2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3 等腰三角形 課課練(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷12.3等腰三角形課課練(含答案)-12.3等腰三角形第1課時◆名師導(dǎo)航本課重點內(nèi)容是等腰三角形的兩個重要性質(zhì)：性質(zhì)1，等腰三角形的兩個底角相等；性質(zhì)2，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．實際上，由于等腰三角形是軸對稱圖形，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線、兩腰的高，以及教科書安排的“討論”欄目中提到的一些線段和角等，這些結(jié)論用全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)可以比較容易的證明．◆典例精析【例1】（2007年重慶市）已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）（A）200（B）1200（C）200或1200（D）360【思路點撥】結(jié)合等腰三角形底角相等的性質(zhì)，要分類討論該三角形三個內(nèi)角的比可能為1：1：4或1：4：4，于是這個三角形頂角可為200或1200．【簡解】C．【規(guī)律總結(jié)】本題是一道經(jīng)典考題，主要考查三角形內(nèi)角和定理及分類討論的思想意識．【例2】如圖所示，Rt△ABC中，是直角，D是AB上的一點，BD=BC，過D點作AB的垂線交AC于點．，CD、B．交于點F，求證：．【思路點撥】由已知得△BDC是等腰三角形，要證，只要證BF是頂角的平分線或是底邊CD上的中線，所以只要證，或證DF=FC即可．已知，可從證入手．【證明】【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查三角形全等、等腰三角形三線合一等知識的綜合運用．在運用三線合一性質(zhì)時，通常是證明在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的中線，底邊上的高三條中具有一條性質(zhì)時，則它必同時具有另兩條性質(zhì)，而不是證這三條線段重合，在證題時不能混淆．◆跟蹤訓(xùn)練1．等腰三角形的對稱軸是（）A．頂角的平分線B．底邊上的高C．底邊上的中線D．底邊上的高所在的直線2．等腰三角形有兩條邊長為4cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一個外角是80°，則其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（）A．80°B．90°C．100°D．108°6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．7．等腰三角形“三線合一”是指___________．8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個底角的角平分線所夾的鈍角是_________．9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____．10．△ABC中，AB=AC．點D在BC邊上.（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．參考答案1．D2．B3．A4．C5．B6．607．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合8．（90+n）°9．70°10．略12.3等腰三角形第2課時◆名師導(dǎo)航本課的重點是探究了等腰三角形的判定方法：等角對等邊．這也是證明兩條線段相等的重要方法，它是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，同學(xué)們注意掌握這個技能，這也是全章重點所在．另外還要注意體會的是“等邊對等角”與“等角對等邊”是不一樣的兩個結(jié)論，它們的題設(shè)與結(jié)論正好相反，實際上是互逆命題，也前面平行線的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)類似，具體應(yīng)用時要注意不能混淆，這也是一個難點．◆典例精析【例題】如圖，△ABC中，AB=AC，過BC上一點D作BC的垂線，交BA的延長線于P，交AC于Q，試判斷△APQ的形狀，并證明你的結(jié)論.【思路點撥】判斷三角形的形狀，其探索思路是根據(jù)圖形結(jié)合我們學(xué)習(xí)過的特殊的三角形（如等腰三角形，等邊三角形，直角三角形等）進行探究.【解析】△APQ是等腰三角形.證明：因為AB=AC，所以∠B=∠C，又PD⊥BC，所以∠BDP=∠PDC，所以∠P=∠DQC，又因為∠DQC=∠AQP，所以∠AQP=∠P，所以△APQ為等腰三角形.【規(guī)律總結(jié)】解決和等腰三角形有關(guān)的探索型試題，需要根據(jù)等腰三角形的特征，結(jié)合已知條件進行.◆跟蹤訓(xùn)練1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm（1）(2)(3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個B．2個C．3個D．4個3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF二、填空題5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進30海里后到達小島，此時測得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．三、解答題9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點F，且∠ABD=∠ACE，求證：BF=CF．10．如圖，△ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．參考答案1．A2．C3．A4．C5．16．AB=AC7．2cm8．30海里9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC10．證明∠D=∠BED12.3等腰三角形第3課時◆名師導(dǎo)航本課重點是等邊三角形的性質(zhì)、判定方法及直角三角形的一個性質(zhì)．等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，它的性質(zhì)實際上也是等邊對等角問題，由于它三條邊都相等，于是它的三個角都相等為60度；第一個判定正三角形的方法也是等角對等邊的問題，只是三個角都相等，所對的三個邊都相等，從而它是等邊三角形，第2個判定方法告訴我們，在等腰三角形中，只要有一個角為60度，不論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形，這也給證明三角形中邊相等帶來方便．◆典例精析【例題】已知△ABC為等邊三角形，在圖①中，點M是線段BC上任意一點，點N線段CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點．（1）請猜一猜：圖①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件不變，如圖②所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如不成立，請說明理由．【思路點撥】（1）題通過猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60°，而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立．【簡解】（1）∠BQM=60°；（2）題的證明思路如下：先證△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．【規(guī)律總結(jié)】隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，經(jīng)常會出現(xiàn)規(guī)律探究題，要求同學(xué)們在運動變化中探求圖形某些不變的性質(zhì)或變化的規(guī)律，培養(yǎng)同學(xué)們運動變化的觀念，以及發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力．◆跟蹤訓(xùn)練1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點I，則∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形第3題第5題4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點，∠1=∠2，BE=CD，則對△ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（）A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定形狀6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點F，則∠AFE=______．8．等邊三角形是軸對稱圖形，它有______條對稱軸，分別是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長線于點D，則CD的長度是_______．10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？參考答案1．C2．D3．A4．C5．B6．60°7．60°8．三；三邊的垂直平分線9．1cm10．60°或120°12.3等腰三角形第4課時◆名師導(dǎo)航本課安排一節(jié)習(xí)題課，綜合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)、判定與等邊三角形的性質(zhì)與判定，還有直角三角形的一個重要性質(zhì)，靈活地選擇性質(zhì)進行求解．◆典例精析【例題】如圖所示，P、Q是△ABC邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求的度數(shù)．【思路點撥】由已知△APQ為等邊三角形，故可求得它的外角的度數(shù)，又由等腰三角形的性質(zhì)求得底角的度數(shù)．【解析】（等邊三角形三個角都為60°）（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）．【規(guī)律總結(jié)】（1）幾何計算的目的通常是找量與量的關(guān)系，等腰三角形的兩底角相等，等邊三角形三內(nèi)角均為60°，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等都是建立量與量的關(guān)系的依據(jù)．（2）幾何計算通常用列方程（組）來解決．◆跟蹤訓(xùn)練1．如圖，等腰三角形中，，∠=44°，⊥于，則∠等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°ＡＡＢＤＣAADCＢ第1題第3題第4題2．已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．如圖所示，在等腰三角形中，，，那么底邊上的高cm．4．（教材變型題）如圖,是屋架設(shè)計圖的一部分,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直于橫梁AC,BC=4m,∠A=30°,則DE等于()(A)1m(B)2m(C)3m(D)4m5．如圖，中，，，垂直平分，則的度數(shù)為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第5題第7題一個等腰三角形的兩邊分別為8cm和6cm，則它的周長為cm．7．聰明的亮亮用含有的兩個完全相同的三角板拼成如圖所示的圖案，并發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形，請你幫他找出兩個等腰三角形．8．已知等腰三角形中，為邊上一點，連接，若和都是等腰三角形，則的度數(shù)是．AFCDHBAFCDHBMEG10．如圖所示，A，B是4×5網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1．請在圖中清晰標(biāo)出使以A，B，Ｃ為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點Ｃ的位置．參考答案1．D2．D3．64．B5．Ｄ6．22或207．8．或9．3ABABCCC達標(biāo)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固·達標(biāo)1.等腰△ABC中，頂角∠A＝40°，則一個底角∠B＝________.2.2010上海模擬等腰三角形底邊上的高等于腰長的一半，則底角等于________度.3.已知等腰三角形的一個角的補角是100°，那么這個等腰三角形的三個內(nèi)角分別為________.4.等腰三角形的兩邊分別為5cm和8cm，則它的周長為________.5.如圖14-3-12，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.圖14-3-12圖14-3-13圖14-3-146.如圖14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點，且AD＝CD＝BC，則∠B＝________，∠ACD＝________.若點D到BC的距離為1cm，那么點D到AC的距離為________.7.如圖14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠DBC＝________.8.等腰三角形的底角為15°，腰長為2acm，則三角形的面積為________.9.如圖14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC和∠ACB的平分線，且相交于F，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9圖14-3-15圖14-3-1610.如圖14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新11.如圖14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且AO⊥BC,求證:OB＝OC.圖14-3-1712.如圖14-3-18是一座斜拉橋的剖面圖.BC是橋路面，AD是橋墩，設(shè)計大橋時工程師要求斜拉的鋼繩AB等于AC.大橋建成后，工程技術(shù)人員要對大橋質(zhì)量進行驗收，由于橋墩AD很高，無法直接測量鋼繩AB、AC的長度.請你用兩種不同的方法檢驗AB、AC的長度是否相等？（檢驗工具為刻度尺、量角器；檢驗時，人只能站在橋面上）圖14-3-1813.如圖14-3-19，在一個房間內(nèi)，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時梯子的傾斜角為75°.若梯子底端距離地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45°.則這間房子的寬AB是米.圖14-3-1914.如圖14-3-20，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形.（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程.圖14-3-2015.如圖14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度數(shù).圖14-3-2116.某校計劃將一塊形狀為等邊三角形的土地分成四塊形狀為等腰三角形的土地，每一塊地三、回顧·熱身·展望17.浙江金華模擬如圖14-3-22是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點O是橫板AB的中點，AB可以繞著點O上下轉(zhuǎn)動，當(dāng)Ａ端落地時，∠OAC＝20°，橫板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A′OA）是（）圖14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°18.2010安徽阜陽模擬模擬下面是兩位學(xué)生的探討過程：學(xué)習(xí)了等腰三角形內(nèi)容后，李老師布置了一道題：等腰三角形上的高與另一腰的夾角為30°，求頂角的度數(shù).小王說：“頂角的度數(shù)應(yīng)為60°”；小張說：“應(yīng)該等于120°吧”.這時許多同學(xué)一起來議論……（1）假如你也參加了討論，你的意見如何？為什么？（2）通過上面問題的討論，結(jié)合平時的學(xué)習(xí)，寫寫自己的想法.（用一句話表示）參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固·達標(biāo)1.等腰△ABC中，頂角∠A＝40°，則一個底角∠B＝________.答案：70°2.2010上海模擬等腰三角形底邊上的高等于腰長的一半，則底角等于________度.答案：303.已知等腰三角形的一個角的補角是100°，那么這個等腰三角形的三個內(nèi)角分別為________.答案：80°，80°，20°或50°，50°，80°4.等腰三角形的兩邊分別為5cm和8cm，則它的周長為________.答案：18cm或21cm5.如圖14-3-12，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.圖14-3-12圖14-3-13圖14-3-14答案：30°60°2.5cm120°6.如圖14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點，且AD＝CD＝BC，則∠B＝________，∠ACD＝________.若點D到BC的距離為1cm，那么點D到AC的距離為________.答案：72°36°1cm7.如圖14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠DBC＝________.答案：30°.8.等腰三角形的底角為15°，腰長為2acm，則三角形的面積為________.思路解析：鈍角三角形的高在三角形外，三角形的一個外角為30°.答案：a2cm29.如圖14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC和∠ACB的平分線，且相交于F，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9圖14-3-15圖14-3-16答案：C10.如圖14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°答案：D二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新11.如圖14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且AO⊥BC,求證:OB＝OC.圖14-3-17證明：延長AO交BC于D，∵AO⊥BC,∴AD為高.∵AB=AC,∴∠BAO=∠CAO.∵AO公共,∴△ABO≌△ACO.∴OB=OC.12.如圖14-3-18是一座斜拉橋的剖面圖.BC是橋路面，AD是橋墩，設(shè)計大橋時工程師要求斜拉的鋼繩AB等于AC.大橋建成后，工程技術(shù)人員要對大橋質(zhì)量進行驗收，由于橋墩AD很高，無法直接測量鋼繩AB、AC的長度.請你用兩種不同的方法檢驗AB、AC的長度是否相等？（檢驗工具為刻度尺、量角器；檢驗時，人只能站在橋面上）圖14-3-18思路解析：判斷△ABC是等腰三角形.答案：（1）測量∠B=∠C.（2）AD⊥BC,且BD=CD.13.如圖14-3-19，在一個房間內(nèi)，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時梯子的傾斜角為75°.若梯子底端距離地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45°.則這間房子的寬AB是米.圖14-3-19思路解析：連接MN，如下圖，因為梯子的長度不變，所以△MCN是等邊三角形，過N作NK⊥MA，垂足為K，可以證明Rt△MAC≌Rt△NKM.答案：a14.如圖14-3-20，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形.（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證圖14-3-20明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程.圖14-3-21思路解析：兩個等邊三角形公共中心，構(gòu)成了新的三個三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.答案：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如下圖：∵△ABC、△DEF都是等邊三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠EFD＝∠FDE＝∠DEF＝60°，EF＝FD＝DE.∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠3+∠4＝∠4+∠5＝∠5+∠6＝∠6+∠1＝120°.∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.（2）用旋轉(zhuǎn)與平移相結(jié)合的方法可以相互得到.15.如圖14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度數(shù).思路解析：根據(jù)三角形的邊角相等把角集中在同一三角形中.由于題目中沒有給出具體的數(shù)據(jù),所以可以根據(jù)各個角之間的關(guān)系設(shè)未知數(shù).解：設(shè)∠EBD=x,∵BE=DE,∴∠AED=2x.∵AD=DE,∴∠A=2x.∴∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠C=12（180°-∠A）＝90°-x.∵BD=BC,∴∠BDC=∠C.∴90°-x=3x，解得x=22.5°.∴∠A=45°.16.某校計劃將一塊形狀為等邊三角形的土地分成四塊形狀為等腰三角形的土地，每一塊地種植一種花草，請你設(shè)計兩種不同的分割方案，并在圖中標(biāo)明每個等腰三角形底角的度數(shù).答案：圖形（角度為60°與30°）：三、回顧·熱身·展望17.浙江金華模擬如圖14-3-22是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點O是橫板AB的中點，AB可以繞著點O上下轉(zhuǎn)動，當(dāng)Ａ端落地時，∠OAC＝20°，橫板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A′OA）是（）圖14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°思路解析：△OAB′是等腰三角形.答案：C18.2010安徽阜陽模擬模擬下面是兩位學(xué)生的探討過程：學(xué)習(xí)了等腰三角形內(nèi)容后，李老師布置了一道題：等腰三角形上的高與另一腰的夾角為30°，求頂角的度數(shù).小王說：“頂角的度數(shù)應(yīng)為60°”；小張說：“應(yīng)該等于120°吧”.這時許多同學(xué)一起來議論……（1）假如你也參加了討論，你的意見如何？為什么？（2）通過上面問題的討論，結(jié)合平時的學(xué)習(xí)，寫寫自己的想法.（用一句話表示）解:（1）當(dāng)∠A為銳角時，度數(shù)為60°；當(dāng)∠A為鈍角時，度數(shù)為120°.（2）想法中答有：“分類討論”、“考慮全面”等能體現(xiàn)分類討論思想的即可.12.3等腰三角形自測題◆夯實基礎(chǔ)一、耐心選一選，你會開心（每題6分，共30分）1．若等腰三角形底角為，則頂角為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）

A．12或9 B．12 C．9 D．73．從等腰三角形底邊上任意一點分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長等于三角形的（）Ａ．兩腰長的和 Ｂ．周長的一半 Ｃ．周長 Ｄ．一腰長與底邊長的和4．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．ABCDE5．如圖，在△ABC中，∠ACB=100°，ABCDE則∠DCE的度數(shù)為（）A．20°B．25°C．30°D．40°二、精心填一填，你會輕松（每題6分，共30分）6．已知：如右圖,△ABC中,BD平分∠ABC,且D為AC的中ADCB點,DE∥BC交AB于點E,若BC=4,則EB長為_ADCBCDCDE第6題第7題第8題7．如圖，在中，，為的平分線，則_________．8．如圖，在中，，，分別是，的中點，，為上的點，連結(jié)，．若，，，則圖中陰影APQCB部分的面積為 ．APQCB9．如圖，是的邊上的兩點，且，則的大小等于（度）．10．在活動課上，小紅已有兩根長為4cm，8cm的小木棒，現(xiàn)打算拼一個等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小木棒長是cm．三、細(xì)心做一做，你會成功（共40分）11．一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少？AABC12O12．已知：如圖，平分，．求證：是等腰三角形．13．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°．◆綜合創(chuàng)新ACBED14．如圖所示，把一個直角三角尺繞著角的頂點順時針旋轉(zhuǎn)，使得點與的延長線上的點重合．ACBED（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）連結(jié)，試判斷△的形狀；（3）求的度數(shù)．15．下面是數(shù)學(xué)課堂的一個學(xué)習(xí)片斷．閱讀后，請回答下面的問題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個問題：“已知等腰三角形的角等于，請你求出其余兩角”．同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講：“其余兩角是和”；王華同學(xué)說：“其余兩角是和”．還有一些同學(xué)也提出了不同的看法．（1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？【答】（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）【答】◆中考鏈接16．(2007廣州潛江)如圖，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，則∠CAB的度數(shù)為（）BDAECA.B.C.D.BDAECABABCDF第16題BCEA第17題第18題17．（2007湖北荊門）如圖，在等邊中，分別是上的點，且，則 度．18．（2007湖北）夷陵長江大橋為三塔斜拉橋．如圖，中塔左右兩邊所掛的最長鋼索，塔柱底端與點間的距離是米，則的長是 米．19．（2007福建泉州）圖（1）是一個黑色的正三角形，順次連結(jié)它的三邊的中點，得到如圖（2）所示的第2個圖形（它的中間為一個白色的正三角形）；在圖（2）的每個黑色的正三角形中分別重復(fù)上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個圖形．如此繼續(xù)下去，則在得到的第6個圖形中，白色的正三角形的個數(shù)是．…………圖（1）圖（2）圖（3）①②折疊后20．(2007湖南邵陽)如圖，中，，將沿著一條直線折疊后，使點與點重合（圖②）．①②折疊后（1）在圖①中畫出折痕所在的直線．設(shè)直線與分別相交于點，連結(jié)．（畫圖工具不限，不要求寫畫法）（2）請你找出完成問題（1）后所得到的圖形中的等腰三角形．（不要求證明）參考答案夯實基礎(chǔ)1．D2．本題的腰長只能是5，因為腰為2時，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系，故選B3．Ａ4．D提示：分兩種情況：高在三角形內(nèi)和高在三角形外，分別求得度數(shù)為，故選Ｄ．5．D提示：∵AC=AE，BC=BD∴設(shè)∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°－2x°，∠B=180°－2y°,∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，∴100+（180－2x）+（180－2y）=180，得x+y=140,∴∠DCE=180－（∠AEC＋∠BDC）=180－（x+y）=40°6．27．82.5°8．309．10．8提示：本題易誤解為4或8，實際上第三根小木棒長是4時，不符合三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，故答案是：11．解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．12．證明：作于，于又，（注：與平分等同，直用）．，ABCABC12OEF5634．．，即．．（注：此步可不寫．）是等腰三角形．13．證明：延長BC到D，使CD=BC，連結(jié)AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD為等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．綜合創(chuàng)新14．（1）；（2）等腰三角形；（3）．15．（1）答：上述兩同學(xué)回答的均不全面，應(yīng)該是：其余兩角的大小是和或和．理由如下：（=1\*romani）當(dāng)是頂角時，設(shè)底角是．，．其余兩角是和．（=2\*romanii）當(dāng)是底角時，設(shè)頂角是，，．其余兩角分別是和．中考鏈接16．B17．18．45619．20．解：（1）如圖所示：（2），為等腰三角形12.3等腰三角形（第一課時）◆隨堂檢測1.等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC，∠Ａ＝70，∠Ｂ=，∠Ｃ=．2．在等腰三角形中，有一個角為80°，則另外兩個角的度數(shù)為．3.已知等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊的長為．4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30o，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)為（）A．80°B．75°C．65°D．45°◆典例分析例如圖，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一點．求證：∠ABP＝∠ACP．解析：本題如果用三角形全等來證明兩角相等，則至少需要證明兩次三角形全等，若用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)就會顯得較為簡單．證明：連結(jié)BC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵點A、D在線段BC的垂直平分線上，∴AD就是線段BC的垂直平分線．∴PB＝PC．∴∠PBC＝∠PCB．∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB．即∠ABP＝∠ACP．◆課下作業(yè)●拓展提高1．已知一個等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為7，則這個等腰三角形的周長為2．已知在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為120°,則另外兩個角的度數(shù)為3．等腰三角形底邊為5，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3，則腰長為（）A.8B.2C.8或2D.以上都不對4.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是頂角∠BAC的外角的平分線。證明：AD∥BC.5．等腰三角形中，一邊與另一邊之比為３：２，該三角形周長為５６，求腰長是多少？6.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB邊上一點，E是AC延長線上一點，且BD＝CE，DE交BC于F。說明：DF＝EF。7.已知，如圖，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，∠AEF＝∠AFE．求證：EF⊥BC．●體驗中考1．（2009年浙江湖州）如圖：已知在中，，為邊的中點，過點作，垂足分別為.求證：；DDCBEAF2.（2009年大興安嶺）在邊長為4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一條邊是矩形的長或?qū)?，第三個頂點在矩形的邊上，求所作三角形的面積．參考答案◆隨堂檢測1.解析：∵∠Ａ＝７０AB=AC，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝．2.解析：此題中只給了一個角的度數(shù)，這個角即可以為等腰三角形的頂角，又可以為等腰三角形的底角。當(dāng)此角為等腰三角形的頂角時，根據(jù)等腰三角形兩個底角相等的性質(zhì)可知兩個底角是（180°-80°）÷2=50°；當(dāng)已知角為底角時，則另一個底角也是80°，所以可知這個等腰三角形的頂角為（180°-80°×2）=180°-160°=20°。通過以上分析可知此題的答案為50°，50°或80°，20°。3.解析：根據(jù)已知的條件可知此等腰三角形的腰長可能是4也可能是9，但是由于三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以當(dāng)腰長是4時，不符合要求，所以此等腰三角形的腰長只能是9，所以第三邊的長為9。4.解析：此題主要考查了線段垂直平分線和等腰三角形有關(guān)知識。因為DE是AC的垂直平分線，所以AD=DC，所以∠DCA=∠A＝30o。因為AB=AC，∠A＝30o，所以∠ACB=∠ABC=（180o-30o）=75o。所以∠BCD=∠ACB-∠DCA=75o-30o=45o。故應(yīng)選D．◆課下作業(yè)●拓展提高1.解析：此題用到的知識點是三角形三邊的關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì)。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知腰長可以是5或7，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系可知腰長是5或7都符合要求，因此當(dāng)腰長為5時，等腰三角形的周長是17；當(dāng)腰長為7時，等腰三角形的周長為19。所以此題的答案為17或19。2.解析：當(dāng)此角是頂角時，等腰三角形的兩個底角的度數(shù)分別為30°，但是當(dāng)120°為底角時，由于三角形的內(nèi)角和為180°，所以120°為底角不行，所以此題答案為：30°，3