魯教版七年級數(shù)學(xué)上冊第二章軸對稱第4課時(shí)等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)課件

第二章軸對稱3簡單的軸對稱圖形第4課時(shí)等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)4等邊三角形的性質(zhì)及判定1.(2024山東泰安岱岳期中)在△ABC中,AB=AC=BC,則∠A的

度數(shù)是

(

)A.40°

B.50°

C.60°

D.70°C解析∵AB=AC=BC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠A=60°.故選C.2.(2024山東菏澤曹縣期中)如圖,△ABD是等邊三角形,BC=

BD,∠BAC=20°,則∠CBD的度數(shù)為

(

)

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°D解析∵△ABD是等邊三角形,∴AB=BD,∠ABD=60°,∵BC=BD,∴AB=BC,∵∠BAC=20°,∴∠ACB=∠BAC=20°,∴∠ABC=180°-2∠BAC=140°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=140°-60°=80°.故選D.3.(2024山東濱州濱城期中)下列推理中,不能判定△ABC是等

邊三角形的是

(

)

A.∠A=∠B=∠C

B.AB=AC,∠B=60°C.∠A=60°,∠B=60°

D.AB=AC,∠B=∠CD解析

A.由“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”可以

判定△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;B.由“有一

個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判定△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;C.由“∠A=60°,∠B=60°”可以得到“∠C=60°”,進(jìn)而得到∠A=∠B=∠C,則由“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”可以判定△ABC是等邊三角形,故本選項(xiàng)不符合題意;D.由“AB=AC,∠B=∠C”

只能判定△ABC是等腰三角形,故本選項(xiàng)符合題意.故選D.4.(2022山東臨沂臨沭期末)如圖所示的是由三個(gè)等邊三角形

隨意擺放組成的圖形,則∠1+∠2+∠3=

(

)A.90°

B.120°

C.180°

D.無法確定C解析如圖,由題易知∠1=180°-60°-∠ABC=120°-∠ABC,∠2=180°-60°-∠ACB=120°-∠ACB,∠3=180°-60°-∠BAC=120°-∠BAC,因?yàn)椤螦BC+∠ACB+∠BAC=180°,所以∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.故選C.5.(2024山東濱州期末)如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊的中

點(diǎn),以A為圓心,AD長為半徑畫弧,與AC邊交于點(diǎn)E,連接DE,則

∠ADE的度數(shù)為

(

)

A.60°

B.105°

C.75°

D.15°C解析∵△ABC為等邊三角形,D為BC邊的中點(diǎn),∴∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,由題意可知AD=AE,∴∠AED=∠ADE=

×(180°-30°)=75°.故選C.6.(2024山東聊城陽谷期中)如圖,△ABC為等邊三角形,BD⊥

AC于點(diǎn)D,DE∥BC交AB于點(diǎn)E.(1)求證:△ADE是等邊三角形.(2)求證:AE=

AB.證明

(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°.∴△ADE是等邊三角形.(2)∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC.∵BD⊥AC,∴AD=

AC.∵△ADE是等邊三角形,∴AE=AD，∴AE=AB.知識點(diǎn)5含30°角的直角三角形的性質(zhì)7.(2024山東濟(jì)寧學(xué)院附中期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=2cm,則BC的長為

(

)

A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.10cmA解析∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°,∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∴AD=

BD,∵AD=2cm,∴BD=4cm,∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°,∴∠CAD=∠C,∴CD=AD=2cm,∴BC=BD+CD=4+2=6(cm).故選A.8.(2023貴州中考)2023年5月26日,“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)

業(yè)博覽會”在貴陽開幕,在“自動化立體庫”中有許多幾何

元素,其中有一個(gè)等腰三角形模型(示意圖如圖所示),它的頂

角為120°,腰長為12m,則底邊上的高是

(

)

A.4m

B.6m

C.10m

D.12mB解析如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,

在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=

(180°-∠BAC)=30°,∵AD⊥BC,∴AD=

AB=

×12=6(m).故選B.9.(教材變式·P54T3)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,則AD的長為

(

)

A.1.5

B.2

C.3

D.4B解析∵∠DBC=60°,∠C=90°,∴∠BDC=90°-60°=30°,∴BD=2BC=2×1=2,∵∠C=90°,∠A=15°,∴∠ABC=90°-15°=75°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD=2.故選B.能力提升全練10.(2024山東青島萊西期末,6,★★☆)如圖,直線a∥b,等邊△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上,若∠1=38°,則∠2的度數(shù)為

(

)

A.142°

B.128°

C.98°

D.92°C解析設(shè)直線a與AB交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)

的直線a上,如圖所示.∵∠1=38°,∴∠ADE=∠1=38°,∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=60°,∴∠AED=180°-60°-38°=82°,∴∠AEF=180°-82°=98°,∵a∥b,∴∠2=∠AEF=98°.故選C.11.(2024山東威海文登期中,10,★★☆)如圖,在等邊△ABC

中,AB=5,點(diǎn)D在AB上,且BD=1,點(diǎn)E、F分別是BC、AC上的

點(diǎn),連接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的長是

(

)

A.3

B.3.5

C.4

D.4.5C解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC=5,∵∠CEF=180°-∠C-∠EFC,∴∠BEF=180°-∠CEF=∠C+∠EFC,又∠BEF=∠BED+∠FED,∠DEF=∠C=60°,∴∠BED=∠EFC,在△DBE和△ECF中,

∴△DBE≌△ECF(AAS),∴DB=EC=1,∴BE=BC-EC=5-1=4.故選C.12.(2024山東濱州期末,10,★★★)在等邊△ABC中,D、E分

別為AB、AC邊上的動點(diǎn),BD=2AE,連接DE,以DE為邊在△

ABC內(nèi)作等邊△DEF,連接CF,當(dāng)D從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(不運(yùn)動

到點(diǎn)B)時(shí),∠ECF度數(shù)的變化情況是

(

)

AA.不變

B.變小C.變大

D.先變大后變小解析在AC上截取CN=AE,連接FN,如圖所示.

∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=60°,AB=AC,∵BD=2AE,∴AD=EN,∵△DEF是等邊三角形,∴DE=EF,∠DEF=60°,∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,∴∠ADE=∠NEF,在△ADE和△NEF中,

∴△ADE≌△NEF(SAS),∴AE=FN,∠FNE=∠A=60°,∴FN=CN,∴∠NCF=∠NFC,∵∠FNE=60°,∴∠FNC=120°,∴∠NCF=

×(180°-120°)=30°,即∠ECF=30°,∴∠ECF的度數(shù)不變.故選A.13.(2023江西中考,10,★★☆)將含30°角的直角三角板和直

尺按如圖所示的方式放置,已知∠α=60°,點(diǎn)B,C表示的刻度分

別為1cm,3cm,則線段AB的長為

cm.

2解析易知∠ACB=∠α=60°,∵∠A=60°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°,∴∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=3-1=2(cm).故答案為2.素養(yǎng)探究全練14.(動點(diǎn)問題)(推理能力)(2023山東德州七中期末)在邊長為

9的等邊三角形ABC中,點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn),點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)

且以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.(1)如圖1,若BQ=6,PQ∥AC,求t的值.(2)如圖2,若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā),按“B→C→A”路線運(yùn)動,則當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為等邊三角形?解析

(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°,∴∠B=∠BQP=∠BPQ,∴△BPQ是等邊三角形,∴BP=BQ,由題意可知AP=t,則BP=9-t,∴9-t=6,解得t=3,即t的值為3.(2)分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí),易知△APQ不可能為等邊三角形;②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí),如圖,若△APQ為等邊三角形,則AP=AQ,由題意可知AP=t,BC+CQ=2t,∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t,∴18-2t=t,解得t=6,∴當(dāng)t=6時(shí),△APQ為等邊三角形.綜上,當(dāng)t=6時(shí),△APQ為等邊三角形.

微專題將軍飲馬模型例

(2024福建廈門同安期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,

AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M,P是直線MN上一動點(diǎn),

點(diǎn)H為BC的中點(diǎn).若BC=5,△ABC的面積是30,則PB+PH的最

小值為

(

)

A.5

B.6