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北京人民大學(xué)附中2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A.-40 B.-20 C.20 D.402.臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng),也叫桌球(中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國(guó)地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺(tái)球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過(guò)擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長(zhǎng)為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm3.已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.4.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.25.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或6.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612427.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.10.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.11.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值12.已知點(diǎn)P不在直線l、m上,則“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.14.已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_(kāi)______.15.如圖,在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為_(kāi)___________.16.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知:,:,:.(1)求與的極坐標(biāo)方程(2)若與交于點(diǎn)A,與交于點(diǎn)B,,求的最大值.18.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.(1)若,且恰為的左焦點(diǎn),求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點(diǎn),求證:在軸上不存在這樣的點(diǎn),使得.19.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin20.(12分)已知橢圓過(guò)點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點(diǎn)為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項(xiàng),由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80,由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40,故所求的常數(shù)項(xiàng)為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘,若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x,選3個(gè)提出;若第1個(gè)括號(hào)提出,從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出,選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=402、D【解析】
過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來(lái),根據(jù),列方程求出,進(jìn)而可得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因?yàn)?,則,整理化簡(jiǎn)得,又,得,.即該正方形的邊長(zhǎng)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.3、D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.4、A【解析】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)正弦定理得到,化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。7、C【解析】
先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和,根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,故即,由可得或,因?yàn)闉檫f增數(shù)列,故符合.此時(shí),所以或(舍,因?yàn)闉檫f增數(shù)列).故,.故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.8、B【解析】
畫出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).9、B【解析】
先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.10、A【解析】
所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價(jià)變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因?yàn)闈M足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.11、C【解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.12、C【解析】
根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】點(diǎn)不在直線、上,若直線、互相平行,則過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過(guò)點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用配方法化簡(jiǎn)式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題。14、【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問(wèn)題,難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時(shí)要注意新元的范圍.15、【解析】
由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算,考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力,是一道中檔題.16、【解析】
求出在上的對(duì)稱軸,依據(jù)對(duì)稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱.則.由,則由可知,,又因?yàn)?,所以,則,即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對(duì)稱軸時(shí),常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極坐標(biāo)方程為;的極坐標(biāo)方程為:(2)【解析】
(1)根據(jù),代入即可轉(zhuǎn)化.(2)由:,可得,代入與的極坐標(biāo)方程求出,從而可得,再利用二倍角公式、輔助角公式,借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1):,,的極坐標(biāo)方程為:,,的極坐標(biāo)方程為:,(2):,則(為銳角),,,,當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo),得雙曲線的,再計(jì)算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計(jì)算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點(diǎn)不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,∴軸上不存在點(diǎn),使得.【點(diǎn)睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問(wèn)題.考查向量的加法運(yùn)算,本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高,解題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.19、(1)b=32【解析】試題分析:(1)本問(wèn)考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉(zhuǎn)化為ac,于是可以求出b的值;(2)首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值,根據(jù)第(1)問(wèn)得到的b值,可以運(yùn)用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R,于是可以將a+c轉(zhuǎn)化為2RsinA+2R試題解析:(1)由cosB應(yīng)用余弦定理,可得a2化簡(jiǎn)得2b=3則b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因?yàn)閎=32得34又因?yàn)閍c≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關(guān)系定理可知綜上a+c∈(考點(diǎn):1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應(yīng)用.20、(1);(2)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①設(shè)直
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