2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則（

）A． B． C． D．4．已知的部分圖象如圖，則可能的解析式為（

）A． B．C． D．5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．243 B．244 C．81 D．826．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的四等分點(diǎn)處，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為8．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、填空題10．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是.11．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）12．已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直線，下列命題中：（1）若，，，則；（2）若，，，則且；（3）若，，，則；（4）若，，，則，13．緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位找到飛機(jī)的特有裝置．根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失事飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤飛機(jī)中有后來被找到，在被找到的飛機(jī)中，有安裝有緊急定位傳送器；而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器．則在失蹤飛機(jī)中，裝有緊急定位傳送器飛機(jī)的比例為（填寫百分?jǐn)?shù)），現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為．14.過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值是，則.15．在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為；若，則的最大值為.三、解答題16．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.(1)求角的大小；(2)設(shè)，（i）求的值；（ii）求的值.17．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．（1）證明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)．18．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.(3)在第（2）問的條件下，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線MN的方程.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，數(shù)列bn滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；(2)若求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列滿足，求.20．已知函數(shù)，，．(1)若，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．．答案：題號(hào)123456789答案ACADBBCDA9．A若，，使成立，則在上的取值范圍要包含上的取值范圍，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，則時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，我們進(jìn)行如下討論，若時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，若時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，，所以，解得，所以，綜上的范圍是.故選：A.10．因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，故答案為.11．展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，，令，解得，所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為.12．（2）（4）13．根據(jù)全概率公式得裝有緊急定位傳送器飛機(jī)的比例為：；設(shè)事件“失蹤的飛機(jī)后來被找到”，事件“失蹤的飛機(jī)后來未被找到”，事件“安裝有緊急定位傳送器”，則，，，，安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，它被找到的概率為：，故；．14．設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知的最小值為，整理可得，解得，且，所以，故答案為.15．；（1）(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，根?jù)向量加法，可得.因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以，即.再根據(jù)向量加法，可得.（2）因?yàn)椋?，所?.，在中，，根據(jù)向量數(shù)量積公式，可得.由，根據(jù)余弦定理，即.根據(jù)基本不等式，可得，即.將代入的表達(dá)式：因?yàn)椋?，取得最大值，最大值?故；.16．(1)(2)（i）；（ii）（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫海瑒t，因?yàn)樵谥?，，所以，則有，因?yàn)?，所以，，故；?）（i）由（1）知：，在中，因?yàn)椋?，由余弦定理可得：，則.（ii）在中，由正弦定理可得：，即，所以，因?yàn)椋?，則為銳角，所以，則，，所以17．（1）見解析（2）（3）解：本題可通過建立空間坐標(biāo)系求解．如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.(2)＝(1，－2，－1)．設(shè)平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，則,即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個(gè)法向量為＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個(gè)法向量．于是cos〈，〉＝＝＝－，從而sin〈，〉＝，故二面角B1－CE－C1的正弦值為.(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量．設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝(λ＝－舍去)，∴AM＝.18．(1)；(2)是，(3)和（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得，由圖知，直線的傾斜角互補(bǔ)，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，代入，消去得.設(shè)，所以，可得，因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)，所以在上式中以代替，可得，所以直線的斜率，即直線的斜率為定值.（3）由（1）已得，,可設(shè)直線的方程為：，代入，整理得：，則，即，設(shè)，則，于是，，點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為：，因，則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線的方程為,即和.19．(1)(2)(3)（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)也成立，所以；因，，故（2），，即有，則，，上面兩式相減可得，可得.（3），，兩式作差可得，所以，因?yàn)椋?關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是能夠理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將所求轉(zhuǎn)化為求解即可.20．．(1)極大值，無(wú)極小值(2)答案見解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，則在0,+∞所以有極大值，無(wú)極小值．（2），令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，