青海省西寧市大通縣2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選：C2.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】由可知集合中的元素是非負(fù)偶數(shù)，所以可得，則中元素的個(gè)數(shù)為5.故選：A3.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部與實(shí)部之差為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?fù)數(shù)的虛部為，實(shí)部為，所以，的虛部與實(shí)部之差為.故選：B.4.將7張不同的郵票分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人至少2張，且郵票都要分完，則甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有（）A.210種 B.420種 C.240種 D.480種【答案】A【解析】依題意可得，甲、乙分得的郵票數(shù)相等且丙至少2張，意味著甲、乙兩人都分得2張郵票，所以甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有種.故選：A．5.下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，在0,π上均不是單調(diào)函數(shù)，時(shí)，，所以在0,π上為增函數(shù)，在0,π上為減函數(shù).故選：D．6.若是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，則，故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選：C．7.已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線，與的一個(gè)交點(diǎn)位于第四象限，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，，由，得，則，因此，所以.故選：B8.已知，，則使成立的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，取，，顯然有成立，但不成立，不符合題意.對(duì)于B，由，得，所以，可推出，符合題意.對(duì)于C，，可得，不符合題意.對(duì)于D，由，得，因?yàn)?，，所以，所以，不能推出，不符合題意.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.可能等于C. D.可能等于【答案】ACD【解析】因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，，故A，C正確因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.10.已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，，所以，，所以?故選：AC11.在體積為的正四棱錐中，異面直線PC與AB所成角的余弦值為，則（）A.B.二面角的余弦值為C.正四棱錐的外接球的表面積為D.直線BC與平面PCD所成角的正切值為2【答案】BCD【解析】取的中點(diǎn)，設(shè)為正方形的中心，連接，，則.因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即，則.設(shè)，則，，，則，所以正四棱錐體積為，解得，所以，故A錯(cuò)誤.在正方形中，由于，為的中點(diǎn)，所以，則為二面角的平面角，所以，故B正確.設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，且，又，由，得，解得，所以正四棱錐的外接球的表面積為，故C正確.因?yàn)?，所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知離散型隨機(jī)變量的分布列為1234則______.【答案】【解析】由分布列，有.13.已知，，且是奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】由是奇函數(shù)，得，令，得，則.14.已知向量，，滿足，，，.若恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)?，結(jié)合，所以.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得，.令，則，，代入，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.因?yàn)?，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.若恒成立，則，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營(yíng)甲?乙?丙三種品牌的紅茶，且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為.（1）若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場(chǎng)占有量的比例為，小張到該批發(fā)地任意購(gòu)買(mǎi)一盒紅茶，求他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買(mǎi)一盒紅茶，求他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.解：（1）設(shè)事件分別表示小張買(mǎi)到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得，，由全概率公式得，所以他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.（2）設(shè)事件表示他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶，組成事件的情況有：甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶，乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶，且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立，則，所以他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.16.在中，、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）若的面積，，求；（2）若，求.解：（1）由，得.因?yàn)?，所以，得?由余弦定理可得，所以.（2）由及正弦定理得.因?yàn)椋?，所以，即，?因?yàn)?，所以，所以，?17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC中點(diǎn).（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.（1）證明：因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，可得，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）若有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，解得，故的取值范圍為.（3）因?yàn)?，則0為的1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，即方程有2個(gè)不同的實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，則，令，得，在上單調(diào)遞增；令，得，在上單調(diào)遞減，，，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，即的取值范圍是.19.橢圓有一個(gè)光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光照射到橢圓上，其反射光線會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，光線從發(fā)出，經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)（不在軸上）反射后，到達(dá)橢圓上的點(diǎn)，再反射到達(dá)上的點(diǎn)，不斷反射，得到反射點(diǎn)列，設(shè).（1）若的焦距為2，，，求的離心率；（2）證明：；（3）證明：是等比數(shù)列.（1）解：由題意，得，則，F(xiàn)1-1,0.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，解得.又，所以的離心率為.（2）證明：由題意，得，，