二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)華師大版-課件

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)類型，它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。通過探索二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以更好地理解其特點(diǎn)和應(yīng)用。二次函數(shù)的定義函數(shù)定義一個(gè)自變量x的二次函數(shù)是指一個(gè)包含x2項(xiàng)的函數(shù)，其一般形式為y=ax2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0。性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是拋物線，開口方向取決于系數(shù)a，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))。標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=ax^2+bx+c二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是y=ax^2+bx+c，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0。標(biāo)準(zhǔn)形式方便我們研究二次函數(shù)的性質(zhì)，并找到頂點(diǎn)和對(duì)稱軸。例如，y=2x^2+3x-1是一個(gè)二次函數(shù)，其中a=2，b=3，c=-1。二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象是一個(gè)拋物線。拋物線的形狀取決于二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)號(hào)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下。圖象的基本性質(zhì)對(duì)稱性二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。對(duì)稱軸是一條垂直于x軸的直線，其方程為x=-b/2a。單調(diào)性二次函數(shù)的圖象在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。單調(diào)遞增表示當(dāng)x值增大時(shí)，y值也隨之增大；單調(diào)遞減表示當(dāng)x值增大時(shí)，y值隨之減小。開口和頂點(diǎn)開口方向二次函數(shù)圖象開口向上還是向下取決于系數(shù)a的符號(hào).頂點(diǎn)位置頂點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為-b/2a.頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)是二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，其坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a)).頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是找到函數(shù)圖象上最低點(diǎn)或最高點(diǎn)的坐標(biāo).可以使用配方法或公式法來求解.1配方法將函數(shù)表達(dá)式配成頂點(diǎn)式2公式法直接代入公式3頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸的性質(zhì)對(duì)稱軸將拋物線分成兩個(gè)完全相同的部分.頂點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)始終位于對(duì)稱軸上.重要性質(zhì)對(duì)稱軸上的點(diǎn)到拋物線上任意一點(diǎn)的距離相等.圖象的平移和伸縮平移將拋物線y=ax^2的圖象沿y軸方向向上或向下平移|k|個(gè)單位，得到y(tǒng)=ax^2+k的圖象。伸縮將拋物線y=ax^2的圖象沿y軸方向伸縮|k|倍，得到y(tǒng)=k*ax^2的圖象。綜合運(yùn)用將拋物線y=ax^2的圖象沿y軸方向平移|k|個(gè)單位，再沿y軸方向伸縮|m|倍，得到y(tǒng)=m*ax^2+k的圖象。單調(diào)性和極值單調(diào)性二次函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)值隨自變量的變化而變化的趨勢(shì)。當(dāng)自變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，函數(shù)值也隨之增大，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；反之，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。極值二次函數(shù)的極值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值。二次函數(shù)的極值與函數(shù)的開口方向有關(guān)。當(dāng)函數(shù)開口向上時(shí)，極值為最小值；當(dāng)函數(shù)開口向下時(shí)，極值為最大值。確定極值可以通過求導(dǎo)或配方法確定二次函數(shù)的極值。求導(dǎo)法可以得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將導(dǎo)數(shù)等于零，即可得到極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入原函數(shù)即可求得極值。二次函數(shù)的單調(diào)性遞增當(dāng)自變量的值增大時(shí)，函數(shù)的值也隨之增大。遞減當(dāng)自變量的值增大時(shí)，函數(shù)的值隨之減小。對(duì)稱軸二次函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸左側(cè)遞減，右側(cè)遞增。二次函數(shù)的極值極大值當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時(shí)，頂點(diǎn)處取得最小值。當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時(shí)，頂點(diǎn)處取得最大值。求極值方法求二次函數(shù)的極值，可以使用公式法或配方法，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到極值。二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是拋物線，其性質(zhì)決定了拋物線的形狀、位置和方向。理解二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是掌握二次函數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵。零點(diǎn)和根二次函數(shù)的零點(diǎn)是指使二次函數(shù)值為零的自變量的值，即方程ax^2+bx+c=0的根。圖形意義二次函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于拋物線與x軸的交點(diǎn)，也就是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。二次函數(shù)的零點(diǎn)定義二次函數(shù)的零點(diǎn)是指使函數(shù)值為零的自變量的值。也就是說，當(dāng)函數(shù)的圖象與x軸相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是二次函數(shù)的零點(diǎn)。求解求解二次函數(shù)的零點(diǎn)，實(shí)際上就是求解方程y=ax^2+bx+c=0的根。可以通過因式分解、配方法、公式法等方法來求解。意義二次函數(shù)的零點(diǎn)在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，例如，它可以用來求解物體拋射的運(yùn)動(dòng)軌跡、計(jì)算經(jīng)濟(jì)效益的最高點(diǎn)等。零點(diǎn)的個(gè)數(shù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)稱為函數(shù)的零點(diǎn)，也稱為方程的根。二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于二次函數(shù)的判別式（Δ）的值：如果Δ>0，則二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；如果Δ=0，則二次函數(shù)有一個(gè)重根，即只有一個(gè)零點(diǎn)；如果Δ<0，則二次函數(shù)沒有零點(diǎn)。根的性質(zhì)11.根的意義二次函數(shù)的根是指使函數(shù)值為零的自變量的值。22.根的個(gè)數(shù)二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)與判別式Δ的符號(hào)有關(guān)，Δ>0時(shí)有兩個(gè)不同的根，Δ=0時(shí)有一個(gè)根，Δ<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根。33.根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)的根與系數(shù)之間存在著維埃特定理，即兩個(gè)根之和等于-b/a，兩個(gè)根之積等于c/a。44.根的應(yīng)用二次函數(shù)的根在求解應(yīng)用問題中扮演著重要角色，例如求解最大值、最小值、零點(diǎn)等問題。應(yīng)用問題將二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用于實(shí)際問題中幫助解決實(shí)際生活中遇到的問題求解應(yīng)用問題的步驟11.理解問題仔細(xì)閱讀問題，弄清楚問題中所描述的實(shí)際情景。22.建立模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和公式進(jìn)行描述。33.解決模型利用數(shù)學(xué)方法求解模型，找到問題的解。44.驗(yàn)證答案將所得的解代入原問題進(jìn)行驗(yàn)證，確保答案符合實(shí)際情況。55.答題根據(jù)問題的要求，用簡潔、準(zhǔn)確的語言寫出答案。實(shí)例1：最大面積問題假設(shè)有一塊矩形土地，要圍成一個(gè)長方形花園。已知周長為定值，如何設(shè)計(jì)花園的尺寸才能使面積最大？可以用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決該問題，通過求函數(shù)的極值點(diǎn)，即可確定最大面積花園的尺寸。實(shí)例2：最大利潤問題利潤最大化是企業(yè)經(jīng)營的目標(biāo)之一。利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求解最大利潤，找到最佳生產(chǎn)方案。例如，已知某種商品的銷售價(jià)格、生產(chǎn)成本和產(chǎn)量之間的關(guān)系，可以建立一個(gè)二次函數(shù)模型來描述利潤與產(chǎn)量的關(guān)系，并求出最大利潤和對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量。實(shí)例3：拋物線運(yùn)動(dòng)問題足球運(yùn)動(dòng)足球運(yùn)動(dòng)員踢球時(shí)，球的運(yùn)動(dòng)軌跡通常呈拋物線形狀。跳水運(yùn)動(dòng)跳水運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)上跳下，其運(yùn)動(dòng)軌跡也是拋物線。炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射后，其運(yùn)動(dòng)軌跡也呈拋物線。實(shí)例4：幾何問題二次函數(shù)與幾何圖形密切相關(guān)，例如，拋物線就是二次函數(shù)的圖像。運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以解決許多幾何問題，例如，求三角形的面積、圓的方程等?？偨Y(jié)11.圖象性質(zhì)二次函數(shù)圖象開口方向，對(duì)稱軸位置，頂點(diǎn)坐標(biāo)，單調(diào)性等性質(zhì).22.應(yīng)用二次函數(shù)廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.33.學(xué)習(xí)方法理解概念，掌握公式，注重練習(xí)，靈活運(yùn)用.44.知識(shí)拓展深入了解二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系.二次函數(shù)的性質(zhì)開口方向二次函數(shù)的圖象是一個(gè)拋物線，開口方向取決于系數(shù)a的正負(fù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，可以通過公式計(jì)算得出。對(duì)稱軸拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸的方程可以根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得。單調(diào)性二次函數(shù)的圖象在對(duì)稱軸左側(cè)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)遞增。二次函數(shù)的應(yīng)用生活中的應(yīng)用二次函數(shù)廣泛應(yīng)用于生活，例如計(jì)算拋物線運(yùn)動(dòng)的軌跡、確定最大利潤等。工程建設(shè)建筑師利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)拱橋、建筑物的曲線部分，提升結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和美觀性。課后練習(xí)為了鞏固所學(xué)知識(shí)，課后練習(xí)十分重要。練習(xí)題涵蓋了二次函數(shù)的基本概念、圖象性質(zhì)、應(yīng)用等方面，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)點(diǎn)。通過練習(xí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的不足，并及時(shí)進(jìn)行彌補(bǔ)。此外，練習(xí)還可以培養(yǎng)學(xué)生