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文檔簡介
2025屆河南省信陽市予南高級中學高考沖刺模擬數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)滿足(其中為的共軛復數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.2.設,滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1203.已知,,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.54.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.5.設為虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.7.波羅尼斯(古希臘數(shù)學家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點,C,D為橢圓的短軸端點,動點M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.8.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.若函數(shù)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.10.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知實數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.12.在平面直角坐標系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的垂線,垂足為點.設直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________.14.記數(shù)列的前項和為,已知,且.若,則實數(shù)的取值范圍為________.15.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料,則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是公比為的無窮等比數(shù)列,其前項和為,滿足,________.是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.從①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.18.(12分)某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖,估計本屆高三學生本科上線率.(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生,求恰有8名學生達到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù):取,.19.(12分)的內(nèi)角所對的邊分別是,且,.(1)求;(2)若邊上的中線,求的面積.20.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.21.(12分)為了解本學期學生參加公益勞動的情況,某校從初高中學生中抽取100名學生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學生中抽取3人進行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當時,高中生和初中生相比,那學段學生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)22.(10分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為求a,b的值;證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
按照復數(shù)的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)及復數(shù)的模,考查基本運算能力,屬于基礎題.2、B【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當時,的最大值為,故.展開式的通項為:,取得到項的系數(shù)為:.故選:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項式定理,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.3、A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設出單位向量的坐標,再將坐標代入中,利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設,,,則,從而,等號可取到.故選:A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.4、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標運算.對于向量問題,若已知垂直,通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.5、A【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡,求得對應的坐標,由此判斷對應點所在象限.【詳解】,對應的點的坐標為,位于第一象限.故選:A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算,考查復數(shù)對應點所在象限,屬于基礎題.6、B【解析】
觀察已知條件,對進行化簡,運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值,運用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運用對應方法求解.7、D【解析】
求得定點M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動點M滿足=2,則=2,化簡得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點睛】本題考查了橢圓離心率,動點軌跡,屬于中檔題.8、B【解析】
先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點,解出,,再建立不等式求出的范圍,進而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點,只需解得.故選:.【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.9、B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因為值域當中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.10、A【解析】
先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學生邏輯推理,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.11、B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當直線經(jīng)過點時,截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標函數(shù)的意義,屬于基礎題.12、C【解析】
利用誘導公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出圖形,設點,則、,設點,利用點差法得出,利用斜率公式得出,進而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設點,則、,設點,則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.14、【解析】
根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當時,,解得.所以.因為,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當時,,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.15、【解析】
先求出總的基本事件數(shù),再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù),然后根據(jù)古典概型求解.【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個,甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有:個,所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為:【點睛】本題主要考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.16、【解析】
利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
選擇①或②或③,求出的值,然后利用等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式,判斷不等式是否存在符合條件的正整數(shù)解,在有解的情況下,解出不等式,進而可得出結(jié)論.【詳解】選擇①:因為,所以,所以.令,即,,所以使得的正整數(shù)的最小值為;選擇②:因為,所以,.因為,所以不存在滿足條件的正整數(shù);選擇③:因為,所以,所以.令,即,整理得.當為偶數(shù)時,原不等式無解;當為奇數(shù)時,原不等式等價于,所以使得的正整數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18、(1)60%;(2)(i)0.12(ii)【解析】
(1)利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解;(2)(i)利用二項分布求解;(ii)甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X,Y,得,.,利用期望公式列不等式求解【詳解】(1)估計本科上線率為.(2)(i)記“恰有8名學生達到本科線”為事件A,由圖可知,甲市每個考生本科上線的概率為0.6,則.(ii)甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X,Y,依題意,可得,.因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,所以,即,解得,又,故p的取值范圍為.【點睛】本題考查二項分布的綜合應用,考查計算求解能力,注意二項分布與超幾何分布是易混淆的知識點.19、(1),(2)【解析】
(1)先由正弦定理,得到,進而可得,再由,即可得出結(jié)果;(2)先由余弦定理得,,再根據(jù)題中數(shù)據(jù),可得,從而可求出,得到,進而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得,所以,因為,所以,即,所以,又因為,所以,.(2)在和中,由余弦定理得,.因為,,,,又因為,即,所以,所以,又因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形,靈活運用正弦定理和余弦定理即可,屬于常考題型.20、(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計算,涉及余弦定理解三角形的應用,考查計算能力,屬于中等題.21、(1)(2)詳見解析(3)初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】
(1)由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由
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