清單01 三角形（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）解析版

清單01三角形（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角．（2）按邊的相等關(guān)系分類(lèi)：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．（4）三角形具有穩(wěn)定性．1．（2022秋?金平區(qū)期末）如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)三角形的定義，找出圖中所有的三角形，數(shù)出其個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論．【解答】解：圖中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形，牢記三角形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為15厘米，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么這個(gè)三角形的最短邊為．【分析】可設(shè)這個(gè)三角形的最短邊為x厘米，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)為15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形的最短邊為x厘米，依題意有x+2x+2x＝15，5x＝15，x＝3．故這個(gè)三角形的最短邊為3厘米．故答案為：3厘米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列出方程求解．考點(diǎn)二．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．3．（2022秋?龍馬潭區(qū)期末）畫(huà)△ABC的BC邊上的高，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)高的畫(huà)法可知，畫(huà)△ABC的BC邊上的高，即過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線．【解答】解：畫(huà)△ABC的BC邊上的高，即過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部．4．（2022秋?榮昌區(qū)期末）下列說(shuō)法中正確的是（）A．平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內(nèi)【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【解答】解：A、三角形的角平分線是一條線段，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、三角形的中線是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、鈍角三角形的二條高都在三角形外，最長(zhǎng)邊上的高在三角形內(nèi)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、三角形的三條中線總在三角形內(nèi)，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．5．（2022秋?南陽(yáng)期末）已知△ABC（如圖），按下列要求畫(huà)圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周長(zhǎng)）且AB＝4，則AC＝．【分析】（1）取BC的中點(diǎn)D，然后連接AD即可；（2）作∠ADB的平分線交AB于M點(diǎn)；（3）過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)；（4）利用三角形中線的定義得到BD＝CD，然后利用三角形周長(zhǎng)的定義得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，從而可計(jì)算出AC．【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，DM為所作；（3）如圖，CN為所作；（4）∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線，高線，角平分線，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的角平分線、中線和高．考點(diǎn)三．三角形的穩(wěn)定性當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實(shí)際生活中．6．（2022秋?白云區(qū)期末）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來(lái)增加其穩(wěn)定性，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答．7．（2022秋?北侖區(qū)期末）生活中，自行車(chē)的車(chē)架大多設(shè)計(jì)成如圖所示的三角形，這是因?yàn)槿切尉哂校痉治觥扛鶕?jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等．③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最?。ǖ冗吶切危?．（2021秋?翔安區(qū)期末）如圖，G是△ABC的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC【分析】根據(jù)三角形的重心是三角形中線的交點(diǎn)，再由中線的定義即可判斷．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．9．如圖，△ABC的中線AD，BE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)H⊥BC，垂足為H．若S△ABC＝15，BC＝6，則FH長(zhǎng)為．【分析】連接FC，由三角形的中線與面積的關(guān)系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，則有S△BCF＝S△BEC＝5，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【解答】解：連接FC，如圖所示：∵AD、BE是△ABC的中線，S△ABC＝15，∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，∴S△AEF＝S△BDF，∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，∴S△BCF＝S△BEC＝5，∵S△BCF＝BC?FH＝×6FH＝5，∴FH＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中線與面積的關(guān)系，熟練掌握三角形的中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．10．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）三角形的三邊長(zhǎng)可以是（）A．2，2，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．2，4，6【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可得出答案．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．【解答】解：A．∵2+2＝4，∴不能構(gòu)成三角形，不符合題意；B．∵2+3＝5，∴不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C．∵2+4＞5，∴能組成三角形，符合題意；D．∵2+4＝6，∴不能構(gòu)成三角形，不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，將長(zhǎng)為8的線段AB分成三條線段AC，CD，BD，且AC＝BD＝a，若這三條線段首尾相連能夠圍成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的三邊關(guān)系構(gòu)建不等式求解．【解答】解：由題意，，∴2＜a＜4．∴a＝3符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問(wèn)題．12．（2022秋?安次區(qū)期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整數(shù)，求BC的長(zhǎng)；（2）已知AD是△ABC的中線，若△ACD的周長(zhǎng)為10，求三角形ABD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整數(shù)，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD∵△ACD的周長(zhǎng)為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．13．（2022秋?嘉魚(yú)縣期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)I．∠BIC＝115°，則∠A為（）A．70° B．65° C．50° D．30°【分析】設(shè)∠A＝α，利用角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)∠BIC＝115°得∠OBC+∠OCB＝65°，所以求解即可．【解答】解：設(shè)∠A＝α，則∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠BIC＝115°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣115°＝65°，∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)I，∴，即，解之得：α＝50°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系進(jìn)行求解．14．（2022秋?莘縣期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，若∠P＝2∠A，則∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】先根據(jù)角平分線的定義得：∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再由三角形內(nèi)角和定理和已知可得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣（180°﹣∠P），∵∠P＝2∠A，∴∠A＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理與角平分線的定義，結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問(wèn)題．15．（2022秋?花溪區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝70°，求∠D的度數(shù)．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分線的定義推出∠DBC+∠DCB＝55°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴，∴，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝125°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?章貢區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD與AE交于點(diǎn)F，求∠AFB．【分析】首先利用三角形的內(nèi)角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分線的性質(zhì)求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及垂直的定義即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，而∠ABC＝82°，∠C＝58°，∴∠CAB＝40°，∵AE平分∠CAB，∴∠DAF＝20°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB＝90°，∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．故答案為：110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和等于180°求解，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?濰坊期末）通過(guò)學(xué)習(xí)第5章《幾何證明初步》知道：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、猜想得到的結(jié)論還需要通過(guò)證明來(lái)確認(rèn)它的正確性，實(shí)驗(yàn)的方法能給我們證明提供思路．例如：在證明“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論時(shí)，如圖2，有兩種實(shí)驗(yàn)方法．小明受實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，形成了證明該結(jié)論的思路，寫(xiě)出了已知、求證，并進(jìn)行了證明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的證明過(guò)程依據(jù)有哪些？（寫(xiě)兩條即可）（2）請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法1的思路，寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)方法2的證明過(guò)程．【分析】（1）結(jié)合平行線的判定，平角的定義對(duì)過(guò)程進(jìn)行分析即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，利用平行線的性質(zhì)，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，結(jié)合平角等于180°，即可證出∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解答】（1）解：依據(jù)是：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平角的定義．（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥BC，∴∠3＝∠B，∠4＝∠C．∵∠BAC+∠3+∠4＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．18．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和以及補(bǔ)角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°．19．（2022秋?昭陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°，∠DCE＝55°，則∠A等于（）A．65° B．75° C．85° D．95°【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵CE是∠ACD的平分線，∠DCE＝55°，∴∠ACD＝2∠DCE＝110°，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣35°＝75°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．20．（2022秋?江門(mén)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上點(diǎn)E處，若∠B＝65°，則∠ADE的大小為（）A．40° B．50° C．65° D．75°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A＝25°，再由折疊可得∠CED的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，∴∠A＝90°﹣65°＝25°，根據(jù)折疊可得∠CED＝∠B＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余．21．（2022秋?寧波期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．75° C．55° D．65°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．22．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，則∠B的度數(shù)為（）A．5 B．25° C．35° D．45°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫(huà)多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說(shuō)的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心．常見(jiàn)圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對(duì)角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形．23．（2022秋?柳州期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由多邊形的概念，通過(guò)實(shí)際操作，即可解決問(wèn)題．【解答】解：把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是6邊形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形，關(guān)鍵是動(dòng)手實(shí)踐得到答案．24．（2023秋?德惠市校級(jí)期末）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有個(gè)銳角．【分析】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3個(gè)鈍角，則內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角．【解答】解：一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角．【點(diǎn)評(píng)】注意每個(gè)內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內(nèi)角的情況可以借助外角來(lái)分析．25．（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，我們稱(chēng)其為格點(diǎn)凸多邊形，并記該格點(diǎn)多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為N，多邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)．（1）對(duì)于圖中的五個(gè)凸多邊形，補(bǔ)全以下表格：多邊形面積S內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)N邊上格點(diǎn)數(shù)LN+ⅠⅡ7488ⅢⅣ951010Ⅴ15.5111116.5（2）借助以上表格猜想格點(diǎn)凸多邊形的面積公式：S與N+的數(shù)量關(guān)系可用等式表示為；（3）已知格點(diǎn)長(zhǎng)方形ABCD，設(shè)其邊長(zhǎng)AB＝m，BC＝n，其中m，n為正整數(shù)．請(qǐng)以格點(diǎn)長(zhǎng)方形ABCD為例，嘗試證明（2）中的格點(diǎn)凸多邊形的面積公式．【分析】（1）由三角形，梯形面積公式可求圖形的面積，由圖形可知圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，邊上格點(diǎn)數(shù)；（2）由（1）即可總結(jié)結(jié)論；（3）用m，n表示出長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，邊上格點(diǎn)數(shù)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）Ⅰ的面積是×3×4＝6，內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)是N＝3，邊上的格點(diǎn)數(shù)是L＝8，N+＝7，Ⅲ的面積是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)是N＝2，邊上的格點(diǎn)數(shù)是L＝9，N+＝6.5．故答案為：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．（2）由（1）可以總結(jié)出結(jié)論：S＝N+﹣1，故答案為：S＝N+﹣1．（3）長(zhǎng)方形的面積＝mn，內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，邊上的格點(diǎn)數(shù)是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，∴S＝N+﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是由長(zhǎng)方形的長(zhǎng)AB＝m，寬CD＝n，表示出，長(zhǎng)方形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，邊上格點(diǎn)數(shù)．考點(diǎn)十．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．26．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（）A．180° B．210° C．240° D．270°【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)A、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和等于180°，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】A解：延長(zhǎng)BA，DE，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，根據(jù)多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，是基礎(chǔ)題，理清求解思路是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?密山市校級(jí)期末）十二邊形的外角和是（）A．180° B．360° C．1800° D．2160°【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和是360°即可求解．【解答】解：十二邊形的外角和是360°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和，理解任何多邊形的外角和是360度是關(guān)鍵．28．（2022秋?周村區(qū)期末）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，那么這個(gè)多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式與外角和是360°列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)是n，根據(jù)題意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6，即這個(gè)多邊形是六邊形，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和與外角和，一元一次方程的應(yīng)用，掌握n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°、外角和是360°是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?青云譜區(qū)期末）已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【分析】由多邊形的內(nèi)角和定理，外角和是360°，即可計(jì)算．【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，∴n＝9，∴正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是180°﹣360°÷9＝140°，答：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是9，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)），外角和是360°．30．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形截去一個(gè)角以后（截線不經(jīng)過(guò)多邊形的頂點(diǎn)），形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比五邊形的內(nèi)角和多720°，求原多邊形的邊數(shù)及每個(gè)外角的度數(shù)．【分析】設(shè)原多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意可得：（n+1﹣2）?180°＝（5﹣2）×180°+720°，然后進(jìn)行計(jì)算可求出多邊形的邊數(shù)，最后再利用任意多邊形的外角和都是360°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)原多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n+1﹣2）?180°＝（5﹣2）×180°+720°，（n﹣1）?180°＝3×180°+720°，（n﹣1）?180°＝1260°，n﹣1＝7，n＝8，∵原多邊形各內(nèi)角都相等，∴每個(gè)外角的度數(shù)＝＝45°，∴原多邊形的邊數(shù)為8，每個(gè)外角的度數(shù)為45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式，與外角和是解題的關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學(xué)建模-構(gòu)建方程模型求角度1．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．分類(lèi)討論思想2．（2022秋?番禺區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為6，另一邊長(zhǎng)為14，則它的周長(zhǎng)為（）A．26 B．26或34 C．34 D．20【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為14時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為14，底邊長(zhǎng)為6時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為14時(shí)，∵6+6＝12＜14，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為14，底邊長(zhǎng)為6時(shí)，∴它的周長(zhǎng)＝14+14+6＝34；綜上所述：它的周長(zhǎng)為34，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?公安縣期末）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，則它的頂角為（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°【分析】可知有兩種情況（頂角是50°和底角是50°時(shí)），由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB＝AC．有兩種情況：①頂角∠A＝50°；②當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為50°和80°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對(duì)有的問(wèn)題正確地進(jìn)行分類(lèi)討論是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋?睢陽(yáng)區(qū)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問(wèn)題：（1）若x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長(zhǎng)，且a，b滿(mǎn)足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）仿照例題的思路，配成兩個(gè)完全平方式，然后利用偶次方的非負(fù)性，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）仿照例題的思路，配成兩個(gè)完全平方式，再利用偶次方的非負(fù)性，先求出a，b的值，然后分兩種情況，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，∴x2+2xy+y2+3y2﹣12y+12＝0，∴（x+y）2+3（y﹣2）2＝0，∴x+y＝0，y﹣2＝0，∴x＝﹣2，y＝2，∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4，∴xy的值為﹣4；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長(zhǎng)為5+4+4＝13，所以△ABC的周長(zhǎng)為13或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算-用轉(zhuǎn)化的思想方法解決問(wèn)題5．（2023春?侯馬市期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.三角形的三邊關(guān)系1．（2023?衡陽(yáng)）下列長(zhǎng)度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴長(zhǎng)度為1cm，2cm，3cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、∵3+5＝8，∴長(zhǎng)度為3cm，8cm，5cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、∵4+5＜10，∴長(zhǎng)度為4cm，5cm，10cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、∵4+5＞6，∴長(zhǎng)度為4cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．2．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設(shè)第三條線段長(zhǎng)為xcm，再利用三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設(shè)第三條線段長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．3.（2023?徐州）若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊的長(zhǎng)可以為