高二數(shù)學(xué)空間向量試題答案及解析-

高二數(shù)學(xué)空間向量試題答案及解析1.如圖，將邊長為2，有一個(gè)銳角為60°的菱形，沿著較短的對(duì)角線對(duì)折，使得

，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）

【解析】（1）利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全.（2）利用棱錐的體積公式求體積.（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（4）在求三棱柱體積時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)牡鬃鳛榈酌?，這樣體積容易計(jì)算.（5）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（Ⅰ）連接，由已知得和是等邊三角形，為的中點(diǎn)，

又邊長為2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）,

（Ⅲ）解法一：過，連接AE，

，

即二面角的余弦值為.

解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

顯然，平面的法向量為

設(shè)：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值為.

【考點(diǎn)】（1）空間中線面垂直的判定；（2）三棱錐的體積公式；（3）利用空間向量證明線線垂直和求夾角.

2.如圖，在三棱柱中，平面，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，.

⑴當(dāng)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；

⑵當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小是45.

【答案】（1），（2）.

【解析】（1）此小題考查用空間向量解決線面角問題，只需找到面的法向量與線的方向向量，注意用好如下公式：，且線面角的范圍為：；（2）此小題考查的是用空間向量解決面面角問題，只需找到兩個(gè)面的法向量，但由于點(diǎn)坐標(biāo)未知，可先設(shè)出，利用二面角的大小是45，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到的長度，則易求出其比值.

試題解析：

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，⑴因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，得，取，則，設(shè)直線與平面的法向量的夾角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；

⑵設(shè)，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，是平面的一個(gè)法向量，，得，即，所以當(dāng)時(shí)，二面角的大小是.

【考點(diǎn)】運(yùn)用空間向量解決線面角與面面角問題，要掌握線面角與面面角的公式，要注意合理建系.

3.在空間直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)間的距離為10，則__________．

【答案】.

【解析】直接利用空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，解之得，即為所求.

【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．

4.A(5，-5，-6)、B(10，8，5)兩點(diǎn)的距離等于

.

【答案】.

【解析】∵，，由空間中兩點(diǎn)之間距離公式可得：.

【考點(diǎn)】空間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離計(jì)算.

5.如圖，邊長為1的正三角形所在平面與直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分別是線段、的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】（1）由已知中F為CD的中點(diǎn)，易判斷四邊形ABCD為平行四邊形，進(jìn)而AF∥BC，同時(shí)EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中點(diǎn)O，連接SO，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，分別求出平面SAC與平面ACF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角S-AC-F的大?。?/p>

（1）分別是的中點(diǎn)，．又，所以．，……2分

四邊形是平行四邊形．．是的中點(diǎn)，．……3分

又，，平面平面……5分

（2）取的中點(diǎn)，連接，則在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分

于是可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則有，，，，

，．…7分

設(shè)平面的法向量為，由．

取，得．……9分平面的法向量為．10分

…11分而二面角的大小為鈍角，

二面角的余弦值為．

【考點(diǎn)】1．用空間向量求平面間的夾角；2．平面與平面平行的判定．

6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為()．A．B．C．D．【答案】B

【解析】設(shè)正方體棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴?＝2×2?2×2?1×1＝?1，||

＝

3，

|

|＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故選B.

【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角.

7.已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．

(1)證明：PF⊥FD；

(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3).

【解析】解法一（向量法）

（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；

（2）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個(gè)垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點(diǎn)位置；

（3）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解法二（幾何法）

（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；

（2）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點(diǎn)位置；

（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.

試題解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則

A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，

∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，

即PF⊥FD.

(2)解：設(shè)平面PFD的法向量為n=(x，y，z)，

由得

令z=1，解得：x=y=.

∴n=.

設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0，m)，E，則，

要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，從而滿足AG=AP的點(diǎn)G即為所求．

(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為n=.

∴.

故所求二面角A－PD－F的余弦值為.

【考點(diǎn)】1.用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；3.直線與平面平行的判定．

8.已知三棱柱，平面，，，四邊形為正方形，分別為中點(diǎn)．

（1）求證：∥面；

（2）求二面角——的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）只要證出∥，由直線與平面平行的判定定理即可得證

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求二面角的公式求解

試題解析：（1）在中、分別是、的中點(diǎn)

∴∥

又∵平面，平面

∴∥平面

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

∴，

平面的一個(gè)法向量

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則即

取.

∴

∴二面角的余弦值是.

【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定定理，在空間直角坐標(biāo)系中求二面角

9.如圖，直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分別為的中點(diǎn).

（1）求>的值；

（2）求證：

【答案】（1）>的值為；（2）證明過程詳見試題解析.

【解析】（1）先以C為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，由已知易求出，進(jìn)而可求>的值；

（2）由（1）所建立的空間坐標(biāo)系可寫出、、的坐標(biāo)表示，即可知，從而得證.

試題解析：以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在的直線分別為軸、軸、軸，建立坐標(biāo)系

（1）依題意得,∴

∴

,

∴>=

6分

(2)依題意得

∴,

∴,,

∴

,

∴

,

∴

∴

12分

【考點(diǎn)】空間坐標(biāo)系、線面垂直的判定方法.

10.如右圖，正方體的棱長為1．應(yīng)用空間向量方法求：

⑴求和的夾角

⑵．

【答案】（1）

（2）對(duì)于線線垂直的證明可以運(yùn)用幾何性質(zhì)法也可以運(yùn)用向量法來證明向量的垂直即可。

【解析】解：建立空間直角坐標(biāo)系，則

-1分

⑴所以

，，-2分

，

所以

-4分

所以

5分

⑵因?yàn)?/p>

，，7分

-9分

所以

．

10分

【考點(diǎn)】空間向量的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了向量法來求解異面直線所成的角和線線垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題。

11.若點(diǎn)，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值等于（

）．A．B．C．D．【答案】C

【解析】∵，，∴，∴當(dāng)x=時(shí)，取最小值，故選C

【考點(diǎn)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)公式是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題

12.⊿ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則AC邊上的高BD長為（

）

A．B．4C．5D．【答案】Ｃ

【解析】由已知=（0,4，-3），=（4，－5，0），所以=，|BD|===5，故選C。

【考點(diǎn)】本題主要考查空間向量的夾角，空間兩點(diǎn)間的距離。

點(diǎn)評(píng)：簡單題，空間兩點(diǎn)間的距離，如果點(diǎn)的坐標(biāo)知道，可直接運(yùn)用公式，本題中給出了三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此，通過計(jì)算向量及向量的夾角，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得解。

13.與A(-1，2，3)，B(0，0，5)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件為__________．

【答案】2x-4y+4z=11

【解析】由代入坐標(biāo)得整理化簡得

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間距離公式

點(diǎn)評(píng)：則

14.已知A（1，0，2），B（1，1），點(diǎn)M在軸上且到A、B兩點(diǎn)的距離相等，則M點(diǎn)坐標(biāo)為

A．（，0，0）

B．（0，，0）

C．（0，0，）

D．（0，0，3）

【答案】C.

【解析】設(shè)M的坐標(biāo)為(0,0,z),因?yàn)镸在軸上且到A、B兩點(diǎn)的距離相等,

所以,所以z=-3,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0,-3).

【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式.

點(diǎn)評(píng)：在M在z軸上其橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為零，設(shè)M的坐標(biāo)為(0,0,z),因而再根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于z的方程求出z的值得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

15.點(diǎn)A(x,2，3)與點(diǎn)B(-1，y，z)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對(duì)稱，則x=_____,y=______,z=______.

【答案】x=1，y=2,z=3

【解析】點(diǎn)

點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz，所以y,z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)互為相反數(shù)

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn)評(píng)：掌握對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系

關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為

關(guān)于平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為

關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為

16.設(shè)a=(x,4,3)，b=(3,2,z),且a∥b，則等于（

）A．9B．-4C．D．-9【答案】A

【解析】因?yàn)?所以所以.所以.

【考點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示.

點(diǎn)評(píng)：設(shè),如果,那么.

17.如圖，在直三棱柱中，AB=1，，.

(Ⅰ)證明：；

（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。

【答案】（1）證：三棱柱為直三棱柱，

…1分

在中，,由正弦定理,…………3分

,又

……5分

（2）解如圖，作交于點(diǎn)D點(diǎn)，連結(jié)BD，

由線面垂直的性質(zhì)定理知

…………7分

為二面角的平面角。

……8分

在

…………9分

【解析】略

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求證：PC⊥AB；

（Ⅱ）求直線BC與平面APB所成角的正弦值

（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面APB的距離.

【答案】（I）

取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

……………1

∵AC=BC,

∴CD⊥AB.

……………2

∵PD∩CD=D,

∴AB⊥平面PCD.

……………3

∵PC∩平面PCD.

∴PC⊥AB.

……………4

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥BC.

∴PC⊥BC.

又∠ACB=90°,即AC⊥BC.

且AC∩PC＝C,

∴BC⊥平面PAC.

取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.

∵AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影.

∴CE⊥AP.

∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角

……………6

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，

sin∠EBC==

……………8

(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，

∴平面APB⊥平面PCD.

過C作CH⊥PD，垂足為H.

∵平面APB∩平面PCD＝PD，

∴CH⊥平面APB.

∴CH的長即為點(diǎn)C到平面APB的距離，

……………10

由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，

且AB∩AC＝A.

∴PC⊥平面ABC.

CD平面ABC.

∴PC⊥CD.

在Rt△PCD中，CD＝

∴PC＝

∴CH=

∴點(diǎn)C到平面APB的距離為

【解析】略

19.如圖，在中，為邊上的高，，沿將翻折，使得得幾何體

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值。

【答案】因?yàn)?，所以平面?/p>

又因?yàn)槠矫嫠?/p>

①………1分

在中，，由余弦定理，

得

因?yàn)椋?，即。?/p>

………3分

由①，②及，可得平面

………4分

（2）在中，過作于，則，所以平面

在中，過作于，連，則平面，

所以為二面角的平面角

………6分

在中，求得，

在中，求得，

所以所以。

因此，所求二面角的余弦值為。

【解析】略

20.如圖四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是底面正方形的中心，。

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角。

【答案】（Ⅰ）證明：

；

3分

（Ⅱ）解：

所以是與面所成角。

3分

在中，所以，

又，所以EO與平面所成的角為。

【解析】略

21.已知四棱錐的底面為直角梯形，，,底面，且，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.

【答案】

【解析】略

22.直三棱柱中，若ab

c

A．a(chǎn)+b-cB．a(chǎn)–b+cC．-a+b+c．D．-a+b-c【答案】D

【解析】要表示向量

，只需要用給出的基底

表示出來即可，要充分利用圖形的直觀性，熟練利用向量加法的三角形法則進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：=

=-

故選D．

23.若向量=(1，x，2)，=(2，1，2)，且，則x=_____▲_____．

【答案】

-26

【解析】本題考查向量的垂直的判斷

若向量，則

設(shè)，則

由且得

則

24.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C交于點(diǎn)O，向量，則=

▲

．（試用表示）

【答案】

【解析】利用向量的運(yùn)算法則

,所以

25.已知、、，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的值為（

）A．B．1C．10D．11【答案】D

【解析】略

26.已知、，則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】略

27.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選B.

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)的對(duì)稱性.

28.（本小題滿分13分）已知是邊長為1的正方體，求：

（Ⅰ）直線與平面所成角的正切值；

（Ⅱ）二面角的大?。?/p>

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）60°

【解析】（Ⅰ）先根據(jù)其為正方體得到∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；

（Ⅱ）先過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；根據(jù)AB⊥平面B1C1CB推得B1E?AC1；進(jìn)而得到∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角；然后通過求三角形的邊長得到二面角B﹣AC1﹣B1的大小即可．

試題解析：（Ⅰ）連接AB1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體

∴B1C1⊥平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影

∴∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角

在RT△C1AB1中，tan∠C1AB1=

∴直線AC1與平面AA1B1B所成的角的正切值為.

（Ⅱ）過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；

∵AB⊥平面B1C1CB，?AB⊥B1E?B1E?平面ABC1?B1E?AC1

∴∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角

在RT△BB1C1中，B1E=C1E=BC1=，

在RT△ABC1中，sin∠BC1A=

∴EF=C1E?sin∠BC1A=，

∴tan∠B1FE=

∴∠B1FE=60°，即二面角B﹣