面積為4.

⑴求cosNBCD的值；

（2）若A=30。，求邊AC的長(zhǎng).

【答案】⑴cosN8cz>=坐

（2）AC=4

【分析】（1）借助面積公式表示出△38面積即可計(jì)算得sin/BCD,借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可得

cosZ.BCD；

（2）由余弦定理可計(jì)算出80,由勾股定理的逆定理可得CDLAB,結(jié)合4=30。計(jì)算即可得邊AC的長(zhǎng).

【詳解】（1）s--BCxCDsinZBCD--x2^x2sinZBCD=4,

i^smZBCD=^=—,又N3CD為銳角，

2<55

故cos/BCD=Jl一sin?/BCD=卜乎=%

BC

（2）BD2=BC2+CD2-2BCXCDcosZBCD=（2^）2+22-2x2^5x2x

=20+4-8=16,故5￡）=4,

WBUr+CD1=16+4=20=BC2,故CD_