指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................4

高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)塞的運算..................................4

高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念......................................6

高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象......................................7

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象...................................7

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)..............................8

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題..............................9

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用......................................10

高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域...............................16

高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域...............................17

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間［私用上的值域..........................17

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域....................................18

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù).......................19

高頻考點六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.....................................22

角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù).........................22

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式...........................23

高頻考點七：指數(shù)函數(shù)的最值.....................................26

角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域................................26

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)...............................28

第四部分：新定義題(解答題)......................................32

第一部分：基礎(chǔ)知識

(1)概念：式子布叫做根式，其中九叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：

①=a("eN*且”>1)；

②當(dāng)〃為奇數(shù)時，=當(dāng)〃為偶數(shù)時，=\a\=[a，a~°^

"-a,a<0

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

m___

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義是^J="(a>0,7%/eN*,且〃>1)；

m

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a：m,neN*且”>1)；

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒有意義.

3、指數(shù)塞的運算性質(zhì)

r+

①a%'=a\a>0,r,5GR）；

②（"）'=a"（a>0,r,seR）；

③(ab)r=a'b'\a>0,b>0,reR).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)/(?=相(。>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)》是自變量，函數(shù)的定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)/(x)=a，的圖象和性質(zhì)

底數(shù)a>\0<a<l

圖象

-二

定義域為R,值域為(0,+8)

性質(zhì)

圖象過定點(0,1)

當(dāng)x>0時，恒有

當(dāng)尤>0時,恒有/a）>i；

0</（x）<l；

當(dāng)尤<o時，恒有0</（%）<1

當(dāng)無<0時，恒有y（x）>i

在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)/（x）=優(yōu)（。>0,且akl）的圖象和性質(zhì)與。的取值有關(guān),應(yīng)分a>1

注意

與0<a<l來研究

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)a=L0產(chǎn)5,6=1。心64=0.6°點，則（c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)對應(yīng)哥、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y=1.01*在R上遞增，則a=1.01°5<6=1。產(chǎn)6,

由y=X0-5在［0,+8）上遞增,則。=1.01。$>c=0.6?.

所以6>a>c.

故選：D

2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知2"=5,log83=b,則4。厘=（）

255

A.25B.5C.——D.-

93

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

14a（2"）25

【詳解】因為2"=5,^=log83=-log23,即2*3,所以4y=*=—=第=不.

34（2第）39

故選：C.

3.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（刈=士，則對任意實數(shù)X,有（）

A./（-x）+/（x）=0B./（-x）-f（x）=0

C.f（T）+/（x）=lD./（一尤）一/（無）=；

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

112X

【詳解】7(-%)+/(%)=------------F=1,故A錯誤，C正確;

l+2-x1+2%1+2,1+2'

%

112尤12-1」

/(-%)-/(%)==1,不是常數(shù)，故BD錯誤;

XXX

1+2-x1+2、1+21+2尤2+12+1

故選：C.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：指數(shù)與指數(shù)塞的運算

典型例題

-2

29

（上?湖北?高一校聯(lián)考期末）計算：

例題1.202427§+7+lg--21g3=

【答案】24

【分析】由指數(shù)幕運算和對數(shù)運算可求.

2

【詳解】27i+

故答案為：24

例題2.（2024上?河南潺河?高一潺河高中期末）計算.

]_

-12

-0.25||3

(1)(0.008Ip-3x(1)°81+3

X

【答案】（1）3

(2)2

【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算法則計算即可;

（2）先將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)累，利用指數(shù)的運算法則計算即可.

]_

i

-12

-0.25[|3

【詳解】（1）（0.008Ip-3x（1）°81+3

X

=(0,3)44)一3Tx34*(95)

（2）W-125+,（-36）2+,（兀一46-芯一兀丫

=［（-5）3］3+（64）Z+|K-4|-（3-K）

=—5+6+4—兀一3+兀=2.

練透核心考點

1.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）化簡求值.

_224

（1）（0.12）。+（|卜］3滬（廝）7（1_何

1+10g32

⑵3+Ig5+log32xlog23xlg2

【答案】①0-2

（2）7

【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式的運算公式，即可化解求值;

（2）利用對數(shù)運算法則和運算公式，化解求值.

［詳解］（1）川2m3胃:乒

=l+-x--3+>/2-l=V2-2；

94

1+Iog32

（2）3+Ig5+log32xlog23xlg2

=3i.3iog,2+lg5+］g2=3x2+lg（2x5）

=6+1=7.

2.（2024上?湖南長沙?高一統(tǒng)考期末）計算下列各式的值：

⑴N-0+0.25入層）;

⑵Ig：+21g2-log24+e叱

【答案】⑴-3

（2）1

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)累的運算法則，化簡求值，即得答案;

（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則，化簡求值，即得答案；

【詳解】(1)原式=一4一1+0.5文(可=-5+白4=一3.

(2)原式=lg|+lg4-2+2=lgl0—2+2=1.

高頻考點二：指數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.(2024上,內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二校考期末)已知指數(shù)函數(shù)/。)=才'(0>0且"l)J(l)=g,則/(-1)=

()

1?

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】A

【分析】先根據(jù)函數(shù)值求出。，再求函數(shù)值即可.

【詳解】f(x)=ax,f(V)=a1=-=^-,:.a=3,

a3

；./(一l)=jT)=a=3.

故選：A.

例題2.(2024上?云南昆明?高一期末)若指數(shù)函數(shù)“X)的圖象經(jīng)過點(2,9),求的解析式及“T)的

值.

【答案】〃力=31/(-1)=|

【分析】設(shè)〃#=爐(。>0,。彳1),由"2)=9可求出。的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得/'(-I)

的值.

【詳解】解:設(shè)指數(shù)函數(shù)〃x)=a，(a>0,awl),則八2)=〃=9,解得。=3,

所以，/(x)=3\

故1)=3-=；.

練透核心考點

1.(多選)(2024?江蘇?高一假期作業(yè))若函數(shù)〃x)=(病+2,”-2)就是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)"，的值為()

A.-3B.1C.-1D.-2

【答案】AB

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.

【詳解】因為函數(shù)〃%）=屐+2加-2）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，

所以蘇+2m—2=1,解得根=1或相=-3.

故選：AB

2.（2024上?山東棗莊?高一?？计谀┤糁笖?shù)函數(shù)＞=/（力的圖象經(jīng)過點12,：J,則/[-鼻=

【答案】1/0.125

O

3

【分析】采用待定系數(shù)法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)所過點可求得函數(shù)解析式，代入X=-=即可.

2

【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)/（力="（。＞0且。中1）,

l

??"（"過點（一2,4],;.1=[,解得：a=4,.-.f（x）=4,

\lo）lo

故答案為：—.

O

高頻考點三：指數(shù)函數(shù)的圖象

角度1:判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象

典型例題

例題1.（2024下?浙江溫州?高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a*與

【答案】D

【分析】分0＜。＜1和。＞1兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,B,當(dāng)。時，函數(shù)＞=優(yōu)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；

又1-。＞0,所以)=1+上三在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,+?)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x=0時，y=^=a＞0,故A和B均錯誤；

對于C,當(dāng)時，函數(shù)y=就在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

又所以y=Y=l+f在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,y)上單調(diào)遞增，故C錯誤，D正確.

x—1x—1

故選：D.

例題2.(2024上?江西宜春?高一校考期末)函數(shù)y=2㈤的圖象是()

【答案】A

【分析】根據(jù)圖象變換可得函數(shù)＞=2用的圖象是由函數(shù)y=2"的圖象向左平移1個單位長度得到的，由此

可得出結(jié)論

【詳解】因為函數(shù)y=2向的圖象是由函數(shù)y=2'的圖象向左平移1個單位長度得到的，

而＞=2,的圖象過點(1,2),且在R上是增函數(shù)，

所以＞=2向的圖象過點(0,2),且在R上是增函數(shù)，

故選：A

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)

典型例題

例題1.(2024?上海?高一專題練習(xí))若函數(shù)y=：+7”的圖象與x軸有公共點，則"Z的取值范圍是()

A.m<—1B.—1<m<0C.m>lD.0<m<l

【答案】B

【分析】>=§產(chǎn)+“與無有公共點，轉(zhuǎn)化為y=（；產(chǎn)與y=一切有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，可得結(jié)果.

【詳解】y=（Jf+機與尤有公共點，即y=（Jf與y=一m有公共點，y=g）Z圖象如圖

可知0<Tn<1—1<777<0

故選：B

【點睛】本題考查了函數(shù)的交點問題，考查了運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題目.

例題2.（多選）（2024?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)=的圖象如圖所示，其中。涉為常數(shù)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>1B.b>0C.0<A<lD.b<0

【答案】AD

【分析】根據(jù)〃x）的單調(diào)性確定a>1,由〃0）=/e（0,l）確定b<0.

由圖知（）為減函數(shù)，故。所以。故正確錯誤;

【詳解】〃尤）fx<5<1,>1,AC

由圖知/（0）=。展（0,1）,所以b<0,故B錯誤D正確.

故選：AD

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

典型例題

例題L（2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)/（尤）="-3+15＞。且的定點

為.

【答案】（3,2）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)即可確定定點的坐標(biāo).

【詳解】因為〃力=/3+1（。＞0且”1）,令彳_3=0,得到X=3,此時y=2,

所以函數(shù)的定點為（3,2）,

故答案為：（3,2）.

例題2.（2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃力=。1+1（。＞0,且awl）的圖象恒過定點P,

則尸的坐標(biāo)為.

【答案】（1,2）

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由函數(shù)可知，當(dāng)x=l時，f（l）=a°+l=2,

即函數(shù)圖象恒過點P（l,2）.

故答案為：（1,2）

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用

典型例題

例題1.（2024下?四川遂寧?高三射洪中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)=-品

?cos尤的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD,由特殊點的函數(shù)值即可排除A.

【詳解】/（X）=（1-37-^）-COSX,則“X）的定義域為R,

l-^.COSX=f-l+

又/(~x)=COS(t)=?cos尤

y+1)I

所以/（尤）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD,

當(dāng)X=7t時，=\OSJT=-1+-^—＜0,故排除A.

I3+1J3+1

故選：B.

例題2.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)〃力=4M-陰在［-3,3］上的大致圖象為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性，結(jié)合了（。）=-1即可判斷得解.

【詳解】依題意，/（-x）=41-%|-eh^=41x|-ew=/（x）,因此函數(shù)/（幻是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱,

排除AB；

又〃0）=-1,選項C不滿足，D符合題意.

故選：D

例題3.（2024上?上海?高一上海南匯中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)＞=|3工-1|的定義域為［區(qū)切，值域為0,；

則b-a的最大值為（）

?4,2

B.log2

A-log3-3C-log3-D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象相關(guān)性質(zhì)和對數(shù)的運算法則進(jìn)行計算即可.

3x-l,x>0

【詳解】由題意得，＞=|3'-1|=

-3x+l,x<0,

作出函數(shù)圖象如圖所示,

令,-1卜；，解得klogsg或X=log3|>

42

則當(dāng)b=log3§,〃=log3§時，人-。取得最大值，

42

止匕時人一a=log3——log3—=log32.

故選：B

練透核心考點

1.（2。24上?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的圖象大致為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性可知函數(shù)”力為偶函數(shù)，結(jié)合賦值法和排除法即可求解.

【詳解】由題可知，2-2嗎0=>"±1，

所以函數(shù)/（X）的定義域為{x|xw±l},關(guān)于原點對稱，

又/（T）==^="x）,所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，排除A,C；

2-211

4

又/(2)=「=-2<0,排除B.

2-4

故選：D.

2.（多選）（2024上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f+以+。-3與>=優(yōu)的圖

象可能是（）

Fy

【解析】按照。>1、0<。<1討論，結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】若則函數(shù)y=/是R上的增函數(shù),

函數(shù)>=/+辦+。-3的圖象的對稱軸方程為尤=-|<0,故A可能，B不可能;

若0<a<1,則函數(shù)丁=就是R上的減函數(shù)，

。一3<0,函數(shù)>=/+辦+。一3的圖象與y軸的負(fù)半軸相交，對稱軸為尤=—|<0,

故C可能，D不可能.

故選：AC.

3.（多選）（2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（尤）=/+6（其中。>0且"1）的圖象過第一、

三、四象限，貝U（）

A.0<?<1B.a>l

C.—1<Z?<0D.Z?<-1

【答案】BD

【分析】根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：a>l,a°+b<0,即可求解.

【詳解】函數(shù)/。）=屋+》（其中”>0且"1）的圖象在第一、三、四象限，

根據(jù)圖象的性質(zhì)可得：a>l,a°+b<0,

即a

故選：BD.

4.（多選）（2024下?全國?高一開學(xué)考試）已知函數(shù)"力="">0且。片1）的圖象如圖所示，則函數(shù)了=苫。+4

的大致圖象不可能為（）

【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象特征，結(jié)合幕函數(shù)在第一象限的圖象特征可得答案.

【詳解】根據(jù)題意可得。>1,

y=x"+。的圖象是y=V1向上平移a個單位得到的，

結(jié)合塞函數(shù)的性質(zhì)可知y=x\a>1）在（0,+s）上為單調(diào)遞增函數(shù),

當(dāng)。為奇數(shù)時，y=x〃+a圖象如C選項所示；當(dāng)a為偶數(shù)時，y=/+。圖象如B選項所示,

選項A,D不符合題意.

故選：AD.

5.（2024上?江蘇徐州?高三?？奸_學(xué)考試）函數(shù)"》）=（》-犬3）州在區(qū)間卜3,3］上的圖象大致是（）

【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)得到選項C錯誤，計算〃2）<0,得到選項D錯誤，根據(jù)0<x<l時，/（%）>0,

選項B錯誤，得到答案.

【詳解】函數(shù)/3=卜-三）.小，xe[-3,3]的定義域關(guān)于原點對稱，

=（-》+%3）,2/=-（彳-/）.2岡=-/（%）,

所以了（無）是奇函數(shù)，函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于原點對稱，選項C錯誤；

因為/⑵=（2-23卜2同<0,所以選項D錯誤；

當(dāng)0<x<l時，/（X）=X（1-X2）-2H>0,選項B錯誤.

故選：A.

6.（2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=a"2+l（。>0且awl）的圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)為.

【答案】（2,2）

【分析】由指數(shù)型函數(shù)的定點問題，令x-2=0,即可得定點坐標(biāo).

【詳解】由函數(shù)>=優(yōu)-2+1（q>0且awl）,

令x-2=0,得x=2,

所以y=a°+l=2,

所以函數(shù)y=/T+l（a>0且awl）的圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo)為（2,2）.

故答案為：（2,2）.

7.（2024上?黑龍江齊齊哈爾?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=4a'T+5（a>0）,且awl）的圖象恒過定點尸，點

尸又在嘉函數(shù)g（x）的圖象上，則g（-2）=.

【答案】4

【分析】由已知求出定點尸的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出g（x）,從而可得結(jié)果.

【詳解】由尤一3=0,得x=3,所以定點以3,9）,

設(shè)g（x）=x-又g（3）=3"=9,得a=2,所以g（x）=d,

所以g（-2）=（_2y=4,

故答案為：4.

高頻考點四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域

典型例題

例題L（2024上?山東威海,高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=?l-的定義域為（）

A.[0,+oo）B.（0,+co）C.（-8,0]D.（-oo,0）

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.

【詳解】對于函數(shù)〃同=，一&1,有1一可得=g:,解得尤20,

因此，函數(shù)/（尤）的定義域為[0,+"）.

故選：A.

例題2.（2024上?北京?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)/（對=乒？的定義域為（）

A.[-3,+a?）B.[-2,+oo）C.[2,+00）D.[4,+oo）

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)/'（X）的解析式有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由函數(shù)=萬有意義，則滿足3，-920,即3入9=3,解得xN2,

所以函數(shù)的定義域為[2,+8）.

故選：C.

練透核心考點

1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）函數(shù)-4的定義域為（）

A.（-oo,2]B.（^O,5）U（5,-HX>）

C.[2,叫D.[2,5不（5收）

【答案】D

【分析】函數(shù)〃x）=衛(wèi)二士的定義域滿足u",解得答案.

Lx-5[x-5w0

后7f2%-4>0

【詳解】函數(shù)〃耳=上二士的定義域滿足,~,解得xN2且xw5.

''尤一5[x-5/O

故答案為：D

-4

2.（2024上?安徽阜陽?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)-----R的定義域為____.

（%-3x—4J

【答案】［2,4）“4,4w）

【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于0、x°中XN0求解出X的范圍，則定義域可知.

f2-420

【詳解】由題意可知2c二八，解得了22且xw4,

［x-3x-4^0

故函數(shù)的定義域為［2,4）“4,+4.

故答案為：［2,4）u（4,4w）.

高頻考點五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間［私加上的值域

典型例題

例題1.（2023上?廣西南寧?高一校考期中）函數(shù)/（x）=2，,xe［-1』的值域是（）

A.（0,2）B.C.1,2D.［0,2］

【答案】C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為/（￡）=2,是定義域在R上的增函數(shù).

所以當(dāng)時，/（%）^=/（-1）=1,/?_=/（1）=2,

所以〃x）的值域為1,2.

故選：C.

例題2.（2023上?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=2*+2尤-1,xe［2,+e）的值域

為.

【答案】［7,+8）

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.

【詳解】函數(shù)y=2'+2x-1在區(qū)間［2,+8）上單調(diào)遞增，

所以”22+2x2-1=7,

所以值域為［7,y）.

故答案為：[7,y)

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域

典型例題

例題1.(2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中)函數(shù)"X)=4'-+2在xW1時的值域是.

【答案】[L2]

【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)求出值域即得.

【詳解】當(dāng)一1WX<1時，1<21<2,函數(shù)/(x)=(2，>一22+2=(2-1了+1,

顯然當(dāng)2'=1，即x=0時，當(dāng)2工=2,即x=l時，/(4皿=2,

所以所求值域是口，2].

故答案為：[1,2]

例題2.(2023上?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)=的圖象經(jīng)過點

(1)求實數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)的定義域和值域.

【答案】(1)-1

(2)R；(-1,1)

【分析】(1)把已知點代入函數(shù)解析式計算即得；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函數(shù)定義域，將函數(shù)式分離常數(shù)成/("=1-彳石，

再從y=3,的值域開始，從內(nèi)到外利用不等式性質(zhì)推導(dǎo)出解析式的取值范圍即得值域.

【詳解】⑴將點代入〃尤)=?可得：乎=!，解得：a=-L

72)3+142

(2)由(1)可得：=要使函數(shù)有意義，須使3"+1。0,而此式恒成立，故函數(shù)的定義域為R.

v73"+1

299

因〃耳=1—丁二，當(dāng)xeR時，3">0,3X+1>1,則0<k7<2,故—1<1—=^<1,即函數(shù)的值域為

3+13+13+1

(-1,1).

(1、-2x2—8x+l

例題3.(2023上?河南省直轄縣級單位?高一?？茧A段練習(xí))求函數(shù)y=(-3VxVl)的單調(diào)區(qū)間與值

域.

【答案】單調(diào)減區(qū)間是[-3,-2],單調(diào)增區(qū)間是(-2』；值域是[3工31

【分析】單調(diào)性根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減得出，值域根據(jù)換元法得出.

z[x-2X2-8X+1

【詳解】?.,函數(shù)(-3<%<1),

設(shè)f=-2x2-8x+l,-3Wx41.

.1.t=—2(x+2)~+9,

當(dāng)—34x41時，-9VY9,

?,心/J"叫".

：?函數(shù)y=/J在xe[1,3]上的值域是[3-9,39].

又原函數(shù)是由y=[￡|和/=-2尤2一8尤+1兩個函數(shù)復(fù)合而成，

第一個函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，第二個函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)

,函數(shù)；的單調(diào)減區(qū)間是[T-2],單調(diào)增區(qū)間是(-25.

角度3:根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域(最值)求參數(shù)

典型例題

例題L(2023下?廣東廣州?高一?？计谥?函數(shù)y="-2(a>0Ma1,-1<x<1)的值域是-*1,則

實數(shù)”()

112-3

A.3B.-C.3或]D.§或,

【答案】C

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對0<。<1和的情況討論單調(diào)性并求值域，從而列方程組即可得到答案.

【詳解】函數(shù)>=虐-2(a>0且"L-1W1)的值域為一』，

又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，

當(dāng)Ovavl時,函數(shù)y=優(yōu)-2在[-1[]上單調(diào)遞減，值域是-2]

0<a<l0<a<l

a1-2=-|,即?1，解得a=5

所以有■a二一

3

611—2=1a1=3

當(dāng)q>l時，函數(shù)>=優(yōu)-2在［-M］上單調(diào)遞增，值域是［--2,。-2］

a>la>l

所以有卜-2=-1即yT=g,

解得a=3.

tz1—2=1〃=3

綜上所述，a=g或。=3.

故選：C.

例題2.（2023上?全國?高一期末）如果函數(shù)尸d+Za'T,g>0且awi）在區(qū)間［fl］上的最大值是14,

則。的值為（）

?1「?1

A.3B.—C.—5D.3或一

33

【答案】D

【分析】利用換元法，令t=a，,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=（什1）2—2,根據(jù)單調(diào)性及在區(qū)間［T』上的最大值是14,

求出。的值即可.

【詳解】令t=a*,則y=a"+2a*T=〃+2r—~2.

當(dāng)時，因為所以fe-,a,

a

「1-

又因為函數(shù)y=（r+l）9—-2在-,a上單調(diào)遞增，

所以Ymax=（°+1）~—2=14,解得a=3（a=-5舍去）.

當(dāng)0<a<l時，因為xw［—1,1］,所以fea,；,

「1一

又函數(shù)y=（r+l）9—-2在a,-上單調(diào)遞增，

則ymax=t+l）-2=14,

11

解得（a=_y舍去）.

綜上知a=3或〃=g.

故選：D.

練透核心考點

1.（2023上?新疆喀什?高一統(tǒng)考期末）y=,xe[0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.1,1

_8_8

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的值域.

【詳解】函數(shù)y=gJ,xe[0,3]單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為[j=1,

最小值為仕]3=L所以函數(shù)的值域為心.

⑶818」

故選：D

2.（2023上?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)校考期中）函數(shù)/（x）=2-?+1的值域為.

【答案】（0,2]

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】令仁-Y+1W1,因為指數(shù)函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，

所以有2'42】=2，而2,>0,

因此函數(shù)/（X）=24M的值域為（0,2].

故答案為：（0,2]

3.（2023上?黑龍江綏化?高三校考階段練習(xí)）當(dāng)x<l時，函數(shù)/（力=平-2向+2的值域為.

【答案】口，2]

【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

（詳解】因為=4'-2加+2=（2'）一2*2*+2,

令y23由于尤41,則fe（O,2],

則原函數(shù)可化為y=產(chǎn)-2/+2,re（0,2],

當(dāng)f=l時，>取最小值1,當(dāng)/=2時，y取最大值2,

故ye[l,2],gp/（x）e[l,2].

故答案為：[1，2]

4.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/。）=2曰_1在區(qū)間[0,汨上的值域為[0,3],則實數(shù)加的取值范

圍為-

【答案】[2,4]

【分析】利用函數(shù)的最值求出X,通過函數(shù)的值域，求出口的取值范圍

2”—2—1r>9

【詳解】/（》）=2M」=

2'一,則"X）在（-8,2）上遞減，在［2,+⑹上遞增,

所以當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最小值0,

由2k盟-1=3，得x=0或x=4,

所以函數(shù)/（x）=2M-1在區(qū)間。m］上的值域為［0,3］時，me［2,4］,

故答案為：［2,4］

z［xax2-4x+3

5.（2023,全國，局二專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=j,若/（X）的值域是（0,+8）,求“的值.

【答案】0

【分析】利用換元法，令1=加-公+3,則y，則由題意可知才=--4%+3的值域為R,從而可求出。

的值

【詳解】令/=加-4工+3,貝!|y=

因為/⑴的值域是（0,+8）,即了=I的值域是（0，y）,

所以》=改2一以+3的值域為R,

若。工0,則f=^-4x+3為二次函數(shù)，其值域不可能為R,

若。=0,則仁Tx+3,其值域為R,

所以a=0

高頻考點六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性

角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

x2-lax+2,x<1

例題1.（2024下?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)〃尤）=<x是R上的減函數(shù)，則，的

,x>l

取值范圍是（）

j_7

A.B.cD.

1-°42,6

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

X2—2ax+2,x<1

【詳解】由函數(shù)=I'】在R上為單調(diào)遞減函數(shù),

a>\

7

則滿足<0<<7-^<1解<<

--6-

l2-2a+2>a--

2

7

即實數(shù)。的取值范圍為1,工,

0

故選：A.

例題2.（2024上?湖南湘西?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（》）=2*+儂在區(qū)間【-Ml上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（-℃,2］B.［2,+oo）

C.（-oo,-2］D.［-2,+oo）

【答案】B

【分析】由題意得：g（X）=T?+辦在［-U］上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可.

【詳解】由題意得：85）=-/+辦在［-1,1］上單調(diào)遞增，

所以對稱軸工=321,所以a22.

故選：B.

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2024上?廣東潮州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃力=5忖+/,則滿足的x的取值

范圍是（）

【答案】A

【分析】分析函數(shù)”X）的奇偶性及其在［0,+"）上的單調(diào)性，將所求不等式變形為解之即可.

【詳解】因為函數(shù)〃%）=出+無2的定義域為R,且〃_尤）=57+（_尤）2=出+爐=〃尤），

所以，函數(shù)，（無）為偶函數(shù)，

則不等式等價于川2X-［）</\］,

因為函數(shù)y=5*、y=/在［0,+。）上均為增函數(shù)，

當(dāng)工20時，/（x）=5X+x2單調(diào)遞增,

所以，|2x-l|<—,可得一§<2%—1〈耳，解得§<兀<§,

故原不等式的解集為,1）.

故選：A.

例題2.（2024上?河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)=州，貝U/（2->/（2x+3）的解集為

【答案】

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)〃尤）的單調(diào)性與奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為|2-x|>|2x+3|,即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃力=2國，可得其定義域為R,M/（-X）=2H=2W=/（X）,

所以〃%）=州為偶函數(shù)，當(dāng)xe［0,4w）時,f（x）=2x,

可得〃%）=州在［0,+8）上單調(diào)遞增，

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，不等式“2-x）>〃2x+3）,即為川2-x|）>〃|2x+3|）,

可得|2—x|>|2x+3|,整理得3f+16x+5<0,解得-5<x<-g,

所以/（2-x）>“2x+3）的解集為15,T1

故答案為：（―5，-