《信號(hào)與系統(tǒng)》全套教學(xué)課件

第1章信號(hào)與系統(tǒng)導(dǎo)論1.1信號(hào)的概念1.2基本信號(hào)1.3系統(tǒng)1.4信號(hào)與系統(tǒng)的基本問題和基本內(nèi)容全套可編輯PPT課件

2/732024/12/231.1信號(hào)的概念1.1.1信號(hào)的定義和描述廣義來說，信號(hào)是對(duì)事物本身或其狀態(tài)變化的一種描述，它承載了該事物的某種特性和信息。信號(hào)的具體形式通常是某種物理量，如光信號(hào)、電信號(hào)、聲信號(hào)等，其中電信號(hào)是應(yīng)用最廣的信號(hào)形式。所謂電信號(hào)常常是指隨時(shí)間變化的電壓、電流和電磁波等。

在信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)科中，信號(hào)被定義為一個(gè)自變量或多個(gè)自變量的函數(shù)

1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.4全套可編輯PPT課件

1.1信號(hào)的概念實(shí)際信號(hào)舉例1.1.11.1.21.1.31.11.21.31.4心電圖實(shí)例雷達(dá)接收機(jī)的噪聲鳥叫聲爆破信號(hào)正弦信號(hào)圖像－銀河系4/732024/12/231.1信號(hào)的概念1.12信號(hào)的分類

對(duì)于具有不同特點(diǎn)的信號(hào)或函數(shù)，一般需要采用不同的分析方法。

連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)

信號(hào)自變量的取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，一般可記為x(t)自變量只能在離散的點(diǎn)上取值，則稱為離散時(shí)間信號(hào)，可記為x[n]模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)

自變量和函數(shù)值均連續(xù)的信號(hào)，稱為模擬信號(hào)自變量和函數(shù)值均離散的信號(hào)，稱為數(shù)字信號(hào)1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.25/732024/12/231.1信號(hào)的概念離散信號(hào)源于兩種應(yīng)用情形。一種是事物本身或其狀態(tài)變化需要用元素集合或序列的形式來描述。另一種情況是為了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號(hào)處理，在離散的時(shí)間點(diǎn)上對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽取樣值(這一過程稱為抽樣)，從而獲得一個(gè)離散的時(shí)間信號(hào)。圖1.3由連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)得到的離散時(shí)間正弦序列1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.26/732024/12/231.1信號(hào)的概念周期信號(hào)和非周期信號(hào)

每隔一定時(shí)間，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)，即為周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)滿足：上式中最小的T值稱為信號(hào)的最小周期，簡(jiǎn)稱周期。離散時(shí)間周期信號(hào)滿足：上式中最小的正整數(shù)N稱為序列的最小周期，簡(jiǎn)稱周期。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.27/732024/12/231.1信號(hào)的概念注意的是這里定義的周期信號(hào)必須在(-∞,+∞)上滿足不滿足周期信號(hào)定義的均為非周期信號(hào)。由于實(shí)際應(yīng)用中只能在有限的時(shí)間內(nèi)觀測(cè)和記錄信號(hào)（常簡(jiǎn)稱為時(shí)限信號(hào)），因此理論意義上講都是非周期信號(hào)。當(dāng)認(rèn)為它們是周期信號(hào)時(shí)，是對(duì)觀測(cè)或記錄時(shí)段外的信號(hào)作了“假定”的延拓。

圖1.4離散時(shí)間周期方波信號(hào)1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.28/732024/12/231.1信號(hào)的概念能量信號(hào)和功率信號(hào)連續(xù)/離散時(shí)間信號(hào)能量

連續(xù)/離散時(shí)間信號(hào)平均功率能量信號(hào)：信號(hào)能量滿足E<∞功率信號(hào)：信號(hào)平均功率滿足P<∞1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.29/732024/12/231.1信號(hào)的概念能量信號(hào)的典型例子是有限時(shí)長信號(hào)功率信號(hào)的典型例子是常見的周期信號(hào)周期信號(hào)平均功率計(jì)算可以簡(jiǎn)化為：上面的積分/求和為一個(gè)周期內(nèi)的積分/求和注意：能量信號(hào)和功率信號(hào)并不是一種完備的分類存在一類信號(hào)既不是能量信號(hào)，也不是功率信號(hào)例如：1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.210/732024/12/231.1信號(hào)的概念【例1-1】求下列信號(hào)的能量和功率：（1）圖1.4所示的離散時(shí)間周期方波信號(hào)；（2）

解（1）周期信號(hào)的能量

E→∞；（2）

P→0（功率信號(hào)）（能量信號(hào)）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.211/732024/12/231.1信號(hào)的概念一維信號(hào)和多維信號(hào)信號(hào)值都是單個(gè)自變量的函數(shù)，稱為一維信號(hào)。信號(hào)值是二個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)，則稱為二維或多維信號(hào)（灰度圖像是典型的二維信號(hào)）。確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)可以用一個(gè)確定的連續(xù)或離散函數(shù)進(jìn)行描述的信號(hào)，稱為確定信號(hào)。若某一時(shí)刻的信號(hào)取值是不確定的，至多能知道該時(shí)刻取某個(gè)值的可能性大小，稱其為隨機(jī)信號(hào)。本課程1-6章的討論，主要針對(duì)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間一維確定信號(hào)。1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.212/732024/12/231.1信號(hào)的概念1.1.3信號(hào)的運(yùn)算和獨(dú)立變量變換將信號(hào)通過某種運(yùn)算或者變換而產(chǎn)生新的信號(hào)，是信號(hào)處理的基本手段和基本目的之一。信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)相加、相差、數(shù)乘（乘以一個(gè)常數(shù)）和微分運(yùn)算，分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的相應(yīng)運(yùn)算。連續(xù)信號(hào)積分運(yùn)算1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.213/732024/12/231.1信號(hào)的概念離散信號(hào)求和運(yùn)算離散信號(hào)一階差分運(yùn)算（后向差分）（前向差分）（二階后向差分）1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.214/732024/12/231.1信號(hào)的概念【例1-2】已知離散時(shí)間信號(hào)x[n]如下，試求和解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.215/732024/12/231.1信號(hào)的概念常見的自變量變換連續(xù)信號(hào)平移

將信號(hào)x(t)中的自變量t換為t-t0，則信號(hào)x(t-t0)相對(duì)于x(t)構(gòu)成了平移變換，簡(jiǎn)記為x(t)→x(t-t0)。

當(dāng)t0>0時(shí)，x(t-t0)的波形是x(t)的右移，平移量為t0

當(dāng)t0<0時(shí)，x(t-t0)的波形是x(t)的左移，平移量為|t0|

即左(移)加右(移)減1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.216/732024/12/231.1信號(hào)的概念圖1.6信號(hào)的平移1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.217/732024/12/231.1信號(hào)的概念連續(xù)信號(hào)反轉(zhuǎn)將信號(hào)x(t)中的自變量t換為-t，則信號(hào)x(-t)相對(duì)于x(t)構(gòu)成了反轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)記為x(t)→x(-t)。

反轉(zhuǎn)后信號(hào)波形與原信號(hào)波形關(guān)于縱軸對(duì)稱。圖1.7信號(hào)的反轉(zhuǎn)1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.218/732024/12/231.1信號(hào)的概念連續(xù)尺度變換（壓擴(kuò)變換）將信號(hào)x(t)中的自變量t換為at(t>0)，則信號(hào)x(at)相對(duì)于x(t)構(gòu)成了尺度變換，簡(jiǎn)記為x(at)→

x(t)

。當(dāng)a>1時(shí)，信號(hào)波形被壓縮當(dāng)a<1時(shí)，信號(hào)波形被擴(kuò)展圖1.8信號(hào)的尺度變換1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.219/732024/12/231.1信號(hào)的概念離散時(shí)間信號(hào)對(duì)于平移和反轉(zhuǎn)變換，只要將上述敘述中

t的換為

n，則成為對(duì)離散時(shí)間序列平移和反轉(zhuǎn)變換的表述。由于離散信號(hào)自變量

n必須取整數(shù)，因此直接壓擴(kuò)變換無意義，必須另做定義，即所謂的序列的抽取和內(nèi)插。

1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.220/732024/12/231.1信號(hào)的概念【例1-6】信號(hào)x[n]如圖1.9(a)所示，畫出信號(hào)x[n-3]和x[-n]。解平移信號(hào)x[n-3]如圖1.9(b)所示，時(shí)間反轉(zhuǎn)信號(hào)x[-n]如圖1.9(c)所示。圖1.9離散信號(hào)的平移和反轉(zhuǎn)1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.221/732024/12/231.1信號(hào)的概念在問題分析中，常會(huì)遇到上述三種變換的組合，即x(t)→x(at-t0)

，下面通過例子說明?！纠?-7】x(t)和x[n]如下圖所示，試分別繪出x(2t-1)和x[-n+1]的波形圖。圖1.10例1-7題圖1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.222/732024/12/231.1信號(hào)的概念【解】首先求x(t)→x(t-1),x[n]→x[n+1]的波形變換，如下圖(a)(b)所示。然后求x(t-1)→x(2t-1),x[n+1]→x[-n+1],如圖(c)(d)所示。先作平移變換后作壓擴(kuò)和反轉(zhuǎn)變換圖1.11例1-7求解1.1.11.1.31.11.21.31.41.1.223/732024/12/231.2基本信號(hào)1.2.1正弦信號(hào)連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)A為振幅，ω為連續(xù)時(shí)間角頻率，為初相位。則ω、頻率f、最小周期T之間的關(guān)系為連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)的最高頻率理論上為無窮大

1.2.11.2.21.2.31.11.21.31.2.41.2.51.424/732024/12/231.2基本信號(hào)圖1.12連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)(f=2Hz,A=2,

=

/4)圖1.13連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)的頻率高低與變化快慢（

1<2<3）1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.525/732024/12/231.2基本信號(hào)離散時(shí)間正弦信號(hào)其中A、Ω、φ分別稱為正弦序列的振幅、角頻率和初相位。正弦序列可以視為以固定的間隔Ts對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行的采樣，即離散時(shí)間角頻率Ω和連續(xù)時(shí)間角頻率ω有如下關(guān)系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.526/732024/12/231.2基本信號(hào)正弦信號(hào)為周期信號(hào)的條件連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)cosωt

一定是周期信號(hào)離散時(shí)間正弦信號(hào)cosΩn

不一定是周期信號(hào)假設(shè)N是cosΩn

的最小周期，則要求只有當(dāng)2π/Ω為有理數(shù)時(shí)，才存在整數(shù)N使得上式成立正弦序列為周期信號(hào)的充分必要條件是2π/Ω為有理數(shù)最小周期為比值2π/Ω的分子(N，k為整數(shù))1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.527/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-8】判定下列正弦序列是否為周期信號(hào)；對(duì)周期信號(hào)求其最小周期。

(1) (2)(3) (4)

【解】(1)Ω=5/6

，為非周期信號(hào)。(2)Ω=5π/6

為周期信號(hào)；N=2kπ/Ω=

k·12/5

=

12

(k=5)。

(3)周期信號(hào)和非周期信號(hào)的和為非周期信號(hào)。(4)第一項(xiàng)的周期為N1=12，第二項(xiàng)的周期為N2=24，整個(gè)序列的最小周期為兩者的最小公倍數(shù)，即N=24。

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.528/732024/12/231.2基本信號(hào)正弦序列的角頻率和頻率離散時(shí)間角頻率的大小也表示了信號(hào)變化的快慢離散時(shí)間正弦序列的最高角頻率為Ω=π圖1.14不同角頻率時(shí)的離散時(shí)間正弦序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.529/732024/12/231.2基本信號(hào)1.2.2指數(shù)信號(hào)連續(xù)時(shí)間實(shí)指數(shù)信號(hào)當(dāng)

a>0時(shí)是指數(shù)增長信號(hào)，當(dāng)a<0時(shí)是指數(shù)衰減信號(hào)。常用的是單邊指數(shù)衰減信號(hào)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.530/732024/12/231.2基本信號(hào)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的乘積構(gòu)成指數(shù)增長或衰減的振蕩波形，很多實(shí)際系統(tǒng)在特定的條件下會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)衰減振蕩，例如RLC振蕩電路。圖1.16(a)指數(shù)增長振蕩信號(hào);(b)指數(shù)衰減振蕩信號(hào)

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.531/732024/12/231.2基本信號(hào)離散時(shí)間實(shí)指數(shù)信號(hào)（C，a為實(shí)數(shù)）圖1.17實(shí)指數(shù)序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.532/732024/12/231.2基本信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)前面的指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式中，a取復(fù)數(shù)，則稱為復(fù)指數(shù)信號(hào)。ejωt和ejΩn是復(fù)指數(shù)信號(hào)的特例上述信號(hào)由正弦信號(hào)構(gòu)成，顯然是周期信號(hào)，前面關(guān)于正弦信號(hào)的討論，也適用于ejωt和ejΩn

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.533/732024/12/231.2基本信號(hào)1.2.3單位階躍信號(hào)連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)圖1.18單位階躍函數(shù)圖1.19方波函數(shù)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.534/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-9】(1)求單位階躍函數(shù)的積分。(2)求圖1.19所示的方波函數(shù)的積分?！窘狻?1)當(dāng)t>0時(shí)，當(dāng)t<0時(shí)積分為0，即

r(t)的波形如圖1.20(a)，常稱為斜坡函數(shù)。圖1.20(a)階躍函數(shù)的積分;(b)方波函數(shù)的積分1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.535/732024/12/231.2基本信號(hào)

(2)由(1)知，第一項(xiàng)積分為第二項(xiàng)積分為

(t>T)[因?yàn)閠<T時(shí),u(t-T)=0](t>T)[變量代換：令λ=t-T]

所以

r1(t)=tu(t)-(t-T)u(t-T)

r1(t)的波形如圖1.20(b)所示

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.536/732024/12/231.2基本信號(hào)離散時(shí)間單位階躍函數(shù)

圖1.21單位階躍序列圖1.22方波序列1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.537/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-10】(1)求單位階躍序列的求和序列。(2)求圖1.22所示方波序列的求和序列?！窘狻?1)，即。

注意斜坡序列應(yīng)該是。(2)由方波序列與階躍序列的關(guān)系易知

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.538/732024/12/231.2基本信號(hào)1.2.4單位沖激信號(hào)離散時(shí)間單位沖激函數(shù)單位階躍序列和單位沖激序列的關(guān)系1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.539/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-11】試用沖激序列表示圖1.22所示的方波序列?！窘狻堪凑疹愃频乃悸房梢缘玫溅腫n]和u[n]求和關(guān)系的另一種表達(dá)式

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.540/732024/12/231.2基本信號(hào)連續(xù)時(shí)間單位沖激函數(shù)

與橫坐標(biāo)圍成面積恒為1的窄脈沖δΔ(t)，脈沖寬度趨于0

窄脈沖δΔ(t)與橫坐標(biāo)圍成的面積（即δ(t)前面的系數(shù)）稱為沖激強(qiáng)度（注意不是函數(shù)值）圖1.25(a)窄脈沖;(b)單位沖激函數(shù)狄拉克定義1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.541/732024/12/231.2基本信號(hào)單位沖激函數(shù)和單位階躍函數(shù)的關(guān)系u(t)和δ(t)構(gòu)成如下的積分關(guān)系圖1.26(a)t<0時(shí)沖激函數(shù)的積分示意;(b)t>0時(shí)沖激函數(shù)的積分示意1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.542/732024/12/231.2基本信號(hào)u(t)和δ(t)構(gòu)成微分關(guān)系考察圖1.27中階躍函數(shù)的逼近函數(shù)uΔ(t)和其導(dǎo)數(shù)函數(shù)δΔ(t)

不難理解當(dāng)時(shí)，,，因此圖1.27(a)階躍函數(shù)的逼近uΔ(t);(b)uΔ(t)的微分1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.543/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-12】若將橫軸上t=0的左極限點(diǎn)記為，右極限點(diǎn)記為，計(jì)算下列各式的值。

(1)

(2)(3)(4)(5)【解】根據(jù)的幾何意義和狄拉克定義可知：

(1)

(2)(3)(4)(5)1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.544/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-13】化簡(jiǎn)下列表達(dá)式。

(1)(2)【解】(1)參見圖1.26，δ(τ-t0)出現(xiàn)在τ=t0處，因此當(dāng)積分限t<t0時(shí)，積分值為0，當(dāng)積分限t>t0時(shí)積分值為1，因此有

(2)g(t)是后面經(jīng)常用到的幅度為、寬度為的典型方波信號(hào)。對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可得

因此1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.545/732024/12/231.2基本信號(hào)

由上面的例子可以看到：沖激函數(shù)可以方便地表示函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。一個(gè)階躍幅度為A的正向跳變，求導(dǎo)后產(chǎn)生一個(gè)沖激強(qiáng)度為A的正向沖激；一個(gè)階躍幅度為A的負(fù)向跳變，求導(dǎo)后產(chǎn)生一個(gè)沖激強(qiáng)度為A的負(fù)向沖激。

圖1.28方波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1.41.11.21.31.2.11.2.21.2.31.2.41.2.546/732024/12/231.2基本信號(hào)單位沖激函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.x(t)有界，在t=0處連續(xù)，且x(0)≠0，則有性質(zhì)2.篩選性質(zhì)性質(zhì)3.偶函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)4.尺度變換性質(zhì)*1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.547/732024/12/231.2基本信號(hào)【例1-14】化簡(jiǎn)和計(jì)算下列各式。

(1)(2)(3)【解】(1)原式=(2)原式=

(3)原式=1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.548/732024/12/231.2基本信號(hào)單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)*

盡管

δ(t)是奇異函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)仍然是可定義的、存在的。為了理解

δ(t)的導(dǎo)數(shù)，考察圖1.31。圖(a)上圖所示的三角形窄脈沖與橫軸圍成的面積恒為1，當(dāng)Δ→0時(shí)，SΔ(t)→δ(t)。δ(t)的導(dǎo)數(shù)定義為Δ→0時(shí)的SΔ(t)的導(dǎo)數(shù)，即圖1.31(a)三角窄脈沖及其導(dǎo)數(shù);(b)單位沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.549/732024/12/231.2基本信號(hào)性質(zhì)1.奇函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2.的積分為0，即性質(zhì)3.

x(t)有界，在t=0處連續(xù)，且x(0)≠0，則有性質(zhì)4*.x(t)有界，在t=0處連續(xù)，則有1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.550/732024/12/231.2基本信號(hào)*【例1-16】計(jì)算的值。

【解】令，則，[積分上下限交換變號(hào)][性質(zhì)3][首先將δ函數(shù)自變量進(jìn)行變換]1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.551/732024/12/231.2基本信號(hào)1.2.5采樣函數(shù)采樣函數(shù)是表示信號(hào)或系統(tǒng)特性時(shí)常用的函數(shù)，其定義為圖1.32采樣函數(shù)曲線1.11.21.31.41.2.11.2.21.2.31.2.41.2.552/732024/12/231.3系統(tǒng)1.3.1系統(tǒng)的基本概念

系統(tǒng)一般可定義為由若干個(gè)互相依賴的事物組成的具有特定功能的整體。

在信號(hào)與系統(tǒng)分析中只要描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程或輸入輸出關(guān)系相同，都視為相同的系統(tǒng)

圖1.33系統(tǒng)模型：(a)SISO;(b)MIMO;(c)SIMO;(d)MISO1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.353/732024/12/231.3系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

輸入和輸出信號(hào)及系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)

輸入和輸出信號(hào)及系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)均為離散時(shí)間序列，則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。

混合系統(tǒng)

輸入和輸出信號(hào)及系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)不全是連續(xù)時(shí)間信號(hào)或不全是離散時(shí)間信號(hào)，則稱為混合系統(tǒng)

圖1.36連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.354/732024/12/231.3系統(tǒng)系統(tǒng)的互聯(lián)圖1.37系統(tǒng)互聯(lián)1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.355/732024/12/231.3系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)

系統(tǒng)的輸出通常是由兩個(gè)因素產(chǎn)生的：一是系統(tǒng)在外部信號(hào)的作用下產(chǎn)生輸出，二是由于系統(tǒng)內(nèi)部儲(chǔ)存能量的釋放而產(chǎn)生輸出。前者稱為零狀態(tài)響應(yīng)(zero-stateresponse)，記為yzs；后者稱為零輸入響應(yīng)(zero-inputresponse)，記為yzi。系統(tǒng)完全響應(yīng)為兩者之和，即

系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，通?？梢杂靡粋€(gè)關(guān)系式來表達(dá)1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.356/732024/12/231.3系統(tǒng)1.3.2系統(tǒng)特性及LTI系統(tǒng)無記憶性和記憶性如果一個(gè)系統(tǒng)在任一時(shí)刻的輸出值僅取決于該時(shí)刻的系統(tǒng)輸入值，與該時(shí)刻以前或以后的輸入值無關(guān)，則該系統(tǒng)具有無記憶性或稱之為無記憶系統(tǒng)。否則，該系統(tǒng)具有記憶性或稱之為有記憶系統(tǒng)?？陀^自然界中存在的有記憶系統(tǒng)，其特點(diǎn)是任一時(shí)刻的輸出值不僅與該時(shí)刻的輸入值有關(guān)，而且與該時(shí)刻以前的輸入值有關(guān)。由于離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)據(jù)是可以存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中的，變量n并不一定表示當(dāng)前的實(shí)際時(shí)間，因此可以出現(xiàn)系統(tǒng)在n時(shí)刻的輸出值與“將來時(shí)刻”(n時(shí)刻以后)的輸入值有關(guān)，這類系統(tǒng)也是有記憶系統(tǒng)。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.357/732024/12/231.3系統(tǒng)【例1-17】試判定下列系統(tǒng)是有記憶系統(tǒng)還是無記憶系統(tǒng)。(1)(2)【解】(1)由于y(1)=x(1/2)，即t=1時(shí)刻的輸出與t=1以前時(shí)刻（t=1/2）的輸入有關(guān)，因此該系統(tǒng)是有記憶系統(tǒng)。(2)該系統(tǒng)的輸出是輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)。僅僅根據(jù)t

時(shí)刻的函數(shù)值，并不能確定函數(shù)在t

時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在t時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)與時(shí)刻以前的函數(shù)取值密切相關(guān)，即因此微分器是一個(gè)有記憶系統(tǒng)。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.358/732024/12/231.3系統(tǒng)因果性和非因果性如果系統(tǒng)在任一時(shí)刻的輸出值只取決于該時(shí)刻和該時(shí)刻以前的輸入，而與該時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性或稱之為因果系統(tǒng)。否則稱該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。因果性體現(xiàn)的是現(xiàn)實(shí)世界中時(shí)間順序上的因果關(guān)系，即必須是“有因（輸入）在前，有果（輸出）在后”。若自變量是時(shí)間，則非因果系統(tǒng)是不可實(shí)現(xiàn)的或不存在的。延遲系統(tǒng)是因果系統(tǒng)前向差分系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.359/732024/12/231.3系統(tǒng)【例1-18】試判定下列系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(2t)【解】(1)該系統(tǒng)是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行橫軸方向擴(kuò)展，因此輸出信號(hào)可能早于輸入信號(hào)出現(xiàn)，例如

y(-1)=x(-1/2)，即t=-1時(shí)刻的輸出與以后時(shí)刻(t=-1/2)的輸入有關(guān)，因此是非因果系統(tǒng)。(2)該系統(tǒng)是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行橫軸方向壓縮，同樣輸出信號(hào)可能早于輸入信號(hào)出現(xiàn)，例如

y(1)=x(2)，即t=1時(shí)刻的輸出與以后時(shí)刻(t=2)的輸入有關(guān)，因此是非因果系統(tǒng)。

時(shí)域壓擴(kuò)系統(tǒng)都是非因果系統(tǒng)

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.360/732024/12/231.3系統(tǒng)穩(wěn)定性若對(duì)任何有界的輸入信號(hào)，系統(tǒng)輸出總是有界的，即BIBO（BoundedInputBoundedOutput），則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的或稱之為穩(wěn)定系統(tǒng)。否則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。求和系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)積分系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.361/732024/12/231.3系統(tǒng)可逆性如果根據(jù)系統(tǒng)的輸出可以唯一確定系統(tǒng)的輸入，則該系統(tǒng)是可逆的或稱為可逆系統(tǒng)。否則稱為不可逆系統(tǒng)。從數(shù)學(xué)上講，如果通過輸入輸出之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)可以確定一個(gè)唯一的反函數(shù)y=f-1(x)，則該系統(tǒng)一定是可逆的。例如積分器是一個(gè)可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)為微分器一般情況下，微分器不是一個(gè)可逆系統(tǒng)。因?yàn)檩斎離(t)為任意常數(shù)時(shí)，輸出信號(hào)均為y(t)=0，無法根據(jù)此時(shí)的輸出唯一確定系統(tǒng)輸入。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.362/732024/12/231.3系統(tǒng)【例1-19】試判定下列系統(tǒng)是否是可逆系統(tǒng)；如果可逆，求其逆系統(tǒng)。(1) (2)【解】(1)原式兩邊求導(dǎo)得 因此逆系統(tǒng)為(2)仔細(xì)分析系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的處理，逆向操作可得，逆系統(tǒng)為1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.363/732024/12/231.3系統(tǒng)時(shí)不變性如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間發(fā)生變化（或系統(tǒng)不對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行時(shí)間壓擴(kuò)和反轉(zhuǎn)變換），則該系統(tǒng)將具有時(shí)不變性，稱之為時(shí)不變系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)而言，無論輸入信號(hào)是在何時(shí)接入系統(tǒng)的，系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系都將維持不變。設(shè)x(t)→y(t)，若系統(tǒng)滿足x(t-t0)→y(t-t0)則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間時(shí)不變系統(tǒng)。

對(duì)于離散時(shí)不變系統(tǒng)，則有x[n-n0]→y[n-n0]1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.364/732024/12/231.3系統(tǒng)【例1-20】

判定下列系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。(1)y(t)=x(t/2)(2)y(t)=x(t)sin2πt(3)y[n]=x[-n]【解】(1)當(dāng)輸入信號(hào)為x(t-t0)時(shí)，其時(shí)間軸方向的擴(kuò)展信號(hào)為x(t/2-t0)，而由原關(guān)系式知道y(t-t0)

=x((t-t0)/2)，兩者不相等，因此是時(shí)變系統(tǒng)。(2)將該系統(tǒng)的功能理解為“系統(tǒng)輸出等于系統(tǒng)輸入與sin2πt的乘積”，那么該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)，因?yàn)樵诖死斫庀掠?3)按照輸入輸出關(guān)系，該系統(tǒng)的輸出是輸入信號(hào)的時(shí)域反轉(zhuǎn)信號(hào)，因此當(dāng)輸入為x[n-N]時(shí)，輸出為x[-n-N]。由于因此該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.365/732024/12/231.3系統(tǒng)線性設(shè)x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，如果系統(tǒng)同時(shí)滿足如下的比例性和疊加性：比例性：cx1(t)→cy1(t)

(c為任意常數(shù))疊加性：x1(t)+x2(t)→y1(t)

+y2(t)則該系統(tǒng)是線性的或稱之為線性系統(tǒng)。線性通常采樣下列等價(jià)表述ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)

+by2(t)(a,b為任意常數(shù))對(duì)于離散線性系統(tǒng)，則有ax1[n]+bx2[n]→ay1[n]

+by2[n](a,b為任意常數(shù))由比例性可以推知線性系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是零輸入產(chǎn)生零輸出。顯然這是線性系統(tǒng)的必要條件。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.366/732024/12/231.3系統(tǒng)【例1-21】試判定下列系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)。(1)

(2)

(3)

【解】(1)若x1(t)→y1(t)=x12(t),x2(t)→y2(t)=x22(t),則因此該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。(2)假設(shè)

x(t)(x(t)>0)→y1(t)≠0，而-x(t)(-x(t)<0)→y2(t)=0≠-y1(t)，即不滿足比例性，因此是非線性系統(tǒng)。(3)當(dāng)x[n]=0時(shí)y[n]=2，違背了線性系統(tǒng)的“零輸入零輸出”必要條件，因此該系統(tǒng)并不是這里定義的線性系統(tǒng)。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.367/732024/12/231.3系統(tǒng)LTI系統(tǒng)及其性質(zhì)若一個(gè)系統(tǒng)同時(shí)滿足線性和時(shí)不變性，則稱該系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱LTI（LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。

性質(zhì)1.微分性質(zhì)/差分性質(zhì)對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，若x(t)→y(t)，則

對(duì)于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，若x[n]→y[n]，則x[n]-x[n-1]→y[n]-y[n-1]

1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.368/732024/12/231.3系統(tǒng)LTI系統(tǒng)及其性質(zhì)性質(zhì)2.積分性質(zhì)/求和性質(zhì)

對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，若x(t)→y(t)，則

對(duì)于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，若x[n]→y[n]，則

線性和時(shí)不變性是LTI系統(tǒng)的兩個(gè)重要性質(zhì)，它們?yōu)橄到y(tǒng)分析提供了十分有利的條件。正是在這兩個(gè)特性的基礎(chǔ)上，才形成了完善的LTI系統(tǒng)的分析理論和方法。1.11.21.31.41.3.11.3.21.3.369/732024/12/231.3系統(tǒng)1.3.3SISO系統(tǒng)的時(shí)域描述連續(xù)時(shí)間SISO系統(tǒng)的微分方程描述x(t)是系統(tǒng)的輸入（或稱激勵(lì)），y(t)是系統(tǒng)的輸出（或稱響應(yīng)），ak和

bk則是由系統(tǒng)本身決定的、與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。微分方程中導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)定義為系統(tǒng)的階數(shù)，通常情況下有N≥M，因此上式描述的是一個(gè)N階系統(tǒng)。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.470/732024/12/231.3系統(tǒng)離散時(shí)間SISO系統(tǒng)的差分方程描述x[·]是系統(tǒng)的輸入序列及其移位序列，y[·]是系統(tǒng)的輸出序列及其移位序列，ak和bk則是由系統(tǒng)決定的、與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。差分方程的階數(shù)（最高時(shí)延）定義為離散時(shí)間系統(tǒng)的階數(shù)，通常情況下有N≥M，因此上式描述的是一個(gè)N階系統(tǒng)。事實(shí)上不難證明，如果在信號(hào)接入系統(tǒng)前系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零，則線性常系數(shù)微分方程或差分方程描述的系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.471/732024/12/231.3系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)描述系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就是系統(tǒng)在零狀態(tài)（初始儲(chǔ)能為零）條件下由沖激信號(hào)激勵(lì)后所產(chǎn)生的響應(yīng)，記為h(t)或h[n]，如圖1.40所示。沖激響應(yīng)是對(duì)LTI系統(tǒng)的充分描述。因此，在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中常常用沖激響應(yīng)描述一個(gè)LTI系統(tǒng)，如圖1.41所示。1.3.11.3.21.3.31.11.21.31.4圖1.40連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)的定義圖1.41LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)描述72/732024/12/231.4信號(hào)與系統(tǒng)的基本問題和基本內(nèi)容信號(hào)與系統(tǒng)主要解決下列兩個(gè)基本問題：(1)已知系統(tǒng)及其輸入，如何求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。問題的關(guān)鍵是如何尋找在任意激勵(lì)下求解LTI系統(tǒng)響應(yīng)的一般方法?！傲銧顟B(tài)響應(yīng)等于輸入激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積”是一個(gè)核心結(jié)論第2章時(shí)域分析：卷積求零狀態(tài)響應(yīng)第3、4章：頻域求卷積第5、6章：變換域求全響應(yīng)（零狀態(tài)+零輸入）

1.11.21.31.473/732024/12/231.4信號(hào)與系統(tǒng)的基本問題和基本內(nèi)容(2)建立信號(hào)和系統(tǒng)的頻域描述和頻譜的概念

僅僅在時(shí)域中研究信號(hào)和系統(tǒng)，實(shí)際應(yīng)用中的很多問題將難以解決，甚至無法解決。信號(hào)和系統(tǒng)的頻域描述提供了另外一個(gè)分析和解決問題的角度。此外，系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)也十分重要系統(tǒng)特性分析（變換域，第3~6章）系統(tǒng)設(shè)計(jì)（濾波器設(shè)計(jì)，第5、6章）

1.11.21.31.4第2章時(shí)域分析

2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)*2.4系統(tǒng)的方框圖表示*2.5相關(guān)分析*2.6正交分析2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.1LTI系統(tǒng)響應(yīng)求解的基本思想假設(shè)任意信號(hào)x[n]可以分解為某種基本信號(hào)e[n]及其延時(shí)序列e[n-ni]的線性組合：x[n]=a0e[n]+a1e[n-n1]+a1e[n-n1]+…=∑iaie[n-ni]那么當(dāng)假定e[n]激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)為ye[n]，則由系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性可知

e[n-ni]→ye[n-ni][時(shí)不變性]aie[n-ni]→aiye[n-ni][比例性]

∑iaie[n-ni]→∑iaiye[n-ni][疊加性]

也就是說，只需要知道基本信號(hào)的響應(yīng)為ye[n]，就可以根據(jù)上述規(guī)律，求得任意信號(hào)的系統(tǒng)響應(yīng)。2.12.22.32.42.52.62.1.12.1.22.1.32.1.42.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.2零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和求解用δ[n]表示離散信號(hào)圖2.1中x[n]可以看成等式右端四個(gè)沖激序列的線性疊加

x[n]=x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+x[2]δ[n-2]一般情況下：

x[n]=…+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+…即：

任意離散時(shí)間信號(hào)都可以用單位沖激序列的線性組合表示。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.1離散時(shí)間信號(hào)的單位沖激序列分解77/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)已經(jīng)定義δ[n]激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)為單位沖激響應(yīng)h[n]，根據(jù)系統(tǒng)的線性時(shí)不變性可知

即離散時(shí)間LTI系統(tǒng)在任意信號(hào)激勵(lì)下的輸出響應(yīng)為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.678/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和卷積和輸出響應(yīng)的求解就是兩個(gè)序列相乘后再求和。形如上式的求和稱為卷積(convolution)。任意兩個(gè)時(shí)間序列x1[n]，x2[n]的卷積和定義為

簡(jiǎn)記為引入了卷積和的概念后，離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)輸入信號(hào)和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積

，即已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]后，可以求得系統(tǒng)在任意輸入情況下的輸出。因此，沖激響應(yīng)在時(shí)域中完全表征了一個(gè)LTI系統(tǒng)，是對(duì)系統(tǒng)的充分描述。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.679/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和

【例2-1】假設(shè)通過實(shí)驗(yàn)和分析確定圖1.42所示多徑傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)序列為h[0]

=1，h[1]

=0.5，h[2]

=0.1。如果系統(tǒng)的輸入序列為x[0]

=2，x[1]

=1，試求系統(tǒng)的輸出序列?！窘狻?/p>

其他n取值時(shí)，y[n]

=0

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖1.42室內(nèi)聲音多徑傳播的等效離散時(shí)間系統(tǒng)模型2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.3卷積和的計(jì)算方法一：借助信號(hào)波形作圖確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】

設(shè)x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，波形如圖2.2所示，計(jì)算卷積和。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.2例2-2中的方波序列和指數(shù)序列81/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6橫軸變量n換為k

信號(hào)反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)信號(hào)平移，平移參量為n平移后兩信號(hào)相乘不同的n取值，可能有不同的表達(dá)式82/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和

x2[n-k]平移到圖(b)以前的位置，n<0

,此時(shí)x1[k]與x2[n-k]無重疊，乘積為零，即x2[n-k]平移到圖(c)所示，非零值重疊區(qū)間的求和范圍是從k=0到k=n，即上述結(jié)果在0≤n≤N-1才成立，即

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

83/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和x2[n-k]平移到如圖(d)的位置，重疊情況不再發(fā)生變化，此時(shí)綜合上述求解結(jié)果：2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

84/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法一求卷積和的要點(diǎn)歸納如下：

如何進(jìn)行求和的分段x2[-k+n]平移時(shí)，的非零求和區(qū)間發(fā)生變化分段后如何確定的取值范圍確定波形x2[-k+n]在求和區(qū)間發(fā)生變化的臨界點(diǎn)時(shí)的平移量n的值如何確定求和上下限對(duì)比圖中關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)k的取值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

85/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法二：借助單位階躍函數(shù)確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】對(duì)于例2-2所給的序列

x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，本例借助單位階躍函數(shù)計(jì)算其卷積和。

【解】由卷積和定義

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

k≥0時(shí)u[k]=1,k≤n時(shí)u[n-k]=1，k≥N時(shí)u[k-N]=1僅保留非零求和項(xiàng)注意求和上限需要大于下限86/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法二求卷積和的要點(diǎn)歸納如下：

借助階躍函數(shù)表示序列后x1[k]中不作反轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了求和的下限，x2[n-k]中作反轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了求和的上限。各項(xiàng)求和表達(dá)式后限定范圍的階躍函數(shù)形式為“u[上限-下限]”。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

87/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法三：短序列卷積和的表格計(jì)算表格法事實(shí)上是將圖解法的數(shù)值計(jì)算過程進(jìn)行了表格化編排?！纠?-4】已知有限長序列x[n]={x[-1],x[0],x[1],x[2]}={1,2,3,-1}，

h[n]={h[0],h[1],h[2]}={1,-1,2}。求y[n]=x[n]*h[n]。

【解】考慮非零樣值，卷積和按定義式展開

代入n值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

88/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和上述過程可用如下表格表示卷積結(jié)果可簡(jiǎn)便地表示為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

x[n]x[-1]=1x[0]=2x[1]=3x[2]=-1h[n]h[0]=1h[1]=-1h[2]=2246-2-1-2-31123-1y[n]11307-2n=089/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和排列豎式時(shí)注意下面兩點(diǎn)：

序列應(yīng)右對(duì)齊排列。y[n]最右邊樣值n的取值為x[n]和h[n]最右邊樣值的n值和，在該例中為n=2+2=4。最后特別指出：若兩個(gè)有限長序列x1[n],x2[n]的長度分別為L1和L2，非零區(qū)間分別為[N1,N2]和[M1,M2]，可以證明：卷積后序列的長度為L1+L2

-1，非零區(qū)間為[N1+M1,N2+M2]。

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.4卷積和的性質(zhì)性質(zhì)1.交換律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令r=n-k]91/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)2.結(jié)合律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令m=n-k][交換律][交換求和次序][

y12[n]=x1[n]*x2[n]]

[交換律]92/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)3.分配律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.693/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)4.與沖激序列的卷積【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[性質(zhì)x[n]δ[n-n0]=x[n0]δ[n-n0]]

94/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和【例2-5】設(shè)

x1[n]=u[n]-

u[n-2]，x2[n]=an(u[n]-

u[n-2])，計(jì)算其卷積和?！窘狻坑捎趚1[n]和x2[n]是很短的序列，可以沖激序列表示為利用卷積和性質(zhì)有2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.695/772024/12/232.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)5.卷積后信號(hào)的時(shí)移與反轉(zhuǎn)若y[n]

=x1[n]*x2[n]，則【證明】由前面的性質(zhì)4和2，第1式易證再證明第2式，由卷積和定義比較兩式可知2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令-k=r]

表達(dá)式y(tǒng)[n]

=x1[n]*x2[n]右邊的n是助記符，不是真正的時(shí)間變量，不能簡(jiǎn)單的做變量代換。2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.1零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分求解

用δ(t)表示連續(xù)信號(hào)窄脈沖疊加近似2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的窄脈沖分解97/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)對(duì)δ(t)的響應(yīng)為h(t)，由LTI系統(tǒng)的線性時(shí)不變性質(zhì)可知即連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)x(t)的響應(yīng)為形如上式的積分稱為卷積積分。一般函數(shù)x1(t)和x2(t)的卷積積分定義為簡(jiǎn)記為因此，連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)

=x(t)*h(t)

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[時(shí)不變性][比例性][疊加性]2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.2卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算方法和卷積和的計(jì)算方法類似，主要有兩種計(jì)算方法。

方法一【例2-6】

x

(t)和h(t)波形如圖2.6所示，借助作圖求其卷積。2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.6例2-6的信號(hào)波形99/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分當(dāng)5≥t>-∞時(shí)，y(t)=0，兩波形不相交當(dāng)7≥t>5時(shí)，當(dāng)9≥t>7時(shí)，當(dāng)11≥t>9時(shí)，當(dāng)t>11時(shí)，y(t)=02.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.7例2-6的卷積圖解過程

圖2.8例2-6卷積后信號(hào)y(t)的波形100/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分方法二【例2-7】借助階躍函數(shù)求解例2-6中兩信號(hào)的卷積積分。【解】兩信號(hào)可以表示為

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6101/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分由前式計(jì)算可得上式也可以寫成分段函數(shù)形式確定積分限和t值范圍的過程可歸納為下列兩點(diǎn)不作翻轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了積分的下限；作翻轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了積分的上限。積分項(xiàng)后限定t變化范圍的階躍函數(shù)形式為“u(上限-下限)”。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.3卷積積分的性質(zhì)性質(zhì)1.交換律、結(jié)合律和分配律交換律：結(jié)合律：分配律：性質(zhì)2.微積分性質(zhì)其中y(m)(t)表示m次求導(dǎo)（當(dāng)m

>0）或m次積分（當(dāng)m

<0）。該性質(zhì)表明：對(duì)卷積后函數(shù)y(t)的m次微積分運(yùn)算可以在x1(t)和x2(t)之間任意分配，只要對(duì)和的微分或積分次數(shù)之和等于m即可。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6103/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分性質(zhì)3.與沖激函數(shù)的卷積將上述性質(zhì)和微積分性質(zhì)結(jié)合，則有

性質(zhì)4.卷積后信號(hào)的時(shí)移與反轉(zhuǎn)若y(t)=x1(t)*x2(t)，則

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6104/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分【例2-8】利用卷積性質(zhì)求例2-6中兩信號(hào)的卷積。

【解】x

(t)的一階導(dǎo)數(shù)為當(dāng)t<1時(shí)，當(dāng)1≤

t<5時(shí)，當(dāng)t≥5時(shí)，根據(jù)卷積積分的性質(zhì)有2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6105/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.9例2-8卷積結(jié)果106/772024/12/232.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分【例2-9】已知y(t)=x1(t)*x2(t)

，試用y(t)表示

x1(t-t1)*x2(t-t2)。

【解】反向利用性質(zhì)3

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[交換律和結(jié)合律][性質(zhì)3]2.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.1系統(tǒng)特性與沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)是對(duì)連續(xù)LTI系統(tǒng)的充分描述。因此，系統(tǒng)的許多性質(zhì)也必然在沖激響應(yīng)中得到體現(xiàn)。性質(zhì)1.因果性若系統(tǒng)是因果的，其沖激響應(yīng)必滿足h(t)=0或h[n]=0（t<0或n<0）性質(zhì)2.穩(wěn)定性若系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則其沖激響應(yīng)必滿足：即，BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)必須是絕對(duì)可積的或絕對(duì)可和的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6108/772024/12/232.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)性質(zhì)3.無記憶性若系統(tǒng)是無記憶的，則對(duì)所有的或，其沖激響應(yīng)滿足h(t)=0或h[n]=0（t≠0或n≠0）【例2-10】試判斷下列系統(tǒng)是否是因果的、穩(wěn)定的、無記憶的。(1)h(t)=e-tu(t+1) (2)

h[n]=u[n+3]-u[n-4]【解】(1)穩(wěn)定性：由于，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果性：因?yàn)閠<0時(shí)h(t)≠0

，因此系統(tǒng)是非因果性的。記憶性：因?yàn)閠≠0時(shí)h(t)有非零值，因此系統(tǒng)是有記憶的。

(2)穩(wěn)定性：由于，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果性：因?yàn)閚<0時(shí)h[n]≠0

，因此系統(tǒng)是非因果的。記憶性：因?yàn)閚≠0時(shí)h[n]有非零值，因此系統(tǒng)是有記憶的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6109/772024/12/232.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.2理想系統(tǒng)的沖激響應(yīng)恒等系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所謂恒等系統(tǒng)即系統(tǒng)的輸出信號(hào)恒等于輸入信號(hào)，無失真無延時(shí)。所以恒等系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.10理想導(dǎo)線建模為恒等系統(tǒng)110/772024/12/232.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所謂理想傳輸系統(tǒng)即為無失真有時(shí)延的傳輸系統(tǒng)。

所以理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.11連續(xù)時(shí)間理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

111/772024/12/232.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.3互聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)卷積結(jié)合律，可以將兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)的系統(tǒng)總輸出改寫為其中上式表明串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)為子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，離散時(shí)間串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)類似可得2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.12連續(xù)時(shí)間串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)112/772024/12/232.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)并聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，由圖2.15可知

因此并聯(lián)系統(tǒng)總沖激響應(yīng)為子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的和，即

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.15