圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題與長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)27圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題與長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題【八大題

型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題】.....................................................................2

【題型2雙曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題】...................................................................5

【題型3拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題】...................................................................9

【題型4長(zhǎng)度及其最值(范圍)問(wèn)題】..........................................................13

【題型5長(zhǎng)度之和問(wèn)題】......................................................................17

【題型6長(zhǎng)度之差問(wèn)題】......................................................................23

【題型7長(zhǎng)度之商問(wèn)題】......................................................................26

【題型8長(zhǎng)度之積問(wèn)題】......................................................................31

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題與長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，弦長(zhǎng)問(wèn)題與長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題

是考查的重要方向，以選擇題或填空題的形式考查時(shí)，難度不大；以解答題的形式考查時(shí)，有時(shí)會(huì)與向量、

數(shù)列等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大；聯(lián)立直線與圓錐曲線方程并靈活運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，

復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題】

1.橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

22

⑵弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線/:尸fcr+加交橢圓%+方=l(a>6>0)于尸I(XQI),「2(必,乃)兩點(diǎn)，

則出21=0+左IM—器或出尸=J1+可0—刃.

2.雙曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題

(1)弦長(zhǎng)公式：直線y=Ax+6與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d=-%2|=+表—y2\.

(2)解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

(3)處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過(guò)程中，并沒(méi)有條件確定直

線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

(4)雙曲線的通徑：

過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在X軸上還

是在y軸上，雙曲線的通徑總等于手

3.拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題

設(shè)直線與拋物線交于3（x2,竺）兩點(diǎn)，則

|/2|=〃（1+42）（而一冷）2=+尸?7（汨+9）2—4而》2或

|/為=J（1+也）（弘一乃y=J1+興?，（弘+乃］一4乃為（左為直線的斜率，^#0）.

4.弦長(zhǎng)公式的兩種形式

（1）若43是直線＞=依+機(jī)與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去力得到一元二次方程

ax2+bx+c=Q,則|N8|=+/J%—x?l=+J?..

（2）若43是直線x=%y+〃與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去x,得到一元二次方程

ay2+by+c=Q,則\AB\—^\-\-m2\y—%1=.

xI。I

?舉一反三

【題型1橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題】

【例1】（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/是圓C：/+y2=i的切線，且/與橢圓氏9+產(chǎn)=1

交于/,3兩點(diǎn)，則|48|的最大值為（）

A.2B.V3C.V2D.1

【解題思路】由直線與圓相切分析得圓心到直線距離為1,再分類(lèi)討論直線斜率是否存在的情況，存在時(shí)假

設(shè)直線方程，進(jìn)一步聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得出弦長(zhǎng)表達(dá)式，最后化簡(jiǎn)用基本不等式得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】???直線/是圓C：/+y2=l的切線，

.?.圓心。到直線/的距離為1,

設(shè)4（X1，為），8（X2,曠2），

①當(dāng)48口軸時(shí)，網(wǎng)=誓.

②當(dāng)N3與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為7=依+九

由已知犬9=1得巾2=/+1.

把^=履+加代入橢圓方程，整理得（31+1）%2+6kmx+37n2-3=0,

.-6km3（m2-1）

.Xi+孫=-o-,XiX=-75----

123k2+lf1273k2+1

'■\AB\2=(1+/)(右一句)2

_36k2m212(m2—1)

一((3/C24-1)23k2+1.

12必+1)(3A2+1―m2)_24/必+1)_88儼一

一(3ZC2+1)2-(3-+l)2-1十9fc4+6/c2+l

令t=/-1(tCR)

8t￡8

原式=3++

CT4

(31+2)239t+y+12

當(dāng)且僅當(dāng)9t=：BPt=±|時(shí)等號(hào)成立.

綜上所述I力B|max=V3.

故選：B.

【變式1-1］（23-24高二上?浙江紹興?期末）已知橢圓C:f+y2=1,過(guò)原點(diǎn)。且傾斜角為?的直線交橢圓于

44

48兩點(diǎn)，貝?。輡/引=（）

V10n2V10k3V10c4V10

AA--B--c--D--

【解題思路】依題寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即得.

【解答過(guò)程】依題意，可得直線的方程為：y=x,代入?+y2=i中，整理解得：x=±等,

當(dāng)久=W，y=~當(dāng)％=_卓時(shí)，y=-W，故有力（等，言）,8（一等，_卓），

則明=&.］（等+等）2=/乂9=等.

故選：D.

【變式1-2X2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓。攝+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為FL，點(diǎn)P（但病

為橢圓C上一點(diǎn)，且的面積為2遍.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若傾斜角為;的直線/與C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4B,求|A8|的最大值.

4

【解題思路】（1）借助橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，的面積與a?=/+c2計(jì)算即可得;

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.

+=1

ii（a2=12

2

【解答過(guò)程】（1）由題意可得|x2cxV3=2V6;解得（b=4，

vc2=8

222

、a=b+c

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+。=1；

124

（2）fc=tan^=1,故可設(shè)匕B：y=%+t,^（冷,力），

金_|_且=1

聯(lián)立卜2+4一,消去y可得4/++3產(chǎn)—12=0,

Iy=%+t

A=36t2-16（3產(chǎn)-12）=12（16-t2）>0,即一4<t<4,

-6t3t3t2-12

Xl+X2=—=~萬(wàn)，％1到二

貝I]=Vl2+1.J（%i+%2尸一4%62=V2.J（一y）-4x3t2-12

=日產(chǎn)3+12=尸

則當(dāng)t=0時(shí)，|48|有最大值，且其最大值為杵^=2V6.

【變式1-3]（2024?河北衡水一模）已知橢圓C:捻+/=1（。＞b＞。）過(guò)（琮）和（魚(yú)，半）兩點(diǎn)幾/2分別為

橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)（P不在x軸上），過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸2的直線/與橢圓交于4B兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求|4B|的范圍.

【解題思路】⑴將點(diǎn)（i,|）,（VX苧）代入橢圓方程，即可求出橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分類(lèi)討論直線斜率是否為0,從而假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式得到關(guān)

于小的關(guān)系式，再分析即可得解；

【解答過(guò)程】（1）由題意可知，將點(diǎn)孚）代入橢圓方程,

2=1

得1,解得a2=4,/=3,

（芻+今=1

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+9=1.

(2)由(1)知Fi(-1,0),F2(l,0),

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，\AB\=2a=4,

當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線I的方程為x=my+l,4>i，乃)，B(x2,y2),

、(包+色=1

聯(lián)立?4十3—,消去工,得(3血2+4)y2+6my—9=0,

x=my+1

222

易得△=(6m)+36(3m+4)>0,則y1+y2=肅;，乃丫=品T

222

所以|4B|=&2一/)+(先一乃乃=Vl+mV(yi+y2)~4yiy2

-Viq-^2-12mz+12_

2，

-Vl+m^3m2+4J4137n2+/-31n2+4-43m+4

因?yàn)榻?NO,所以3nl2+424,所以所以3W|AB|<4,

37nz+4

綜上,3<\AB\<4,即|2用的范圍是[3,4].

【題型2雙曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題】

【例2】（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。產(chǎn)一9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fl/2,過(guò)％的直線與雙曲線C

的同一支交于4B兩點(diǎn)，S.\BF1\=2\AF1\,則線段力B的長(zhǎng)度為（）

927

A.-B.9C.—D.6

44

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)過(guò)％的直線為y=k久-2k>O,kK弓），與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)

定理和向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】雙曲線。丫2一9=1中a=l,b=W,c=9。2+爐=2,則%（0,—2）,

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)過(guò)久的直線為y=依-2G>0,椅外

2

聯(lián)立，可得（3/一1）%-12/cx+9=0,

則A=144k2-36(34-1)=36(/+1)>o

設(shè)力(巧,為)，B(x2,y2),則打+%2=奈，，打泡=/?①

由IBF1I=2|4名|,可得西=2/X,

即有一冷=2%1，②

Iz7\/r?\—r-zg12k24kr-r-Ki12k24k9

由①②可倚句=一訪，％2=環(huán)，所以一環(huán)X環(huán)=環(huán),

解得k=(負(fù)值己舍去)，打=等，

35o

2

所以|4B|=V1+fc■|%i-x2\=^=xSlxJ=寫(xiě)^=*

故選：C.

【變式2-1](2024?山東?模擬預(yù)測(cè))過(guò)雙曲線/—y2=2的左焦點(diǎn)作直線Z,與雙曲線交于48兩點(diǎn)，若|4B|=

4,則這樣的直線1有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【解題思路】設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式解方程判斷根的個(gè)數(shù)即可.

【解答過(guò)程】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)(-2,0),當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，|ZB|=2我不符合題意，雙曲線漸近線

方程為y=±x；

故可設(shè)Ly=fc(x+2)(fcW±1),A(xlfyj,B(x2fy2)f

與雙曲線聯(lián)立可得p7；fc(2+?今(1—fc2)x2-4k2x-4k2-2=0,

I—yz=2

4k2-4k2—2

+%2=匚記，％=~^~，

由弦長(zhǎng)公式知|4B|=V/c2+l|%i—xl=Vfc2+1?‘黑：：)=4=>fc2+1=V2|k2—11,

2\k

則k=±(V2-1)或k=±(V2+1).

故存在四條直線滿足條件.

故選：D.

22_

【變式2-2](2024海南?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線。汗—-=l(a>0,b〉0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P(2,歷)

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為2n的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,求|PQ|.

【解題思路】(1)將點(diǎn)P(2,連)代入雙曲線C方程即可求解；

(2)寫(xiě)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2VL所以2a=2a,解得：aW；

又因?yàn)辄c(diǎn)P(2,歷)在雙曲線C上，所以方=1,解得：b=V6,

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：?=1

26

由題可得過(guò)點(diǎn)P且斜率為2乃的直線方程為：丫一粕=2傷0-2),即y=2逐乂一3傷，

'x2y2_i

聯(lián)立26消去y可得：7/-24%+20=0,

y=2V6x—3>/6

所以/+肛=曰，

所以IPQI=Vl+k2y/(X1+%2)2-4%1%2=Vl+24J管)-4Xy=y.

【變式2-3](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線。《一5=1(6>a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為修、/2,

兩條漸近線的夾角為60。，M(逐,出)是雙曲線上一點(diǎn)，且△MF/2的面積為4百.

(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線，與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)。在以PQ為直徑的圓上，求|PQ|的最小值.

【解題思路】(1)依題意可得2=百，從而將方程化為[-《=1,再由三角形面積及點(diǎn)在曲線上求出a2,

acr3a“

即可得解；

(2)依題意可得而?麗=0,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)直接求出|PQ|,當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方

程為y=kx+m,「（刀口為），Q（x2,y2）>聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由加?麗=0得

到爪2=6幺+6,再由弦長(zhǎng)公式及計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】（1）由題可知雙曲線的漸近線方程為y=±gx,

因?yàn)閎>a>l,所以￡>1,所以直線y=—x的斜率大于1.

由兩條漸近線的夾角為60。，可得2=百，因?yàn)閍2+/）2=c2,所以c=2a,

a

22

即雙曲線方程為三—梟=1,

因?yàn)椤鱉F1?的面積為4K，所以gx2cx|%|=4百，所以ax|y（）|=2%.

因?yàn)辄c(diǎn)用（4,即）在雙曲線上，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得當(dāng)-含=1,

解得a2=4或a2=l.因?yàn)闂l件a>1,所以a2=4,即雙曲線的方程為J一弓=L

（2）因?yàn)橐訮Q為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以。PLOQ,所以說(shuō)，而，即而?麗=0,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為x=n,設(shè)P（%t）,0）,

由赤OQ=0可得幾2-t2=0,

又點(diǎn)P、Q在雙曲線上，代入可得9一盤(pán)=1,解得九2=6,產(chǎn)=6.

所以|PQ|=2t=2V6.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線2的方程為y=kx+m,

fv=kx+Tn

由[3^2_產(chǎn)_]2聯(lián)立消去y整理得(3_k2)x2-2kmx-m2-12-0(*),

因?yàn)橹本€/與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn)，所以3—/片0,

即4=(2km)2—4(3一/c2)(—m2—12)=12(m2—4fc2+12)>0.

設(shè)P（xqD，<2（%2，%），

'.2km

句+冷==

則

TH2+12

"2=-0

由OP?OQ=0得到久62+7172=0，所以％62+(kx】+m)(fcx2+m)=0,

22

即(1+fc)x1x2++x2)+m=0,

2

即(1+幺)％1%2+km(xi+x2)+m=0,

所以(1+k2)-km?+m2=0,

化簡(jiǎn)得=6k2+6.

所以|PQI=J(1++%2)2—4久1久21

2km24(m2+12)

(1+fc2)+2

3-k23-fc

24+黑"阮

當(dāng)k=0時(shí)上式取等號(hào)，且方程(*)有解.

綜上可得|PQ|的最小值是2遍.

【例3】(2024?河南開(kāi)封?一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線。產(chǎn)=8x焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與C交于4,8兩點(diǎn),

若|4F|=\AO\,貝！|網(wǎng)=()

A.5B.9C.10D.18

【解題思路】

由|力尸|=|40|及拋物線方程可求出/點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線4B的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，結(jié)合韋達(dá)定

理求出/+%2，由拋物線定義可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】如圖：由拋物線C：y2=8x可知焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2,0),取線段。F中點(diǎn)￡>,即￡>(1,0),

又|力F|=|力。所以ZD1OF,故設(shè)4(1,%)，因點(diǎn)/在拋物線上，得加=±2企，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性取yo=2V2,又因直線48過(guò)焦點(diǎn)F,

所以直線4B的方程為：y=-2V2(x-2),

聯(lián)立］y2W，得d-5%+4=0①，

(y=-272(%-2)

設(shè)4(%1，%),8(%2，%)，則Xl,%2為①式兩根，所以“1+%2=5,

由拋物線定義可知=%I+%2+P=5+4=9,

故選：B.

【變式3-1](2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,直線/

過(guò)其焦點(diǎn)F且與C交于力，B兩點(diǎn)，若直線4M的斜率為W，則|4B|=()

4V5

A.—B.半C.4D.5

【解題思路】利用斜率己知，即角的正切值已知，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，來(lái)解直角三角形求一條焦半徑,

再利用拋物線的兩焦半徑的倒數(shù)和為定值，從而去求另一條焦半徑，最后求得弦長(zhǎng).

【解答過(guò)程】

如圖作4E垂直于準(zhǔn)線，垂足為E,可知設(shè)AE=4F=r,

直線4M的斜率為等得，tan^EAM=tan乙4MF=

則ME=卓r，由勾股定理得：AF2=ME2+(AE-MF)2,

即/=+(r-2)2,化簡(jiǎn)得：「2一57+5=0,解得r=巧隹,

再設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線[為y=k(久-1)與拋物線C：y2=?聯(lián)立消元得：

2222

kx—(2k+4)x+k=0,設(shè)交點(diǎn)4(小,yD，B{x2,y2)，

rrt.l2N+4y

則汽1+%2=一p一，X1X2=L

2M+2

而工+—=—+—="l+%2+2=——=1,

AFBF%i+l型+1(%1+1)(%2+1)112k+2J]

當(dāng)4F=萼時(shí)，解得BF=萼，止匕時(shí)AB=4F+8F=5,

當(dāng)4F=萼時(shí)，解得8尸=萼，止匕時(shí)4B=4F+BF=5,

故選：D.

【變式3-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)「（見(jiàn)39>03>0）在拋物線。丫2=20％@>0）上，記。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，\OP\以P為圓心，|OP|為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切.

（1）求拋物線。的方程；

（2）記拋物線C的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)尸作直線I與直線PF垂直，交拋物線C于力，B兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).

fVa2+b2=|

【解題思路】（1）首先得到拋物線的準(zhǔn)線方程，依題意可得（b2=2pa,解得a、b、p,即可得解；

Ia+.-P=-3

I22

（2）由（1）可得P?,或）,F（1,O）,即可求直線/的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理,

由焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】⑴拋物線。丫2=22加>0）的焦點(diǎn)為尸&0）,準(zhǔn)線方程為

產(chǎn)+扭=|佗=|

依題意可得｛b2=2pa,解得=魚(yú)或=又a>0、b>0、p>0,

[a+”|(P=2]p=°

所以［M,所以拋物線方程為i.

（P=2

（2）由（1）可得F（l,0）,鵬=臂=-2近,

因?yàn)橹本€以直線PF,所以品=請(qǐng)。

所以直線/的方程為y=?(x—1),即久=2&y+l,

由卜=乎y+1,消去x整理得儼—8&y—4=0,

(yL=4x

設(shè)8(%2，丫2)，所以yi+'2=8近，

所以％1+冷=2V2(y1+y2)+2=2&x8V2+2=34,

所以|4B|=久1+盯+P=36.

【變式3-3］（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線。丫2=2「雙0>0）的焦點(diǎn)?到準(zhǔn)線的距離為2.

⑴求C的方程;

（2）若P為直線=-2上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的切線P4PB,4B為切點(diǎn)，直線與/交于點(diǎn)M,過(guò)F作4B

的垂線交/于點(diǎn)N,當(dāng)|MN|最小時(shí).求|4B|.

【解題思路】（1）由題意求得p=2,即可得得到拋物線C的方程；

(2)設(shè)力(K1，丫1),8(%2，%)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)48的切線方程，得出直線48方程為;(:—(丫—2=

0,令x=-2,得到點(diǎn)M(-2,-5,根據(jù)直線NF與直線力B垂直，求得直線NF方程為y=—-1),進(jìn)而得

到點(diǎn)N(-2,六)，進(jìn)而求得|MN|=E+與，結(jié)合基本不等式求得|MN|的最小值，聯(lián)立方程組，結(jié)合弦長(zhǎng)公

式求得弦|4B|的長(zhǎng).

【解答過(guò)程】(1)由題知，p=2,

??.C的方程為y2=4%.

(2)拋物線。儼=4久的焦點(diǎn)F(l,0)，

設(shè)P(—2,t),過(guò)P點(diǎn)的拋物線C的切線方程為：x+2=m(y-t),

!?一‘％消去久得：2_^my_|_4(mt+2)=0,①

(%+2=m(y—t)

???△=16m2—16(mt+2)=0即TH2—tm-2=0,②

此時(shí)①可化為y2—4my+4m2=0,解得y=2m

設(shè)直線PA久+2=m^y-t),直線PB:%+2=m2(y-t),

則7nLm2為方程②的兩根，故血1+血2==一2,(*)

且”=2mnyfi=27n2，可得/(抽2叫),8(旬,27n2)，令點(diǎn)'(租即)，

由②知，m：—tmr—2=0,m2—tm2—2=0,故％4—^yA—2=0,xB—^yB—2=0,

則直線48方程為：x-1y-2=0,顯然tHO

因?yàn)橹本€NF與直線48垂直，

則直線NF方程為：y=-1(x-l),

故M(―2,-*N(―

\MN\=II+JI>4V3,當(dāng)且僅當(dāng)卜時(shí),產(chǎn)=竽時(shí)取等號(hào).此時(shí)，.

2222

=V(xA-xB)+(yA-yB)=J(河-m^)+(2叫一2m2)

m2

=7[(^1+2)+4][(mi+m2y-4771^2]

由(*)得，\AB\=V[t2+4][t2-4x(-2)]=J管+4)管+8)=嚕

【題型4長(zhǎng)度及其最值(范圍)問(wèn)題】

【例4】(23-24高三上?湖北武漢?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)雙曲線1的左右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為4點(diǎn)

M是雙曲線E在第一象限中內(nèi)的一點(diǎn)，直線M片交雙曲線E的左支于點(diǎn)N,若NA〃MF2,則|M&I=（）

A-；B-1c-ID-T

【解題思路】由題意可得段=3,設(shè)設(shè)M（Xo，yo）g>O,yo>O），則N（牛貧），然后將MN的坐標(biāo)分別代

入雙曲線的方程，解方程組可得與,如，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】

由題意知：?1（一2,0）,尸2（2,0）,4（-1,0），所以粵=；，又因?yàn)镹4//MF2,所以黑=；，設(shè)M（&,yo）（xo>O,yo>

r24r1M4

解七口所以"得A的

0）,則N（竽,空），且5

5'

故選：B.

【變式4-1］（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線。產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)為下,/是C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△力。F

的面積為夜+1,則|力用=（）

A.2V2+2B.2V2+4

C.4V2+2D.3/+2

【解題思路】設(shè)4（Xo，yo），根據(jù)△力。F的面積求得Wol，繼而求得比0,根據(jù)拋物線焦半徑公式，即可求得答

案.

【解答過(guò)程】由題意知拋物線C：y2=4%的焦點(diǎn)為凡貝必（1,0）,焦準(zhǔn)距p=2,

設(shè)力（%0，%），則由△AOF的面積為迎+1,得1x|%|=加+1,

則”|=2（應(yīng)+1）,故%（）=*=3+2夜，

則|4F|=配+，=4+2企，

故選：B.

【變式4-2X23-24高三下?河南周口?開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)F（1,0）且與直線x=-1

相切，設(shè)該動(dòng)圓的圓心C的軌跡為曲線r.

(1)求「的方程；

(2)設(shè)p為r在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作曲線r的切線匕，直線22過(guò)點(diǎn)P且與匕垂直，G與「的另外一個(gè)交點(diǎn)

為Q，求IPQI的最小值.

【解題思路】(1)由題意，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)C的軌跡為是以尸(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線，即可求解；

(2)設(shè)P(zn,2而)(m〉0)、QOi，月)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線的位置關(guān)系求出％的方程，聯(lián)立拋物

線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得為=-2標(biāo)-白，進(jìn)而求出。的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得|PQ|=

■yjm

41瓶+3+《++="(TH),利用導(dǎo)數(shù)求出〃SOmin即可.

【解答過(guò)程】(1)由題意得，點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于到直線%=-1的距離，

由拋物線的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，以尸(L0)為焦點(diǎn)的拋物線,

設(shè)y2=2px(p>0),貝吟=1,所以p=2,

故r的方程為y2=4x.

(2)當(dāng)y>0時(shí)，y=2y/x,所以/二專(zhuān)，設(shè)P(m,2g五)(m>0),

則兒小=今即k的斜率為5，

因?yàn)槎?，所以，2的斜率為一而，

所以％的方程為y-2s元=—y/m(x—in),即％=m+2一七y，

代入V=4%,得y2+-^y-4m-8=。.設(shè)

■yjm

由韋達(dá)定理得yi+2g元=—即yi=—2v伉—代入y?=4x,

得(——白)=4xt,即％i=7n+3+4,故Q(m+3+4,-一右)

所以|PQ|=JC+4)+(—4標(biāo)一高f=山+3+5+總

3

令〃(m)=m+3+^+^2(m>0),則a=1—2_m—3m—2(m-2)(m+l)2

~rr?~m3：

易知函數(shù)〃(TH)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

所以〃(m)min=〃(2)=?所以IPQImin=4X仔=6。

4'4

22

【變式4-3X2024?河北張家口三模)已知點(diǎn)Fi，F(xiàn)2分別為橢圓。京+與=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)鼻(—

c,0)的直線/(斜率不為0)交橢圓C于尸，0兩點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|PQ|=3c.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若點(diǎn)N,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且面積的最大值為2百，直線24與直線QB相交于點(diǎn)

求|。蛆的取值范圍.

【解題思路】(1)求出通徑，可得齊次式與=3c,然后可得離心率；

x

(2)設(shè)直線P4QB,PQ方程分別為：x=nry-2,x=n2y+2,x=my-1,P(x^>Vi)>Q(2>72)，MQx0,y0),

聯(lián)立{:二求出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用斜率公式表示出巧,電，代入|。”|化簡(jiǎn)，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于

加的函數(shù)，然后可得|OM|的范圍.

2..2h2

【解答過(guò)程】⑴令久=—C,得r%+方=1,解得y=土，

所以，—=3c,即2(4—c2)=3ac,整理得2/+3e—2=0,

a

解得e=-2(舍去)或”?.

(2)易知，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大,

ab=2A/3

-=|，解得a=2,b=

a2

{a2=b2+c2

所以，橢圓C的方程為。+<=1.

4J

易知，直線P4QBPQ的斜率不為0,

設(shè)其方程分別為：x=nty-2,x=n2y+2,x=my-l,P(%i，yt),Q(.x2,y2),M(x0,yo)>

聯(lián)立官魂〉:解得“。=鬻詈，。=/

4(ni+n2)2+16

所以|。"|2=2

(n!-n2)

由斜率公式可得力=詈，電=詈,

%1+2_%2-2_%1丫2一%2為+2(>2+%)

所以九1一n2

yiyiyiyi

四+九2=山+這二=皿及+，2九+2。2-月）

yiyiy/2

m

因?yàn)椋=myx—l,x2=y2-1，

所以％1丫2-%2丫1=丫2（血丫1-1）一月（血丫2-1）=丫1一丫2,

汽。2+%2、1=丫2(血yi-1)+yi(jriy2-1)=2myry2-(y2+yi)，

所以m_電=332仇+〃1）,2沖/2-(丫2+。1)+2。2-％)

Hi+n2

y，2

聯(lián)立[3%,4y-°得(3病+4)y2—6my-9=0,

(x=my—1

△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0

所以乃曠2=品丁月+乃=品

6m+VA6m—VAMH_6m+VA6m—VA_12-\/ni2+l

不妨記yi=67n2+8'、26m2+8，則以一以=荔石一就石=與西^

22

貝!Mi—n2=—[(Vm+1+m),+n2=|(Vm+1+m),

,______.2______2

4(號(hào)(J7n2+1+m))+1616(，寸+1+771)+9g

所以|OM|2=T；—=16-1---^：---

,4(■7.2+1+.)

易知，Vm24-1+m>0,所以|OM|2>16

所以|OM|>4,即|。河|的取值范圍為（4,+8）.

【例5】（2024?河北承德?二模）已知橢圓。5+/=1（（1>6>0）的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,且C的離

心率是右過(guò)左焦點(diǎn)F的直線，與橢圓交于48兩點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)且與直線I垂直的直線廠與橢圓交于M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求|A8|+|MN|的取值范圍.

【解題思路】（1）由已知列出關(guān)于a,c的方程組，求出a,c,可求62,得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)兩直線一條斜率為0,另一條斜率不存在時(shí)，由通徑與長(zhǎng)軸求出結(jié)果；當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時(shí),

利用弦長(zhǎng)公式把兩弦長(zhǎng)之和表示為關(guān)于斜率的函數(shù)，結(jié)合基本不等式求取值范圍.

【解答過(guò)程】(1)由題意得]解得a=2,c=l,則按=a2-c2=3,

la+c=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。+<=1;

43

(2)由(1)可知,左焦點(diǎn)?(-1,0)，

當(dāng)直線/斜率不存在或者斜率為時(shí)，\AB\+\MN\=

0—a+2a=3+4=7,

當(dāng)直線/斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線E：y=做％+1),直線1：y=—(0+1),

A(xvyi),B(X2,y2),M(X3,乃),N(x4,y4),

y=fc(x+1),

聯(lián)立方程組1/2整理得(4/+3)工2+8々2冗+4々2-12=0,

—I—=1,

I43

[7|||,-8k24k2—12

22

因止匕|48|=V(X1-X2)+(yi-72)=7k2+1+冷)2—=噂普,

同理可得IMNI=尊磬，

所以|M|+|MN|=7+高一懸^=7-五面

由于12k2+卷224,當(dāng)且僅當(dāng)/=1時(shí)等號(hào)成立，則|陰+|MN|<7,

綜上所述，|陽(yáng)+|河川的取值范圍為畏7].

【變式5-1](23-24高三上?陜西西安?開(kāi)學(xué)考試)已知點(diǎn)F為拋物線。產(chǎn)=2pjc(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),

<2(0,1),且|PF|=|QF|.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若正方形2BCD的頂點(diǎn)力、B在直線1:x-y+2=0上，頂點(diǎn)C、。在拋物線C上，^\FC\+\FD\.

【解題思路】

(1)由拋物線方程可得F0),進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可；

(2)設(shè)直線CD的方程為：y=x+小，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得月+乃=8,乃乃=8m,

進(jìn)而結(jié)合正方形的性質(zhì)及拋物線的焦半徑公式求解即可.

【解答過(guò)程】(1)由題設(shè)可得尸g,0),

則|PF|=J(l-Q2+4,\QF\=J(0-Q2+l,

又|PF|=|QF|,故=J(。-(f+l,

整理得p-4=0,即p=4.

所以拋物線C的方程為y2=8x.

(2)因?yàn)榱CD是正方形，所以4B〃CD,直線/與CD之間的距離等于|CD|,

設(shè)直線CD的方程為：y=x+m,

V-X+TH

(y2=8%，消去汽得：y2-8y+8m=0,

由A=64—32m>0,得m<2,

設(shè)。(巧,為)，0(%2/2)，則yi+丫2=8,y/2=8m,

所以|CD|=V2\y1-y2\=a,J(yi+、2產(chǎn)一4yly2=8V2-m,

直線l與CD間的距離為d=曙，

所以整理得：128(2-加)=(小一2/，

V2

由于血<2,故解得zn=-126,

所以汽1+%2=+乃-2m=8+252=260,

故|FC|+\FD\=/+小+p=260+4=264.

【變式5?2】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)已知拋物線尸:、2=2「%(0〈口＜5)上一點(diǎn)、的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)(2到焦

點(diǎn)尸的距離為5,過(guò)點(diǎn)F做兩條互相垂直的弦力B、CD.

(1)求拋物線P的方程.

(2)求明+|CD|的最小值.

【解題思路】(1)首先得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意根據(jù)拋物線的定義得到42=2p(5-鄉(xiāng),

解得即可；

(2)設(shè)直線43方程為％=my+1(THH0),且2(久1/1),聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長(zhǎng)口陰，

同理得到|CD|,再由基本不等式計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】⑴拋物線P：y2=2px(0<p<5)的焦點(diǎn)為尸信0),準(zhǔn)線方程為x=—當(dāng)

由題可知42=2「(5-鄉(xiāng)，

解得p=2或p=8(舍)，

所以，拋物線P的方程為y2=4x.

(2)依題意直線的斜率存在且不為0,

設(shè)直線方程為x=my+1(m0),且力(Xi，yD，BQx2,y2)>

聯(lián)立^2^4%)可得曠?-4my-4=0,顯然△>0,

所以+力=4m,y/2=-4,

貝!J|力引=+m2不+為下-4yly2

=Vl+m2V16+16m2=4m2+4.

同理|CD|=4+3，

所以|48|+\CD\=4巾2+.+822J4m2.+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)取等號(hào)，

所以|4B|+|CD|的最小值為16.

【變式5-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:5+，=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，B，上,

下頂點(diǎn)分別為4,42，四邊形4%4292的面積為2舊且有一個(gè)內(nèi)角為今

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若以線段尸抵為直徑的圓與橢圓C無(wú)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)41,3）的直線與橢圓C交于BQ兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方）,

線段PQ上存在點(diǎn)M,使得鼠=盟，求|MFi|+|M&l的最小值.

【解題思路】（1）由題意可得a的值及b的值，即求出橢圓的方程；

（2）由線段F1F2為直徑的圓與橢圓。無(wú)公共點(diǎn)，可得9+9=1，分直線PQ的斜率存在和不存在兩種情況

討論，設(shè)直線PQ的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)，由需=黑，可

得點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，由IMF/+\MF2\>網(wǎng)巾=］偌+I）,+借丫=警，可得1MF/+|“尸21的最

小值.

【解答過(guò)程】（1）由題意可得2g=3a2sin］可得a=2,

b=asin-=1,或b=asin-=V3,

63

所以橢圓的方程為：9+儼=1或9+9=1;

（2）由以線段為直徑的圓與橢圓。無(wú)公共點(diǎn)，得b>c,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+y=l,

因?yàn)椋?9>1,所以點(diǎn)4在橢圓C外，

設(shè)PQ1，yi）,Q3,%），MOo,yo），

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，黑=產(chǎn)生,黑=￡包，

\AQ\l-x2\MQ\XQ-X2

由瞿=黑，可得尸=山，解得配=小巨牛，（*）

\AQ\\MQ\l-x2x0-x22-（均+%2）

設(shè)直線PQ:y-3=k（%—l）,

y