專題11 三角函數(shù)三角恒等變換函數(shù)y＝Asinωx＋φ三角函數(shù)的應(yīng)用（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 9個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）

清單11三角函數(shù)（三角恒等變換函數(shù)三角函數(shù)的應(yīng)用)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】?jī)山呛团c差的余弦公式兩角和與差的余弦公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單02】?jī)山呛团c差的正弦公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單03】?jī)山呛团c差的正切公式兩角和與差的正切公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,，，，.③變形結(jié)論：【清單04】二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【清單05】半角公式①②③【清單06】輔助角公式：(其中)【清單07】五點(diǎn)法作圖必備方法：五點(diǎn)法步驟③①②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個(gè)整體，用五點(diǎn)法作圖列表時(shí)，分別令等于，，，，，對(duì)應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號(hào)①②兩行）第二步：逆向解出（如上表中，序號(hào)③行。）第三步：得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：，,,,【清單08】根據(jù)圖象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.2、求法：通過觀察圖象，計(jì)算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一關(guān)鍵點(diǎn)法：通過觀察圖象找出第一關(guān)鍵點(diǎn)，將第一關(guān)鍵點(diǎn)代入求解.（第一關(guān)鍵點(diǎn)判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點(diǎn),且該點(diǎn)離軸最近）②最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.③特殊點(diǎn)法：當(dāng)圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點(diǎn)代入解析式求解，但用此法求解，若有多個(gè)答案注意根據(jù)條件取舍答案.【考點(diǎn)題型一】給定角或者三角函數(shù)值，求三角函數(shù)值核心方法：拼湊角，二倍角公式【例1】（廣西“貴百河——武鳴高中”2025屆高三上學(xué)期11月摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、二倍角的正切公式【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系分別求，，再根據(jù)角度之間的和差倍關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以.故選：C.【變式1-1】（24-25高三上·遼寧·期中）已知，則（

）A． B．C．或 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式五、六、二倍角的正切公式【分析】根據(jù)已知條件求得，以及，再利用倍角公式求得，再求結(jié)果即可.【詳解】由，可得，所以，所以，即，所以或.故選：C.【變式1-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式二、三、四、二倍角的余弦公式【分析】先由配湊法和誘導(dǎo)公式二得到，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】，故選：C．【考點(diǎn)題型二】給定三角函數(shù)值，求角【例2-1】（24-25高三上·山東·期中）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、已知兩角的正、余弦，求和、差角的余弦、給值求角型問題【分析】先根據(jù)已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負(fù)，再利用兩角和的余弦公式求出的值，最后根據(jù)的范圍確定其具體值.【詳解】因，所以.又，所以.根據(jù)，得，同時(shí)也能確定.因?yàn)?，，，所?.將轉(zhuǎn)化為.所以因?yàn)?，，所?在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)，.故選：C.【例2-2】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知、為銳角，，．(1)求的值；(2)求的大?。敬鸢浮?1)(2)．【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正切公式【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出，再利用二倍角的正切公式求.（2）利用（1）的結(jié)論，先求的值，再結(jié)合的取值范圍，可求的大小.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以；因?yàn)?，且，所以，所以，所以．【變?-1】（24-25高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、解正弦不等式、給值求角型問題【分析】方法一：由條件結(jié)合同角關(guān)系求，由二倍角公式求，再利用兩角差正弦公式可求，由此可求結(jié)論.方法二：由條件可得，由此確定范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可得，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以，又，所以，又，所以，所以，故，因?yàn)椋?，所以，則．解法二：因?yàn)?，所以，，∵，所以，，，所以，所以，所以，故選：C.【變式2-2】（23-24高一下·四川涼山·期末）已知，，其中，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、誘導(dǎo)公式五、六、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】利用兩角差的余弦可求的值，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案為：【考點(diǎn)題型三】逆用兩角和差公式【例3】（23-24高一下·廣東佛山·期中）利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)0(3)【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、逆用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）根據(jù)正弦兩角差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)余弦兩角和公式運(yùn)算求解；（3）根據(jù)正切兩角和公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.【變式3-1】（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：A.【變式3-2】（24-25高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】根據(jù)給定條件，逆用差角的正弦公式計(jì)算即得.【詳解】.故選：A【考點(diǎn)題型四】三角函數(shù)圖象平移，伸縮變換【例4】（多選）（24-25高三上·陜西咸陽·期中）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平移個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，縱坐標(biāo)不變B．向右平移個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位D．橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋瑸榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，或橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位，故選：AC.【變式4-1】（2024高二下·河北）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式五、六、求圖象變化前（后）的解析式【分析】由函數(shù)圖象的平移方法和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果.【詳解】由題意，得.故選：A.【變式4-2】（2024·云南楚雄·一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、求圖象變化前（后）的解析式、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)【分析】由正弦函數(shù)的平移法則以及周期性可得，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可得，∴，，解得，，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為5．故選：D.【考點(diǎn)題型五】看圖求解析式【例5】（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析，并求出在上的值域；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得曲線關(guān)于軸對(duì)稱.求的最小值.【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）代入兩點(diǎn)，建立方程，根據(jù)解出參數(shù)的值，即可得解解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域；（2）根據(jù)題意得到平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，得到，根據(jù)及取對(duì)應(yīng)的值，即可得解.【詳解】（1）由，得，又點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是上升的，則，由，點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得，聯(lián)立解得，，而，于是，，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上的值域?yàn)?（2）令將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所以，由題意的圖象曲線關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.【變式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.【答案】(1)(2)（i）；1；（ii）.【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）由圖可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再將代入可求出，從而可求出的解析式；（2）（i）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，進(jìn)而可求；（ii）由求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其值域.【詳解】（1）由圖可知，，，所以，.將點(diǎn)代入得，.又，所以，所以.（2）（i）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，所以，所以；（ii）因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域?yàn)?【變式5-2】（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)若將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，得到函數(shù)，求在的值域．【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】求cosx(型)函數(shù)的值域、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出的解析式.（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域.【詳解】（1）觀察圖象知，函數(shù)的最小正周期，則，由，得，而，則，所以的解析式是.（2）由（1）知，，則，當(dāng)，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以在的值域?yàn)?【考點(diǎn)題型六】三角函數(shù)中的恒（能）成立問題（核心考點(diǎn)）【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)減區(qū)間；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象.若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式可得，最后利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞減區(qū)間即可.（2）根據(jù)函數(shù)平移及伸縮求出的解析式，求解即可.【詳解】（1）.由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，即，當(dāng)時(shí)，，則，則，對(duì)任意的、，，則，故實(shí)數(shù)的最小值為.【例6-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)設(shè)，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，對(duì)稱中心為(2)【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、輔助角公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)及圖象性質(zhì)易得結(jié)果；（2）將題干不等式轉(zhuǎn)化為，分別求出和的相應(yīng)最值，可得參數(shù)的范圍.【詳解】（1），因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，?所以，令，解得.所以的對(duì)稱中心為.（2）因?yàn)閷?duì)任意的都有，所以.因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，得函數(shù).則；當(dāng)時(shí)，，則，所以，即即解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式6-1】.（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期，并解不等式；(2)先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，縱坐標(biāo)不變；再向左平移個(gè)單位；最后向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象．若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解正弦不等式、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，即可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合整體法即可求解，（3）利用函數(shù)圖象的平移和伸縮變換可得，即可根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解最值求解.【詳解】（1）由可得，令，則，故，解得，故不等式的解為；（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，縱坐標(biāo)不變；可得，再向左平移個(gè)單位，可得；最后向下平移個(gè)單位得到函數(shù)，當(dāng)，由于在單調(diào)遞增，故，所以，由于，故，即.【變式6-2】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；(2)將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象向下平移1個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，并設(shè).若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(2)【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）通過三角恒等變換化簡(jiǎn)，進(jìn)一步由周期公式以及整體代入法可得對(duì)稱中心；（2）通過化簡(jiǎn)得到，分離參數(shù)可得，進(jìn)一步由換元法即可求解.【詳解】（1），

則的最小正周期為：，

，，所以的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為：；（2）由題意可知，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到，

再向下平移1個(gè)單位得到，

再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?/p>

即，，，

可得，

令，在上單調(diào)遞減，所以，

在上有解，需，，的取值為.【考點(diǎn)題型七】三角函數(shù)中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（核心考點(diǎn)）【例7】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?，，(1)若，求函數(shù)，的值域；(2)已知，且函數(shù)的最小正周期為，若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得，根據(jù)整體角范圍結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求值域可得；（2）由周期得的值，進(jìn)而得函數(shù)，結(jié)合整體角范圍將復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合函數(shù)圖象得不等式求解參數(shù)范圍.【詳解】（1）若，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)，取最大值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)，取最小值，所以，函數(shù)，的值域?yàn)?；?）由，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，即，則.令，，則.于是函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像可得，解得.所以，的取值范圍為.

【變式7-1】（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，（?。┣螃盏淖钚≈?；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為：；(2)（?。?；（ⅱ）；【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由三角恒等變換得，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）（?。┯深}意可得，由，可得，求解即可；（ⅱ）將（ⅰ）中值代入，求出函數(shù)在上的值域，即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以；由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）解：（?。┯深}意可得，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；（ⅱ）令，則，即的圖象與直線在上有交點(diǎn).又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，即，所?【變式7-2】（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為．(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時(shí)，求方程的所有根的和．【答案】(1)答案見解析(2)或【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)對(duì)稱性的其他應(yīng)用、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合函數(shù)值域與對(duì)稱性以及二次方程解的情況可得解.【詳解】（1），由為奇函數(shù)，則，即，，又，所以，又圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，即，，解得，則，或，當(dāng)時(shí)，令，，解得，，即單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，令，，解得，，即單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）設(shè)，則方程可轉(zhuǎn)化為，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，由，則，，若，則，或或，即方程的解有，，；若，則，則此時(shí)滿足，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，由，則，，若，則，或，即方程的解有，；若，由（1）得此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，又，且，，所以在和分別各有一解，在上無解，且滿足與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則，此時(shí).【考點(diǎn)題型八】三角函數(shù)中的零點(diǎn)代數(shù)和問題（核心考點(diǎn)）【例8】（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，，(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）先把函數(shù)化成的形式，再求函數(shù)的周期與單調(diào)增區(qū)間.（2）問題轉(zhuǎn)化成在一定范圍內(nèi)有兩解，利用數(shù)形結(jié)合的方法，求的取值范圍.【詳解】（1），，所以，即的最小正周期為.由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）由.根據(jù)，的圖象：由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【變式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為π．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和．【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、求圖象變化前（后）的解析式、求零點(diǎn)的和【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)得，再利用給定性質(zhì)求出.（2）由三角函數(shù)圖象變換得，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程求出零點(diǎn)即可..【詳解】（1）依題意，函數(shù)，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，又，則，由函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，得的周期，解得，所以函數(shù)的解析式是.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)，由方程，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，則或或或，即原方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，因此，解得，所以原方程所有根之和為.【變式8-2】（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和.【答案】(1)，單調(diào)減區(qū)間為(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可求得解析式，根據(jù)整體代換可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由三角函數(shù)平移規(guī)則可知，再根據(jù)三角函數(shù)值域以及一元二次方程的根即可求解.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以可得，又，解得，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，可得周期，由可得.故函數(shù).令，可得單調(diào)減區(qū)間為（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)由方程得或，即或（舍）；當(dāng)時(shí)，，所以或或或;即方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為；可得.所以，故所有根之和為.【考點(diǎn)題型九】三角函數(shù)中新定義題【例9】（24-25高二上·海南?？凇るA段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋渲谐?shù).若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和是否具有性質(zhì)?(2)若，函數(shù)具有性質(zhì)，且當(dāng)時(shí)，，求不等式的解集.(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，，且的圖象是軸對(duì)稱圖形.若在上有最大值，且存在，使得，求證：.【答案】(1)，具有性質(zhì)，不具有性質(zhì).(2)(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】解正弦不等式、函數(shù)新定義【分析】（1）由函數(shù)具有性質(zhì)判斷即可；（2）若，函數(shù)具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，可確定的值，再利用性質(zhì)求出在上的解析式，按分段函數(shù)解不等式即可；（3）根據(jù)函數(shù)具有性質(zhì)，且函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形，在區(qū)間上有最大值，分別討論，時(shí)，函數(shù)的最值情況，得出矛盾，即可證明.【詳解】（1），具有性質(zhì).因?yàn)?，所以；不具有性質(zhì).（2）若，函數(shù)具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，對(duì)任意，使得，又當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，故當(dāng)時(shí)，不等式為，無解，當(dāng)時(shí)，不等式為，又，故不等式解為，即解集為.（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得，都有，所以，所以函數(shù)的圖像端點(diǎn)為和，由的圖像是軸對(duì)稱圖形，得其對(duì)稱軸為直線，①若，因?yàn)闀r(shí)，，所以對(duì)任意，有，由基本不等式得，有，所以對(duì)任意，有，根據(jù)圖像的對(duì)稱性，得對(duì)任意，有，這樣與存在矛盾.②若，由，得，又，由圖像的對(duì)稱性知，，且，所以，這與在上有最大值矛盾.綜上：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是函數(shù)新定義問題，需要注意的是定義域與區(qū)間上函數(shù)所具有的性質(zhì)，可以利用端點(diǎn)處函數(shù)值所具有的性質(zhì)求解參數(shù)，與對(duì)稱性和最值結(jié)合時(shí)，可以利用反證法，證明與矛盾，從而得證結(jié)論.【變式9-1】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在非零常?shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱是類周期為的“類周期函數(shù)”.(1)若函數(shù)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：是周期函數(shù)；(2)已知是“類周期函數(shù)”，求的值及的類周期；(3)若奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，且，求的值，并給出符合條件的一個(gè).【答案】(1)證明見解析(2)的類周期為2(3)，【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）利用“類周期函數(shù)”的定義，即可證明；（2）利用已知條件是“類周期函數(shù)”以及奇函數(shù)的性質(zhì)，即可證明；（3）利用已知條件，求出的關(guān)系，進(jìn)而求出T的值，進(jìn)行作答.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭穷愔芷跒?的“類周期函數(shù)”，所以，①用代換得，②①+②得，所以，所以，所以是周期為6的周期函數(shù).（2）因?yàn)槭恰邦愔芷诤瘮?shù)”，所以存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，即，整理得，所以所以，所以的類周期為2.（3）因?yàn)槠婧瘮?shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，所以，且，取，得，所以，取，得，所以，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），所以，設(shè)，則，整理得，所以，取.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題重點(diǎn)在于把握理解新定義“類周期函數(shù)”，并結(jié)合周期函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)解題.【變式9-2】（23-24高一下·山東青島·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”(1)判斷，是否為，的“4重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；(2)若，是，的“3重覆蓋函數(shù)”，求的范圍；(3)若，，是，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式、函數(shù)新定義【分析】（1）利用給定定義判斷即可.（2）利用給定定義建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.（3）利用給定定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可.【詳解】（1），，，，故的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，不是的“4重覆蓋函數(shù)”，（2），，的圖像如下：是的“3重覆蓋函數(shù)”，，在成立，，（3），，令，為的“9重覆蓋函數(shù)”，即有9個(gè)實(shí)數(shù)根，即有9個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)榕c的圖像如下，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，要滿足題意，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，然后轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，再轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題建立不等式組，得到所要求的參數(shù)范圍即可．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式【分析】由兩角和正切公式展開先求出，再利用“1”的代換與二倍角正弦公式將式子轉(zhuǎn)化為“齊次比”形式，化弦為切代入求解可得.【詳解】由，得，解得，所以.

故選：B.2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、輔助角公式、誘導(dǎo)公式二、三、四【分析】由輔助角公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式可得答案.【詳解】由輔助角公式，.因，則.故選：B3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式【分析】根據(jù)和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解.【詳解】根據(jù)題意可得，，則，，.故選：D4．（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）定義行列式，若函數(shù)，則下列表述正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．是最小正周期為的奇函數(shù)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、函數(shù)新定義、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)性、最值的關(guān)系【分析】由行列式運(yùn)算的定義，結(jié)合三角恒等變換，求出解析式，AB選項(xiàng)關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，代入檢驗(yàn)即可判斷；整體代入驗(yàn)證單調(diào)性判斷選項(xiàng)C；公式法求最小正周期，檢驗(yàn)函數(shù)奇偶性判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題中所給定義可知，，，點(diǎn)不是圖象的對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；，直線不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，是余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；的最小正周期，但，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C5．（24-25高三上·福建·期中）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、利用cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，即可根據(jù)對(duì)稱得求解.【詳解】由題意可得，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，故,解得，取，為最小值，故選：A6．（24-25高三上·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．15【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】首先根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)求出的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定的范圍，從而得出的最小值.【詳解】因直線是一條對(duì)稱軸，所以，.整理可得：，即，.由，得.則函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以.解得.因?yàn)?，且，所以的最小值?1.故選：C.7．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到；D．方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式【分析】代入驗(yàn)證可判斷AB；根據(jù)平移變換判斷C；直接解方程可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，或，即，或，又，則，或，因此可得方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D正確．故選：D.8．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心【分析】利用輔助角公式及函數(shù)圖象先化簡(jiǎn)計(jì)算得出函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】，由圖可知，，可得，，，，故正確；，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故正確；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，，故錯(cuò)誤；，x∈0,π當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，即，可得，故正確.故選：.二、多選題9．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】A項(xiàng)由最值點(diǎn)代入解析式待定系數(shù)，結(jié)合解析式由利用整體取代方法求對(duì)稱中心可得B項(xiàng)；C項(xiàng)由平移得化簡(jiǎn)得，利用整體取代方法求對(duì)稱軸即可；D項(xiàng)，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，結(jié)合圖象可知單調(diào)性.【詳解】A項(xiàng)，由得，，解得，，又，所以.故A正確；B項(xiàng)，因?yàn)?，由，，得函?shù)的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，得對(duì)稱中心為，故B正確；C項(xiàng)，.故其對(duì)稱軸為，，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為πB．直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸C．若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D．將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再將所得的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心【分析】利用二倍角公式和輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求最小正周期可判斷A，代入檢驗(yàn)法可判斷B，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；又由，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，恒成立，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確；由題意得函數(shù)，因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（24-25高三上·上海·期中）如圖為函數(shù)的部分圖象，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式【分析】由圖象過點(diǎn)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】因圖象過點(diǎn)，則，結(jié)合，可得或，又圖象過此點(diǎn)時(shí)單調(diào)遞增，則.因圖象過點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，其中.結(jié)合.又由圖可得函數(shù)的最小正周期大于，則，結(jié)合，可得，則.故答案為：12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)的圖象，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，在同一坐標(biāo)系作出以及的圖象即可求解.【詳解】由題意將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再將該圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，即，作出以及的圖象，如圖：由圖象可知y=fx的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故答案為：3四、解答題13．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，(1)若將圖象向左平移個(gè)單位，再將平移后圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，求在上的值域.(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、給值求值型問題、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的圖象變換求出，進(jìn)而求出指定區(qū)間上的值域.（2）由（1）求出，再由結(jié)合和角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）依題意，，將圖象向左平移個(gè)單位，得，于是，當(dāng)時(shí)，，，則，所以在上的值域?yàn)?（2）由（1）知，由，得，由，得，則，.14．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為：；(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）由，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；（2）由題意可知將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)，當(dāng)，所以，令，則條件可化為在時(shí)有解，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知，則，解之得.15．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個(gè)條件作為已知.條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：函數(shù)的最大值為；條件③：函數(shù)的最小正周期為.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、輔助角公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，選擇①③：由周期得出，由得出，進(jìn)而求出的解析式；選擇②③：由周期得出，由的最大值為得出，進(jìn)而求出的解析式；選擇①②：由得，又因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為