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廣西玉林市北流實驗中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸2.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β3.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A. B. C. D.4.已知集合,,,則()A. B. C. D.5.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.7.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題8.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.10.過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或11.已知雙曲線:(,)的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.312.已知的垂心為,且是的中點(diǎn),則()A.14 B.12 C.10 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平行四邊形中,,為邊上一點(diǎn)(不與重合),將平行四邊形沿折起,使五點(diǎn)均在一個球面上,當(dāng)四棱錐體積最大時,球的表面積為________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.15.已知函數(shù),若函數(shù)有個不同的零點(diǎn),則的取值范圍是___________.16.如圖所示,直角坐標(biāo)系中網(wǎng)格小正方形的邊長為1,若向量、、滿足,則實數(shù)的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)心形線是由一個圓上的一個定點(diǎn),當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標(biāo)系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與相交于、、三點(diǎn),求線段的長.18.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項公式﹔(2)設(shè),求證:.19.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項和.22.(10分)在中,角,,的對邊分別為,其中,.(1)求角的值;(2)若,,為邊上的任意一點(diǎn),求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.2、B【解析】
根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).10、A【解析】
利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11、A【解析】
由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ).12、A【解析】
由垂心的性質(zhì),得到,可轉(zhuǎn)化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點(diǎn),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,即可得到,從而得到三角形為正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱錐體積最大,當(dāng)且僅當(dāng)面面時體積取得最大值,利用正弦定理求出的外接圓的半徑,再又可證面,則外接球的半徑,即可求出球的表面積;【詳解】解:依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,所以因為,所以,,所以三角形為正三角形,則,,利用余弦定理得即,解得,則所以,當(dāng)面面時,取得最大,所以的外接圓的半徑,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半徑所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計算,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,求出準(zhǔn)線方程,求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),然后求解面積.【詳解】解:雙曲線:雙曲線中,,,則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為,雙曲線的漸近線方程為:,可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),,,,則三角形的面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.15、【解析】
作出函數(shù)的圖象及直線,如下圖所示,因為函數(shù)有個不同的零點(diǎn),所以由圖象可知,,,所以.16、【解析】
根據(jù)圖示分析出、、的坐標(biāo)表示,然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積為零計算出的取值.【詳解】由圖可知:,所以,又因為,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度較易.已知,若,則有.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)();(2).【解析】
(1)化簡得到直線方程為,再利用極坐標(biāo)公式計算得到答案.(2)聯(lián)立方程計算得到,,計算得到答案.【詳解】(1)由消得,即,是過原點(diǎn)且傾斜角為的直線,∴的極坐標(biāo)方程為().(2)由得,∴,由得∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18、(1)證明見解析,;(2)證明見解析【解析】
(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項以及裂項相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點(diǎn),連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一個法向量,設(shè)面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析(2)存在,為中點(diǎn)【解析】
(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點(diǎn).【詳解】(1)由于為中點(diǎn),.又,故,所以為直角三角形且,即.又因為面,面面,面面,故面,又面,所以面面.(2)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,則平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,設(shè)平面與平面所成角為,則由題意可得,解得,所以點(diǎn)為中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查空間二面角的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21、(I);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則依題設(shè).由,可得.由,得,可得.所以.可得.(Ⅱ)設(shè),則.即,可得,且.所以,可知.所以,所以數(shù)列是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前項和.
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