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2025屆福建省龍海市第二中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.2.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時(shí),若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.3.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.84.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.5.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,若動(dòng)點(diǎn)滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.7.已知全集為,集合,則()A. B. C. D.8.已知集合(),若集合,且對(duì)任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說(shuō)法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱10.已知平面和直線a,b,則下列命題正確的是()A.若∥,b∥,則∥ B.若,,則∥C.若∥,,則 D.若,b∥,則11.正項(xiàng)等比數(shù)列中,,且與的等差中項(xiàng)為4,則的公比是()A.1 B.2 C. D.12.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,,則的面積為_(kāi)_________.14.實(shí)數(shù),滿足,如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則的最小值為_(kāi)______.15.在邊長(zhǎng)為2的正三角形中,,則的取值范圍為_(kāi)_____.16.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個(gè)整數(shù),則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).19.(12分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯(cuò)誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當(dāng)時(shí),記,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng),時(shí),求且的概率.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.21.(12分)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)在x軸上的射影是D,點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程.22.(10分)已知二階矩陣A=abcd,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α1
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
因?yàn)?,,所以根?jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因?yàn)榇嬖谧畲笾?,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正?shù)的取值范圍為,故選C.3、D【解析】
畫(huà)出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當(dāng)時(shí),,由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當(dāng)時(shí),,則不滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,沒(méi)有整數(shù)解當(dāng)時(shí),,至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上,實(shí)數(shù)的最大值為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.4、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.5、A【解析】
先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.6、D【解析】
設(shè)出的坐標(biāo)為,依據(jù)題目條件,求出點(diǎn)的軌跡方程,寫(xiě)出點(diǎn)的參數(shù)方程,則,根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍,可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則∵,∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有:又∵∴故選:D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關(guān)點(diǎn)法;④參數(shù)法;⑤待定系數(shù)法7、D【解析】
對(duì)于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集;對(duì)于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.8、C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)線面的位置關(guān)系,結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時(shí),也可以滿足∥,b∥,故本命題不正確;B:當(dāng)時(shí),也可以滿足,,故本命題不正確;C:根據(jù)平行線的性質(zhì)可知:當(dāng)∥,,時(shí),能得到,故本命題是正確的;D:當(dāng)時(shí),也可以滿足,b∥,故本命題不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系,考查了平行線的性質(zhì),考查了推理論證能力.11、D【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為q,,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式,以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì),解方程可得公比q.【詳解】由題意,正項(xiàng)等比數(shù)列中,,可得,即,與的等差中項(xiàng)為4,即,設(shè)公比為q,則,則負(fù)的舍去,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式,合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式,考查計(jì)算能力.14、【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為,確定出的值,進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時(shí),取得最小值,此時(shí)直線為,作出直線,交于A點(diǎn),由圖象可知,目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值,所以直線也過(guò)A點(diǎn),由,得,代入,得,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí),取得最小值,最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,注意正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.15、【解析】
建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意通過(guò)設(shè)元、消元,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問(wèn)題.16、-1【解析】
討論三種情況,a<0時(shí),根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計(jì)算等號(hào)成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a,即a=﹣1時(shí)取等號(hào),∴a的最大值為﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí),A中共含有最少個(gè)整數(shù),此時(shí)實(shí)數(shù)a的值為﹣1;②a=0時(shí),﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無(wú)窮多,故a=0不符合條件;③a>0時(shí),[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無(wú)窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】
先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問(wèn)題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于??碱}型.18、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長(zhǎng).【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法、運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、(1)見(jiàn)解析,0(2)【解析】
(1)即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對(duì),答對(duì)2道答錯(cuò)1道,答對(duì)1道答錯(cuò)2道,3道題都答錯(cuò),進(jìn)而求解即可;(2)當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對(duì),第二題第三題至少有一道答對(duì),進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)的取值可能為,,1,3,又因?yàn)?故,,,,所以的分布列為:13所以(2)當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對(duì),若第二題回答正確,則其余6題可任意答對(duì)3題;若第二題回答錯(cuò)誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對(duì)題,此時(shí)的概率為(或).【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.20、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?,,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)?,所以,?/p>
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