專題04 三角函數(shù)（考點講析）-【中職專用】2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末（高教版2023基礎模塊）(解析版)

專題04三角函數(shù)（考點講析）【中職專用】2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末（高教版2023基礎模塊）知識總結：1．角的概念(2)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和．2．弧度的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式①弧度與角度的換算：②弧長公式：③扇形面積公式：說明：②③公式中的必須為弧度制，角度與弧度的換算的關鍵是，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．三角函數(shù)的概念(1)定義：設是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點．①把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù)，記作，即；②把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù)，記作，即；③把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即．我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．(2)三角函數(shù)定義的推廣：設點是角終邊上任意一點且不與原點重合，，則(3)三角函數(shù)值在各象限內的符號．(口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦)4．特殊角的三角函數(shù)值表α0ππππ235π32sinα012313210-0cosα13210----01tanα0313－---0－0利用三角函數(shù)的定義求α=0、5．同角三角函數(shù)的基本關系平方關系；；商數(shù)關系6．誘導公式公式一；；公式二；；公式三；；公式四；；公式五；公式六；7．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性最小正周期最小正周期單調區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點最小值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸

題型一:任意角和弧度制例1下列命題中正確的是（）A．第一象限角一定不是負角 B．小于90°的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限的角 D．終邊相同的角一定相等【答案】C【分析】根據(jù)銳角、鈍角、終邊相同的角、象限角的定義，通過舉反例排除錯誤的選項即可求解.【詳解】對A，因為是第一象限角，但是負角，故A錯誤.對B，因為小于，但不是銳角，故B錯誤.對C，因為鈍角是大于90°且小于的角，所以鈍角一定在第二象限，故C正確.對D，因為30°和終邊相同，但它們不相等，故D錯誤．故選：C.變式訓練1下列與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)終邊相同角的概念即可得出結論.【詳解】，所以與終邊不相同，故A錯誤.，所以與終邊不相同，故B錯誤.，所以與終邊不相同，故C錯誤.，所以與終邊相同，故D正確.故選：D.2下列各角終邊在y軸上的是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)終邊在y軸上的角的集合即可得出結論.【詳解】角終邊在y軸上的集合為，當時，.當時，.當時，.當k=1時，.當時，.故D選項正確，A、B、C選項錯誤.故選：D.3設終邊在y軸的負半軸上的角的集合為M，則A． B．C． D．【答案】C【解析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解.【詳解】終邊在y軸的負半軸上的角的集合為：或.故選：C【點睛】本題考查了終邊相同角的表示，屬于基礎題.4化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將角度化為弧度即可解得.【詳解】，故選：B.5弧度的角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先找到與弧度的角終邊相同的角，再判斷其所在的象限.【詳解】∵，∴的終邊與的終邊相同.又∵，∴弧度的角的終邊在第二象限．即，弧度的角的終邊在第二象限．故選：B．6用角度制可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由弧度制和角度制的換算規(guī)則進行計算即可.【詳解】.所以用角度制可表示為.故選：C.題型二:任意角的三角函數(shù)例2已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號求解.【詳解】因為為第二象限角，所以，即，所以ABD錯誤，選項C正確，故選：C.變式訓練1（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導公式求值即可.【詳解】.故選：B.2已知，且，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)正弦及正切函數(shù)值在各象限的正負情況判斷即可.【詳解】由可知，角的終邊在第三象限或第四象限或y軸負半軸，由可知，角的終邊在第一象限或第三象限，綜上，角的終邊第三象限.故選：.3的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】故選：C.4設角a是第四象限角，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】由角所在的象限確定三角函數(shù)的正負即可.【詳解】因為角是第四象限角，所以，存在且.故B選項正確，A、C、D選項錯誤.故選：B.5已知角a的終邊經(jīng)過，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的正弦函數(shù)的定義求值即可.【詳解】已知角a的終邊經(jīng)過，則，所以，故選：C.6若點在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，結合二倍角的余弦公式，即可求解．【詳解】因為點在角的終邊上，所以，則，故選：B．7若，則角的終邊在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)在四個象限的符號即可求解.【詳解】因為，所以異號，即在所在的象限一正一負，所以角的終邊在第三、四象限.故選：.8若，且，則角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D【分析】先判斷角所在的象限，再判斷角所在的象限.【詳解】由條件知與異號，則為第二或第三象限角；又與異號，則為第三或第四象限角所以為第三象限角，即，，為第二或第四象限角.故選：D.9角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用終邊上的坐標求正弦值即可.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以在第二象限，即有，故選：C.題型三:同角三角函數(shù)的基本關系例3若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.【詳解】根據(jù)題意得：故選：C.變式訓練1若，則的值是（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關系，結合三角函數(shù)在各象限的符號，即可化簡求值．【詳解】因為，所以，所以．故選：B．2若，則等于（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)平方關系，將兩邊平方化簡單計算即可.【詳解】，，.故選：A．3已知，且是第二象限的角，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的正弦與余弦的平方和為一即可求解.【詳解】因為是第二象限角，所以，因為，所以.故選：.4已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的范圍判斷，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關系得到，即可求解.【詳解】∵，∴，而，故.即，.故選：B.5已知，，則（）A． B．C．? D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】因為，所以??，即?，所以?，又?，所以?，即?，則?，故選：B.6化簡（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式進行化簡即可得解.【詳解】，所以，故選：.7函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的基本關系式與倍角公式化簡題設函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的周期公式即可得解.【詳解】因為，所以的最小正周期為.故選：A.8已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將兩邊進行平方，利用正弦二倍角公式即可得解.【詳解】因為，則，所以即，故選：.9已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數(shù)基本關系式及象限角的三角函數(shù)值的符號即可得解.【詳解】因為，，又，所以，即，又所以，故選：.題型四:誘導公式例4（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式即可求解.【詳解】.故選：B．變式訓練1若點在角的終邊上，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義與誘導公式即可得解.【詳解】因為點在角的終邊上，所以，則.故選：A.2已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導公式求解即可．【詳解】∵，∴．故選：C．3（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】．故選：C.4（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值求出答案.【詳解】.故選：B5（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導公式轉化角即得.【詳解】.故選：D.6已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單位圓上點的坐標求三角函數(shù)值以及誘導公式求解即可.【詳解】因為角的終邊上的點，所以，又因為，所以.故選：C.7計算（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結果．【詳解】由誘導公式可得，．故選：A．8若點是角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式即可得解.【詳解】點是角終邊上一點，由定義可得，所以.故選：．9若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式與基本關系式依次求得，再利用三角函數(shù)的倍角公式即可得解.【詳解】因為，，所以，，則，所以.故選：D.題型五:三角函數(shù)圖像與性質例5已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用正弦函數(shù)的最小正周期公式即可得解.【詳解】因為的最小正周期為，所以，解得.故選：D.變式訓練1函數(shù)的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】因為，所以，則，所以函數(shù)的最大值是3.故選：D.2函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．既奇又偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．偶函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，又，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù).故選：A.3已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．值域為 B．最小正周期為2πC．振幅為3 D．經(jīng)過點【答案】B【分析】分析正弦型函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】對A：因為，所以，則函數(shù)的值域為，故A項正確；對B：函數(shù)的最小正周期為，故B項錯誤；對C：由函數(shù)可知，振幅為3，故C項正確；對D：在函數(shù)中，當時，，所以函數(shù)經(jīng)過點，故D項正確.故選：B.4下列選項正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦和余弦函數(shù)的單調性及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】對A：因為，又函數(shù)在單調遞增，所以，故A項正確；對B：因為，又函數(shù)在單調遞減，所以，故B項錯誤；對C：因為，所以，故C項錯誤；對D：因為，所以，故D項錯誤.故選：A.5函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式將函數(shù)化為，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質可判斷結果.【詳解】由于函數(shù)，故函數(shù)的值域為，故A、B選項錯誤；當時，，當時，，故C選項正確，D選項錯誤.故選：C6下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又以π為最小正周期的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)倍角公式，兩角和與差的公式，正余弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】對A，是正弦函數(shù)，是奇函數(shù)，最小正周期為，故A錯誤.對B，是余弦函數(shù)，是偶函數(shù)，最小正周期為，故B錯誤.對C，，最小正周期為，故C錯誤.對D，，是奇函數(shù)，最小正周期是π，故D正確.故選：D.7函數(shù)fx=AsinωxA．函數(shù)的周期是B．函數(shù)的圖象過點C．函數(shù)y=fxD．當時，【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖像求解析式，然后利用正弦型函數(shù)的性質進行判斷即可.【詳解】由圖可知函數(shù)最小值為，則最大值為，則，由圖可知從到為個周期，則，則，將代入解析式則，，則，因為，則，則，因為周期為，故A錯誤；將代入解析式，則，故B正確；由正弦函數(shù)性質可知函數(shù)，在為減區(qū)間，即在為減區(qū)間，當時，為區(qū)間，而區(qū)間為區(qū)間的子集，故C正確；將代入解析式得，，即，因為，結合正弦函數(shù)性質可知，即，當時為，即，所以當時，，故D正確；故選：A.8已知函數(shù)，則的最小正周期為，最大值為（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式進行化簡整理為，再由周期公式求周期，根據(jù)的值確定最值即可.【詳解】由，得，即，其中，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：A．9已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為，最大值為 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為 D．的最小正周期為，最大值為【答案】B【分析】利用余弦二倍角公式化簡解析式，然后根據(jù)余弦函數(shù)性質求最值周期即可.【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，當時取得最大值，最大值為，故選：B.10函數(shù)的最小正周期為（