2025屆自貢市重點中學高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題含解析_第1頁
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2025屆自貢市重點中學高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.2.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.3.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機票平均價格在增加5.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.6.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長.C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.7.已知,,,若,則()A. B. C. D.8.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.9.已知,則的大小關系為A. B. C. D.10.設等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.2911.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.14.《九章算術》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價各幾何?”.其意思是“若干個人合買一頭豬,若每人出100,則會剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少?”.設分別為人數(shù)、豬價,則___,___.15.已知關于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,則實數(shù)的取值范圍是________16.已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,則雙曲線C的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.18.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.19.(12分)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,滿足.有三個條件:①;②;③.其中三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件完成下面兩個問題:(1)求;(2)設為邊上一點,且,求的面積.20.(12分)已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標準方程:(2)設A是橢圓的左頂點,過右焦點F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.21.(12分)已知中,,,是上一點.(1)若,求的長;(2)若,,求的值.22.(10分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設,因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設,因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當且僅當,即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.2、D【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.3、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據(jù)條件與結論中參數(shù)的取值范圍進行判斷.4、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當,所以C選項敘述正確.對于D選項,根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎題.5、B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意二項分布的靈活運用.6、C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【詳解】對于A選項:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對于B選項:與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長,所以其總量也實現(xiàn)了增長,故B正確;對于C選項:2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個,故C錯誤;對于D選項:去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點睛】本題考查了圖表分析,學生的分析能力,推理能力,屬于基礎題.7、B【解析】

由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標運算計算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查向量平行的坐標表示,考查數(shù)量積的坐標運算,掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關鍵.8、A【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)相等的條件,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,是基礎題.9、D【解析】

分析:由題意結合對數(shù)的性質,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質整理計算即可確定a,b,c的大小關系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項.點睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準確.10、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點睛】考查等差數(shù)列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力,是基礎題.11、A【解析】

首先畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.12、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關于軸對稱,所以,又,所以,所以,所以,因為的遞增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進行圖象的平移時,注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

本問題轉化為曲線交點個數(shù)問題,在同一直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù),可以轉化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,如下圖所示:由圖象可知:當時,兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為:1【點睛】本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題,考查了轉化思想和數(shù)形結合思想.14、10900【解析】

由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎題型.15、【解析】

先換元,令,將原方程轉化為,利用參變分離法轉化為研究兩函數(shù)的圖像交點,觀察圖像,即可求出.【詳解】因為關于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個交點,由圖可知,實數(shù)的取值范圍是,但是當時,還有一個根,所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉化與化歸思想的能力,方程有解問題轉化成兩函數(shù)的圖像有交點問題,是常見的轉化方式.16、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質的應用,考查分類討論思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉化成證明平面,再轉化成證明和.(2)第(2)問,先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因為四邊形為菱形,所以.因為平面平面,平面平面,平面,,所以平面.又平面,所以.因為,所以.因為,所以平面.因為分別為,的中點,所以,所以平面(2)設,由(1)得平面.由,,得,.過點作,與的延長線交于點,取的中點,連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因為為平行四邊形,所以,所以平面.又因為,所以平面.因為,所以平面平面.由(1),得平面,所以平面,所以.因為,所以平面,所以是與平面所成角.因為,,所以平面,平面,因為,所以平面平面.所以,,解得.在梯形中,易證,分別以,,的正方向為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標系.則,,,,,,由,及,得,所以,,.設平面的一個法向量為,由得令,得m=(3,1,2)設平面的一個法向量為,由得令,得.所以又因為二面角是鈍角,所以二面角的余弦值是.18、(1);(2)【解析】

試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關系求其余弦,再利用兩角差的余弦定理即可求出;(2)根據(jù)(1)及面積公式可得,利用正弦定理即可求出.試題解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及題設條件,得,∴.由,得,∴,∴.點睛:解決三角形中的角邊問題時,要根據(jù)條件選擇正余弦定理,將問題轉化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題,利用三角中兩角和差等公式處理,特別注意內(nèi)角和定理的運用,涉及三角形面積最值問題時,注意均值不等式的利用,特別求角的時候,要注意分析角的范圍,才能寫出角的大小.19、(1);(2).【解析】

(1)先求出角,進而可得出,則①②中有且只有一個正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計算出和,計算出,可得出,進而可求得的面積.【詳解】(1)因為,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個正確,③正確.顯然,得.當①③正確時,由,得(無解);當②③正確時,由于,,得;(2)如圖,因為,,則,則,.【點睛】本題考查解三角形綜合應用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應用,考查計算能力,屬于中等題.20、(1);(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】

(1)解方程即可;(2)①設直線,,,將點的坐標用表示,證明即可;②分別用表示,,的面積即可.【詳解】(1)解之得:的標準方程為:(2)①,,設直線代入橢圓方程:設,,,直線,直線,,,,,.②,所以.【點睛】本題考查了直接法求橢圓的

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