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文檔簡介
第八章平面解析幾何第三節(jié)圓的方程·考試要求·1.掌握圓的標準方程與一般方程.2.會根據(jù)已知條件求圓的方程.3.能夠根據(jù)圓的方程解決相關(guān)問題.必備知識落實“四基”
自查自測知識點一圓的定義及方程1.判斷下列說法的正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(
)(2)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心,a為半徑的圓.(
)(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(
)√√×
√
√4.若曲線C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圓,則實數(shù)a的取值范圍為(
)A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞)B
解析:由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a.由該曲線表示圓,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<-2.√
核心回扣1.圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程_______________________圓心:(a,b)半徑:r一般方程______________________(D2+E2-4F>0)(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2-4F>0D2+E2-4F=0D2+E2-4F<0
√
核心回扣點與圓的位置關(guān)系已知點M(x0,y0),圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況________________________?點在圓上________________________?點在圓外________________________?點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2【常用結(jié)論】1.確定圓的方程時,常用到的圓的兩個性質(zhì):(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任意弦的中垂線上.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.應用1已知A(1,0),B(0,3),則以AB為直徑的圓的方程是(
)A.x2+y2-x-3y=0 B.x2+y2+x+3y=0C.x2+y2+x-3y=0 D.x2+y2-x+3y=0A
解析:圓的方程為(x-1)(x-0)+(y-0)(y-3)=0,即x2+y2-x-3y=0.√
√
核心考點提升“四能”
圓的方程1.(2024·桂林模擬)已知圓C的圓心為(1,0),且與直線y=2相切,則圓C的方程是(
)A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2 D.(x+1)2+y2=2A
解析:因為圓心(1,0)到直線y=2的距離d=2,所以r=2,故圓C的方程為(x-1)2+y2=4.√
√
求圓的方程的兩種方法(1)幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)出圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值.②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則設(shè)出圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,從而求出D,E,F(xiàn)的值.提醒:解答圓的有關(guān)問題時,應注意數(shù)形結(jié)合,充分運用圓的幾何性質(zhì).
與圓有關(guān)的軌跡問題【例1】已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標;解:由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標為(3,0).
求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法
√
形如ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線ax+by=d的截距,通過截距的范圍求d的范圍,進而得到d的最值.考向3距離型最值問題【例4】
設(shè)P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值是(
)A.6 B.25C.26 D.36
√
形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點(x,y)到定點(a,b)的距離的平方的最值.
建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.
阿波羅尼斯圓及應用
公元前3世紀,古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中研究了眾多的平
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