中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)函數(shù)綜合的壓軸題訓(xùn)練（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)選擇、填空壓軸真題匯編

專題05二次函數(shù)函數(shù)綜合的壓軸真題訓(xùn)練

一.二次函數(shù)的圖象

1.（2022?株洲）已知二次函數(shù)>="2+區(qū)-c（aWO）,其中6>0、c>0,則

該函數(shù)的圖象可能為（）

【答案】C

【解答】Vc>0,

-c<0,

故Z,。選項不符合題意;

當(dāng)a>0時，

?”>0,

對稱軸x=上VO,

2a

故B選項不符合題意；

當(dāng)a<0時，b>Q,

，對稱軸x=上>0,

2a

故C選項符合題意，

故選：C

二.二次函數(shù)的性質(zhì)

2.（2022?陜西）已知二次函數(shù)y=N一2x-3的自變量修，如右對應(yīng)的函數(shù)值

分別為為，>2，J3-當(dāng)-1<必<2,叼>3時，yi>yi,為三者之間

的大小關(guān)系是（）

A.V1<J2<J3B.y2<y3<yic.y3<yi<y2D.yi<y\<yz

【答案】D

【解答】解：?.?拋物線歹=N-2X-3=（x-1）2-4,

對稱軸x=l,頂點坐標為（1,-4）,

當(dāng)y=0時，（x-1）2-4=0,

解得x=-1或x=3,

.,.拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（-1,0）,（3,0）,

.,.當(dāng)-1<修<0,1<X2<2,》3>3時，y2V為〈為，

故選：D.

3.（2022?岳陽）已知二次函數(shù)y=加N-4機2%-3（機為常數(shù)，機W0）,點尸

（%,%）是該函數(shù)圖象上一點，當(dāng)0W%W4時，-3,則機的取值范圍

是（）

A.機21或機<0B.機》1C.mW-1或機>0D.mW-1

【答案】A

【解答】解：?.,二次函數(shù)-4刃2》-3,

對稱軸為x=2加，拋物線與y軸的交點為（0,-3）,

?點尸（x,%）是該函數(shù)圖象上一點，當(dāng)0Wx〃W4時，為W-3,

二①當(dāng)機>0時，對稱軸x=2%>0,

此時，當(dāng)x=4時，yW-3,即血⑷-4以2?4-3W-3,

解得根21；

②當(dāng)機<0時，對稱軸x=2加<0,

當(dāng)0WxW4時，y隨x增大而減小，

則當(dāng)0WxPW4時，-3恒成立；

綜上，加的取值范圍是：加三1或機<0.

故選：A.

4.(2022?衢州)已知二次函數(shù)y=a(x-1)2-a(aWO),當(dāng)-1WXW4時,

J的最小值為-4,則a的值為（）

A.工或4B.-1C.-%或4D.-1^4

23232

【答案】D

【解答】解：了=。（x-1）2的對稱軸為直線x=l,

頂點坐標為（1,-a）,

當(dāng)a>0時，在-14W4,函數(shù)有最小值-a,

的最小值為-4,

??_CL=-4,

.?.a=4；

當(dāng)aVO時，在-1WXW4,當(dāng)x=4時，函數(shù)有最小值,

??9a-a=-4,

解得a=--；

2

綜上所述：a的值為4或-工

2

故選：D.

x2-2x+3（x2）

5.（2022?荊門）如圖，函數(shù)y=.oq的圖象由拋物線的一部分和

《xV（x》2）

一條射線組成，且與直線>=機（機為常數(shù)）相交于三個不同的點N（修,

J1）,B（》2，>2），C（招，>3）（X1<X?<X3）.設(shè)/=、/1~絲絲，則/的

X3y3

5

【解答】解：由二次函數(shù)y=N-2x+3（x<2）可知：圖象開口向上，對稱軸

為x=l，

當(dāng)x=l時函數(shù)有最小值為2,修+必=2,

由一次函數(shù)-3什9（x?2）可知當(dāng)x=2時有最大值3,當(dāng);；=2時x=

42

-1-0，

3

.直線y=m（能為常數(shù)）相交于三個不同的點Z（羽，乃），B（X2，了2）,C

（》3，為）（X1<X2<%3），

??乃=處=n=掰，2V加V3,

.,.2<X<—

33

x+x

?z_i2_2

x3x3

5

故答案為：

5

三.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

6.（2022?南充）已知點Af（xi，ji）,N（》2，/）在拋物線^=加X2-2切2%+〃

（mW0）上，當(dāng)修+必>4且修<M時，都有刃<絲，則m的取值范圍為（）

A.0<m<2B.-2<m<0C.m>2D.m<-2

【答案】A

【解答】解：方法一：,拋物線y=mx2-2m2》+〃（機關(guān)0）,

...該拋物線的對稱軸為直線x=-21=%，

2m

當(dāng)XI+X2>4且Xi<X2時，都有為<歹2，

J當(dāng)加>0時，

0V2加W4,

解得0V加W2；

當(dāng)加V0時，

2m>4,

此時m無解；

由上可得，m的取值范圍為0V加W2,

故選：A.

方法二：由為〈及可得，

（m%22-2加2%2+幾）-（mxi2-2m2xi+n）>0,

整理，得：m（%2-xi）（X2+X1-2m）>0,

?.?修+》2>4且%1<%2>

當(dāng)m>0時，則必+%1-2m>0,

即2加W4,

解得mW2,

.?.0V加W2；

當(dāng)m<0時，則必+修-2m<0,此時無解；

由上可得，0〈加W2,

故選：A.

7.（2022?涼山州）已知拋物線y=aN+&+c經(jīng)過點（1,0）和點（0,-3）,

且對稱軸在y軸的左側(cè)，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.。>0

B.a+b=3

C.拋物線經(jīng)過點（-1,0）

D.關(guān)于x的一元二次方程ax^+bx+c=-1有兩個不相等的實數(shù)根

【答案】C

【解答】解：由題意作圖如下：

由圖知，a>0,

故Z選項說法正確，不符合題意，

???拋物線^="2+樂+。經(jīng)過點（1,0）和點（0,-3）,

a+b+c=Q,c=-3,

a+b—3,

故3選項說法正確，不符合題意，

???對稱軸在y軸的左側(cè)，

，拋物線不經(jīng)過（-1,0）,

故C選項說法錯誤，符合題意，

由圖知，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=-1有兩個交點，故關(guān)于x的一元二

次方程辦2+云+°=-1有兩個不相等的實數(shù)根，

故。選項說法正確，不符合題意，

故選：C.

8.（2022?廣安）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=l,與x軸正半軸的交

點為/（3,0）,其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：?abc>0-,②2c-

3&<0；（3）5a+b+2c=Q；④若8（X加）、C（Xy2）、。（為）是

—333

拋物線上的三點，則為<”<為.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

【答案】B

【解答】解：：拋物線開口向上,

?\a>0,

..?拋物線的對稱軸是直線x=l,

且，

2a

??-2a,

：.b<Q,

???拋物線交y軸于負半軸，

.,.c<0,

/.abc>0,故①正確，

???拋物線y=aN-2"+c經(jīng)過(3,0),

***9a-6a+c=0,

??c=-3a，

2c-36=-6a+6a=0,故②錯誤，

5a+b+2c=5a-2a-6a~-3a<0,故③錯誤,

9.（2022?恩施州）已知拋物線y=-云+c,當(dāng)x=l時，j<0；當(dāng)x=2時,

y<0.下列判斷：

①〃>2c；②若c>l,則6>著；③已知點Z（機1，勺），B（根2,〃2）在拋

物線>=工：2-bx+c上，當(dāng)機1<加2<b時，?!>??；④若方程冬2-bx+c=0的

22

兩實數(shù)根為羽，X2，則苞+》2>3.其中正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：?.％=』>（）,

2

拋物線開口向上，

當(dāng)x=l時，y<0；當(dāng)x=2時，y<0,

拋物線與X軸有兩個不同的交點，

A=b2-4ac=b2-2c>0,故①正確；

?當(dāng)x=l時，yVO；當(dāng)x=2時，y<0,

—-A+cVO；

2

.,.b>—+c,

2

當(dāng)c>l時，則6>亳，故②正確；

拋物線的對稱軸為直線x=b,且開口向上，

當(dāng)xVZ）時，歹的值隨x的增大而減小，

.,.當(dāng)％<機2Vb時，故③正確；

,方程-bx+c=O的兩實數(shù)根為%i，x）

22

??修+%2=26,

由②可知，當(dāng)C>1時，則方>_1,

...X1+X2不一定大于3,故④錯誤；

綜上，正確的有①②③，共3個，

故選：C.

10.（2022?呼和浩特）在平面直角坐標系中，點C和點。的坐標分別為（-1,

-1）和（4,-1）,拋物線天=加工2-2mx+2（加W0）與線段CD只有一個公

共點，則加的取值范圍是.

【答案】m=3或-1V加W-—

8

【解答】解：拋物線的對稱軸為：X=-NSL=I,

2m

當(dāng)x=0時，y=2,

???拋物線與y軸的交點坐標為（0,2）,頂點坐標為（1,2-m）,直線CD

的表達式歹=-1,

當(dāng)加>0時，且拋物線過點。（4,-1）時，

16m-8m+2=-1,

解得：機=-3（不符合題意，舍去），

8

當(dāng)拋物線經(jīng)過點（-1,-1）時，

m+2m+2=-1,

解得：m=-1（不符合題意，舍去），

當(dāng)m>0且拋物線的頂點在線段CD上時，

2-m=-1,

解得：加=3,

當(dāng)加V0時，且拋物線過點。（4,-1）時，

16m-8加+2=-1,

解得：m=-—>

8

當(dāng)拋物線經(jīng)過點（-1,-1）時，

m+2m+2=-1,

解得：m=-1,

綜上，根的取值范圍為掰=3或-1〈根w-3,

8

故答案為：m—3或-1<掰W-—.

8

11.（2022?遂寧）拋物線>="2+區(qū)+。（a,b,c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示,

,/拋物線對稱軸在J軸左側(cè),

...-±_<0,

2a

：.b>0,

?拋物線經(jīng)過（0,-2）,

??c=-2,

??,拋物線經(jīng)過（1,0）,

a+b+c=0,

??a+Z?=2,b='2~a,

：.m=a~b+c—a~（2-a）+（-2）—la-4,

.".y=ax2+（2-a）x-2,

當(dāng)x=-1時，y=a+a-2-2=2a-4,

*：b=2-a>0,

.\0<a<2,

-4<2a-4<0,

故答案為：-4<%<0.

12.（2022?隨州）如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+fec+c與x軸交于點（-

1,0）,對稱軸為直線x=l.則下列結(jié)論正確的有（）

①abc>0；

②2a+b=0；

③函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為-4a；

④若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=a+\無實數(shù)根，則-A<a<0.

【答案】C

【解答】解：拋物線開口向下,

.*.a<0,

?.?拋物線交V軸于正半軸，

.,.c>0,

:--L>o,

2a

.?北>0,

abc<0,故①錯誤.

???拋物線的對稱軸是直線x=L

二--L=i,

2a

：.2a+b=0,故②正確.

?拋物線交x軸于點(-1,0),(3,0),

???可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-3),

當(dāng)x=l時，y的值最大，最大值為-4a,故③正確.

"Jax2+bx+c=a+\無實數(shù)根，

:.a(x+1)(x-3)=a+l無實數(shù)根，

ax1-2ax-4。-1=0,A<0>

：.4a2-4a(-4a-1)<0,

'.a(5(/+l)<0,

-A<a<0,故④正確，

5

故選：c.

13.(2022?廣元)二次函數(shù)了="2+區(qū)+cQW0)的部分圖象如圖所示，圖象過

點(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：(1)abc<0；(2)4a+c>

2b；(3)3b-2c>0；(4)若點Z(-2,%)、點8(-工，為)、點C

2.

(―,為)在該函數(shù)圖象上，則Vi<y3〈y2；(5)4a+26三加Cam+b')(機為

2

常數(shù)).其中正確的結(jié)論有()

D.2個

【答案】C

【解答】解：?.?拋物線的開口向下，

??ci0,

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-且=2,

2a

：.b>0,

???拋物線交y軸的正半軸，

/.c>0,

/.abc<0,所以（1）正確；

???對稱軸為直線x=2,

-2=2,

2a

:.b=-4a,

...6+4a=0,

??b=^~4a,

???經(jīng)過點（-1,0）,

:.a~b+c=0,

-4a-q=-5a,

??4〃+c-2Z?=4a-5a+8a=7a,

*￡Z<0,

?4a+c-2bVO,

1.4a+c<2b,故（2）不正確;

,：3b-2c=-12a+10a=-2a>0,故(3)正確;

V|-2-2|=4,|-1-2|=1,l^-2|=^

2222

...方〈歹2V為，故(4)錯誤；

當(dāng)x=2時，函數(shù)有最大值4a+2b+c,

4a+2b+c^am2+bm+c,

4a+2b^mQam+b)(%為常數(shù))，故(5)正確；

綜上所述：正確的結(jié)論有(1)(3)(5),共3個，

故選：C.

14.(2022?巴中)函數(shù)了=|"2+公+&(°>0,b2-4ac>0)的圖象是由函數(shù)>=

ax2+bx+c(a>0,b--4tzc>0)的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向

上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

①2a+b=0；

②c=3；

@abc>Q；

④將圖象向上平移1個單位后與直線了=5有3個交點.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【答案】D

【解答】解：???圖象經(jīng)過(7,0),(3,0),

拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=l,

：.-_L=i,

2a

'.b~-2a,即2a+b=0,①正確.

由圖象可得拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，

：.c<0,②錯誤.

由拋物線y=ax2+bx+c的開口向上可得a>0,

:.b=-2a<0,

abc>0,③正確.

設(shè)拋物線^="2+樂+。的解析式為y=a（x+1）（x-3）,

代入（0,3）得：3=-3a,

解得：a=-1,

'-y="（x+1）（x-3）=-N+2X+3=-（x-1）2+4,

???頂點坐標為（1,4）,

???點（1,4）向上平移1個單位后的坐標為（1,5）,

???將圖象向上平移1個單位后與直線了=5有3個交點，故④正確；

故選：D.

15.（2022?黃石）已知二次函數(shù)>="2+區(qū)+。的部分圖象如圖所示，對稱軸為

直線x=-1,有以下結(jié)論：

@abc<0；②若/為任意實數(shù)，則有。-從W。戶+力；③當(dāng)圖象經(jīng)過點（1,3）

時，方程aN+bx+c-3=0的兩根為修，X2（xi<X2）,則修+3%2=0，其中，

正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解答】解：?.?拋物線開口向上，

.".a>Q,

???拋物線的對稱軸為直線x=-L

即--L=-1,

2a

??b=2a>0,

..?拋物線與j軸的交點在x軸下方,

.,.c<0,

abc<0,所以①正確；

Vx=-1時，y有最小值，

.,.a-b+c^at2+bt+c（/為任意實數(shù)），

即a-btWaP+b,所以②正確；

,圖象經(jīng)過點（1,3）時，得aN+bx+c-3=0的兩根為xi，x2（修〈必），

.,.二次函數(shù)y=a%2+bx+c與直線y=3的一個交點為（1,3）,

..?拋物線的對稱軸為直線x=-L

.,.二次函數(shù)了="2+區(qū)+。與直線了=3的另一個交點為（-3,3）,

即尤］=-3,》2=1，

.".XI+3X2=-3+3=0,所以③正確.

故選：D.

16.（2022?濟南）拋物線y=-/+2皿-祖2+2與y軸交于點0,過點C作直線/

垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變,

組成圖形G,點〃（機-1,為），N（m+1,j2）為圖形G上兩點，若外<

以，則m的取值范圍是（）

A.m<-1或機>0B._A<m<—C.0^m<^2D.-1<m<1

22

【答案】D

【解答】解在y—~x2+2mx-m2+2中，令x—m-1,得y=-（m-1）2+2m

（m-1）-m2+2=1,

令》=機+1,得y=-（m+1）2+2m（m+1）-m2+2=1,

（m-1,1）和（m+1>1）是關(guān)于拋物線y=--4+2對稱軸對稱

的兩點，

①若m-1^0,即（加-1,1）和（%+1,1）在y軸右側(cè)（包括（機-1,1）

在y軸上），

貝U點（m-1,1）經(jīng)過翻折得河（m-1,為），點（m+1,1）經(jīng)過翻折得N

（m+1,竺），

如圖：

V

咪*L

由對稱性可知，%=”，

此時不滿足刃〈了2；

②當(dāng)機+1W0,即（加-1,1）和（機+1,1）在歹軸左側(cè)（包括（機+1,1）

在y軸上），

則點（m-1,1）即為河（機-1,川），點（加+1,1）即為N（機+1,”），

=歹2'

，此時不滿足為〈乃；

③當(dāng)機-1<0+1,即（機-1,1）在y軸左側(cè)，（機+1,1）在y軸右側(cè)

此時Af（m-1,1）,（m+1,1）翻折后得N,滿足為〈力

由掰-1<0<機+1得：-

故選：D.

17.（2022?荊門）拋物線;；=加+樂+0（a,b,c為常數(shù)）的對稱軸為x=-2,

過點（1,-2）和點Go,外），且c>0.有下列結(jié)論：①。<0;②對任意

實數(shù)機都有：am2+bm^4a-2b；③16a+c>4b；④若沏>-4,則為>（?.其

中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解答】解：???拋物線了=依2+區(qū)+。b,。為常數(shù)）的對稱軸為x=-2,

過點（1,-2）,且c>0,

???拋物線開口向下，則。<0,故①正確；

???拋物線開口向下，對稱軸為x=-2,

???函數(shù)的最大值為4a-2b+c,

I.對任意實數(shù)m都有：am2+bm+c^：4a-2b+c,即am2+bm^：4a-2b,故②錯

誤；

?對稱軸為x=-2,c>0.

...當(dāng)x=-4時的函數(shù)值大于0,即16a-46+c>0,

16a+c>4&,故③正確；

?對稱軸為x=-2,點（0,c）的對稱點為（-4,c）,

???拋物線開口向下，

...若-4<沏<0,則y（）>c,故④錯誤；

故選：B.

四.二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

18.（2022?常德）我們發(fā)現(xiàn)：V6+3=3?46+V6+3=3,勺=

3,…，，6+/6+詬—+76+7^^=3,一般地，對于正整數(shù)a,b,如果滿足

Jb+Jb+\/b+…+NbWb=二?時,稱（a，b）為一■組完美方根數(shù)對.如上面

（3,6）是一組完美方根數(shù)對，則下面4個結(jié)論：①（4,12）是完美方根

數(shù)對；②（9,91）是完美方根數(shù)對；③若（a,380）是完美方根數(shù)對，則

?=20；④若（x,j）是完美方根數(shù)對，則點尸（x,y）在拋物線y=x2-x上,

其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

［解答］解將（4,12）代入"12+4=4,V12+V12+4=4,J12+J12W12+4

=4,?

A（4,12）是完美方根數(shù)對；故①正確；

將（9,91）代入491+9=1029,弋乂m1+9

???（9,91）不是完美方根數(shù)對，故②錯誤；

③；（a,380）是完美方根數(shù)對,

...將（a,380）代入公式，V380+a=a-V380+V380+a=a,

解得。=20或。=-19（舍去），故③正確；

④若（X,V）是完美方根數(shù)對，則GG=x，［y+Vy+x=x，

整理得y=N-x,

點尸（x,y）在拋物線歹=N-x上，故④正確；

故選：C.

19.（2022?成都）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于Z（-1,

0）,8兩點，對稱軸是直線x=l,下列說法正確的是（）

A.?>0

B.當(dāng)x>-1時，y的值隨x值的增大而增大

C.點8的坐標為（4,0）

D.4a+2b+c>0

【答案】D

【解答】解：A,由圖可知：拋物線開口向下，?<0,故選項Z錯誤，不符合

題意；

8、???拋物線對稱軸是直線x=l,開口向下，

...當(dāng)時y隨x的增大而減小，x<l時y隨x的增大而增大，故選項8錯

誤，不符合題意；

C、由Z（-1,0）,拋物線對稱軸是直線x=l可知，8坐標為（3,0）,故

選項C錯誤，不符合題意；

D、拋物線y=ax2+fec+c過點（2,4a+2A+c）,由8（3,0）可知：拋物線上

橫坐標為2的點在第一象限，

/.4a+2b+c>Q,故選項。正確，符合題意；

故選：D.

20.（2022?貴港）已知二次函數(shù)丁="2+區(qū)+。（aWO）圖象的一部分如圖所示,

該函數(shù)圖象經(jīng)過點（-2,0）,對稱軸為直線x=-L.對于下列結(jié)論：①

2

abc<0；②〃-4。。>0；③。+6+。=0；@am2+bm<^-2Z））（其中加W

3）；⑤若Z（卬乃）和5"3均在該函數(shù)圖象上，且修>X2〉1，

則加>為.其中正確結(jié)論的個數(shù)共有一個.

【答案】3

【解答】解：?.?拋物線的對稱軸為直線x=-上，且拋物線與x軸的一個交點

2

坐標為（-2,0）,

...拋物線與x軸的另一個交點坐標為（1,0）,

把（-2,0）（1,0）代入y=aN+bx+c（〃W0）,可得：

（4a-2b+c=0

1a+b+c=O

解得［b=a,

（c=-2a

??a+Z?+c=a+a-2a=0,故@正確；

???拋物線開口方向向下，

.e.a<0,

c~~-2a>0,

abc>0,故①錯誤；

???拋物線與x軸兩個交點，

.?.當(dāng)y=0時，方程ax2+bx+c=Q有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.b2-4ac>0,故②正確；

am2+bm—am2+am-a(m+—)2-Aa,

24

(a-2b)=—(a-2a)=--A/z,

444

/.am2+bm-ACa-2b)—a(m+A)2,

42

又,.,a<0,mW-

2

'.a(m+—)2c0,

2

即am2+bm<—(a-26)(其中mW--),故④正確；

42

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-上，且拋物線開口朝下，

2

.?.可知二次函數(shù)，在x>-工時，y隨x的增大而減小，

2

?；修>必>1>-A,

2

，

..y1<y2>故⑤錯誤，

正確的有②③④，共3個，

故答案為：3.

21.(2022?達州)二次函數(shù)>=仆2+區(qū)+0的部分圖象如圖所示，與了軸交于

CO,-1),對稱軸為直線x=l.下列結(jié)論：①abc>0；②③對于

任意實數(shù)機，都有機(am+b)成立；④若(-2,月)，,”)，

2

(2,y3)在該函數(shù)圖象上，則y3<N2<刃；⑤方程|辦2+云+°|=左(左》0,左為

常數(shù))的所有根的和為4.其中正確結(jié)論有()個.

y

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解答】解：?.?拋物線開口向上，

.??拋物線與y軸交于點（0,-1）,

'.c=-1,

V-±-=1,

2a

:?b=-2a<0,

/.abc>0,故①正確，

*/y=ax2-2ax-1,

當(dāng)x=-1時，y>0,

a+2a-1>0,

：.a>l,故②正確，

當(dāng)機=1時，m（am+b）—a+b,故③錯誤，

???點（-2,乃）到對稱軸的距離大于點（2,為）到對稱軸的距離，

?,?乃〉乃，

?.?點（_1,K）到對稱軸的距離小于點（2,心）到對稱軸的距離，

???乃〉歹2,

.,>y2<y3<yi>故④錯誤，

?.?方程|"2+區(qū)+。尸左&N0,左為常數(shù)）的解，是拋物線與直線^=土左的交點,

當(dāng)有3個交點時，方程依2+bx+c尸左（左>0,左為常數(shù)）的所有根的和為3,

當(dāng)有4個交點時，方程|aN+bx+c尸左（左20,左為常數(shù)）的所有根的和為4,

當(dāng)有2個交點時，方程|"2+樂+°|=左（左三0,左為常數(shù)）的所有根的和為2,

故⑤錯誤，

22.（2022?徐州）若二次函數(shù)y=N-2x-3的圖象上有且只有三個點到x軸的

距離等于m,則m的值為.

【答案】4

【解答】解：-2x-3=（x-1）2-4,

拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=l,頂點為（1,-4）,

???頂點到x軸的距離為4,

：函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m,

/.m=4,

故答案為：4.

五.二次函數(shù)的最值

23.（2022?舟山）已知點Z（a,b）,B（4,c）在直線y=fcc+3（左為常數(shù)，k

W0）上，若乃的最大值為9,則。的值為（）

A.AB.2C.3D.1

22

【答案】B

【解答】解：：點N（a,b）,B（4,c）在直線y=fcc+3上，

.[ak+3=b①

4k+3=c②’

由①可得：ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+上_）2-

2k4k

,.Zb的最大值為9,

.?"<0,-J_=9,

4k

解得左=-L

4

把左=-2■代入②得：4X(-A)+3=c,

44

??c==2,

故選：B.

24.(2022?嘉興)已知點Z(a,b),B(4,c)在直線y=fcc+3(左為常數(shù)，k

力0)上，若仍的最大值為9,則c的值為()

A.1B.2C.2D.A

22

【答案】C

【解答】解：,點/(a,b),B(4,c)在直線y=fcc+3上，

.[ak+3=b①

?14k+3=c②’

由①可得：ab—a(ak+3)=ka2+3a=k(a+—)2--,

2k4k

,?Zb的最大值為9,

.,"<0,-2=9,

4k

解得人=-L

4

把左=-■代入②得：4X(-A)+3=c,

44

??c=2,

故選：C

六.二次函數(shù)圖象與幾何變換

25.(2022?湘西州)已知二次函數(shù)y=-N+4x+5及一次函數(shù)y=-x+A,將該二

次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得

到一個新圖象(如圖所示)，當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個交點時，b的

取值范圍是.

x

［答案］-空<|<-1

一4

【解答】解：如圖，當(dāng)y=0時，-N+4X+5=0,解得勺=-1,切=5,貝!J/

(-1,0),8(5,0),

將該二次函數(shù)在X軸上方的圖象沿X軸翻折到X軸下方的部分圖象的解析式為

y=(x+1)(x-5),

即y=x2-4x-5(-1WxW5),

當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點/(-1,0)時，1+6=0,解得b=-1；

當(dāng)直線y=-x+b與拋物線了=N-4x-5(-1WxW5)有唯一公共點時，方程

x2-4x-5=-x+b有相等的實數(shù)解，解得b=-29,

4

所以當(dāng)直線y=-x+A與新圖象有4個交點時，b的取值范圍為-聾-

1.

26.(2022?荊州)規(guī)定：兩個函數(shù)外，”的圖象關(guān)于y軸對稱，則稱這兩個函

數(shù)互為“y函數(shù)”.例如函數(shù)》=2x+2與及=-2x+2的圖象關(guān)于了軸對稱，

則這兩個函數(shù)互為“y函數(shù)”.若函數(shù)了=丘2+2(左-i)x+左-3(左為常數(shù))

的“y函數(shù)”圖象與X軸只有一個交點，則其“y函數(shù)”的解析式

為.

［答案］y=2x-3或尸-N+4x-4

【解答】解：???函數(shù)了=必+2(左-1)x+k-3(左為常數(shù))的“丫函數(shù)”圖象

與x軸只有一個交點，

函數(shù)y=^2+2(左-l)x+左-3(左為常數(shù))的圖象與x軸也只有一個交點，

當(dāng)左=0時，函數(shù)解析式為y=-2x-3,它的“V函數(shù)”解析式為了=2x-3,

它們的圖象與x軸只有一個交點，

當(dāng)上關(guān)0時，此函數(shù)是二次函數(shù)，

?.?它們的圖象與X軸都只有一個交點，

???它們的頂點分別在x軸上，

4k（k-3）-[2（k-l）]2=Q,

4k

解得:k=-1,

，原函數(shù)的解析式為歹=---?-4=-（x+2）2,

???它的“丫函數(shù)”解析式為了=-（x-2）2=-x2+4x-4,

綜上，"y函數(shù)"的解析式為了=2x-3或尸--+4X-4,

故答案為：y=2x-3或^=-x2+4x-4.

七.拋物線與x軸的交點

27.（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y=ax2+fec+c（aWO）與x軸的一個交點坐標

為（-1,0）,拋物線的對稱軸為直線x=l,下列結(jié)論：①欣＜0；②3a+c

=0；③當(dāng)歹＞0時，x的取值范圍是-lWx＜3；④點（-2,入），（2,處）

都在拋物線上，則有為＜0＜為.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

【解答】解：根據(jù)函數(shù)的對稱性，拋物線與x軸的另外一個交點的坐標為（3,

0）；

①函數(shù)對稱軸在歹軸右側(cè)，則仍＜0,而C已經(jīng)修改＞0,故。秘＜0,

故①正確，符合題意；

②*/x=--=L即b=-2a,

2a

而x=-1時，y=0,即a-6+c=0,

**?a+2a+c=0,

.??3a+c=0?

.?.②正確，符合題意；

③由圖象知，當(dāng)y>0時，x的取值范圍是-

③錯誤，不符合題意；

④從圖象看，當(dāng)x=-2時，h<0,

當(dāng)x=2時，y2>0,

???有y1<0<歹2，

故④正確，符合題意；

故選：C.

28.（2022?棗莊）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進行了反思總結(jié).如圖，

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1,

0）,對稱軸為直線x=-1,結(jié)合圖象他得出下列結(jié)論①而>0且c>0；②

a+b+c=O；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的兩根分別為-3

和1;④若點（-4,以），（-2,以），（3,乃）均在二次函數(shù)圖象上，

則為〈竺〈乃；⑤3a+c<0,其中正確的結(jié)論有.（填序號，多選、少

選、錯選都不得分）

［答案］①②⑶

【解答】解：?.?拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)，

...ab>0,

,：拋物線與y軸交點在x軸上方，

①正確；

?拋物線經(jīng)過（1,0）,

??a+b+c=0,（2）.

???拋物線與x軸的一個交點坐標為（1,0）,對稱軸為直線x=-l,

???另一個交點為（-3,0）,

.,?關(guān)于x的一元二次方程。/+云+C=0（aWO）的兩根分別為-3和1,③正

確；

-1-（-2）<-1-（-4）<3-（-1）,拋物線開口向下，

???”>為>為，④錯誤.

???拋物線與x軸的一個交點坐標為（1,0）,

**.a+6+c=0,

--L=-1,

2a

??Z?=2a,

...3a+c=0,⑤錯誤.

故答案為：①②③.

29.（2022?福建）已知拋物線產(chǎn)N+2X-〃與％軸交于2,8兩點，拋物線尸

9-2x-〃與X軸交于C,。兩點，其中〃>0.若AD=2BC,則"的值

為—.

【答案】8

【解答】方法1、解：針對于拋物線產(chǎn)一+2廠〃，

令y=0,則X2+2X-〃=0,

??x=-1iVn+1，

針對于拋物線y=x2-2x-n,

令y=0,貝UN-2x-〃=0,

??x=1±Vn+1，

,拋物線y=N+2x-n—(x+1)2-n-1,

拋物線y=N+2x-〃的頂點坐標為(-1,

,拋物線y=N-2x-n=(x-1)2-n-1,

，拋物線y=N-2x-〃的頂點坐標為(1,-?-1),

，拋物線y=x2+2x-〃與拋物線y=x2-2x-n的開口大小一樣，與y軸相交于

同一點，頂點到x軸的距離相等，

：.AB=CD,

?：AD=2BC,

...拋物線y=N+2x-n與x軸的交點A在左側(cè)，B在右側(cè)，拋物線y=N-2x-

〃與x軸的交點。在左側(cè)，。在右側(cè)，

A(-1-7n+1，0),B(-1+Vn+1?0),C(1_個n+1，0),D

(l+Vn+1>0)，

AD=1+Vn+1-(*1-Vn+1)=2+21n+1,BC—~1+Vn+l-(1-7n+1)

—~2+25/n+1，

??2+2^/n+1=2(i2+2、n+1)，

故答案為：8.

方法2^y—x2+2x-n—(x+1)2-n-1,

，拋物線y=N+2x-〃的對稱軸為直線x=-1,頂點坐標為(-1,-?-1),

"."y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,

...拋物線y=N-2x-〃的對稱軸為直線x=l,頂點坐標為(1,-w-1),

...拋物線y=x2-2x-〃的圖象可由y=N+2x-〃的圖象向右平移兩個單位得到，

V?>0,

-72-1<-1,

兩函數(shù)的圖象如圖所示：

由平移得，AC=BD