高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用課件

第五章

平面向量、復(fù)數(shù)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用·考試要求·1．理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義．2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題以及其他一些實(shí)際問(wèn)題．必備知識(shí)落實(shí)“四基”

×××√

√

∠AOB0≤θ≤π0π

√

√

|a||b|cos

θ03．?dāng)?shù)量積a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于向量a的長(zhǎng)度與向量b在向量a的方向上的投影的乘積．4．運(yùn)算律：對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有(1)a·b＝______；(2)(λa)·b＝_________＝_________；(3)(a＋b)·c＝____________．注意點(diǎn)：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個(gè)向量．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

核心回扣已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模夾角a⊥b的充要條件_________x1x2＋y1y2＝0a·b|與|a||b|的關(guān)系||a·b|≤|a||b|

a·b＝0【常用結(jié)論】1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論：(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.應(yīng)用1已知a，b為非零向量，則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B

解析：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或零角；若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件．√

核心考點(diǎn)提升“四能”

√

√

計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos

〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義．

√

√(3)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(

)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D

解析：

因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.√

√

[變式]本例中條件改為“m＝(sinα－2，－cos

α－1)，n＝(－sinα，cos

α)”，若m∥n，求tanα.解：由m∥n得(－sinα)(－cos

α－1)＝(sinα－2)cos

α，化簡(jiǎn)得sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2.平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式時(shí)，先運(yùn)用向量相關(guān)知識(shí)，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)當(dāng)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式時(shí)，其解題思路是通過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解．

向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量，構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．

√

√

平面向量與三角形的“四心”

在近幾年的高考中經(jīng)?？疾橄蛄康臄?shù)量積及靈活運(yùn)用，并需要一定的計(jì)算技巧，考查考生的理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的能力，符合對(duì)數(shù)學(xué)能力考查的命題思想．在高考命題中，三角形的“四心”顯得非常重要．平面幾何中三角形的“四心”，即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心．在引入向量這個(gè)工具后，我們可以從動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形中的“四心”的向量表示：其一可以使我們對(duì)三角形中的“四心”有全新的認(rèn)識(shí)；其二使我們對(duì)向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有更清楚的認(rèn)識(shí)