專題11 三角函數(shù)三角恒等變換函數(shù)y＝Asinωx＋φ三角函數(shù)的應用（考點清單+知識導圖+ 9個考點清單-題型解讀）（解析版）

清單11三角函數(shù)（三角恒等變換函數(shù)三角函數(shù)的應用)（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式（1）（2）①簡記符號:,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單02】兩角和與差的正弦公式（1）（2）①簡記符號:,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單03】兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式（1）（2）①簡記符號:,.②適用條件:公式中的角,，，，.③變形結論：【清單04】二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【清單05】半角公式①②③【清單06】輔助角公式：(其中)【清單07】五點法作圖必備方法：五點法步驟③①②對于復合函數(shù)，第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。）第三步：得到五個關鍵點為：，,,,【清單08】根據圖象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.2、求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一關鍵點法：通過觀察圖象找出第一關鍵點，將第一關鍵點代入求解.（第一關鍵點判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點,且該點離軸最近）②最值代入法：通過觀察圖象的最高點（或者最低點）代入解析式求解.③特殊點法：當圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點代入解析式求解，但用此法求解，若有多個答案注意根據條件取舍答案.【考點題型一】給定角或者三角函數(shù)值，求三角函數(shù)值核心方法：拼湊角，二倍角公式【例1】（廣西“貴百河——武鳴高中”2025屆高三上學期11月摸底考試數(shù)學試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關系、三角函數(shù)的化簡、求值——誘導公式、二倍角的正切公式【分析】根據同角三角函數(shù)的平方關系與商數(shù)關系分別求，，再根據角度之間的和差倍關系，利用誘導公式與二倍角公式求解即可.【詳解】因為，所以，則，所以，所以.故選：C.【變式1-1】（24-25高三上·遼寧·期中）已知，則（

）A． B．C．或 D．【答案】C【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式五、六、二倍角的正切公式【分析】根據已知條件求得，以及，再利用倍角公式求得，再求結果即可.【詳解】由，可得，所以，所以，即，所以或.故選：C.【變式1-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關系、誘導公式二、三、四、二倍角的余弦公式【分析】先由配湊法和誘導公式二得到，再由同角的三角函數(shù)關系和二倍角的余弦公式計算可得；【詳解】，故選：C．【考點題型二】給定三角函數(shù)值，求角【例2-1】（24-25高三上·山東·期中）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、已知兩角的正、余弦，求和、差角的余弦、給值求角型問題【分析】先根據已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負，再利用兩角和的余弦公式求出的值，最后根據的范圍確定其具體值.【詳解】因，所以.又，所以.根據，得，同時也能確定.因為，，，所以..將轉化為.所以因為，，所以.在這個區(qū)間內，時，.故選：C.【例2-2】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知、為銳角，，．(1)求的值；(2)求的大?。敬鸢浮?1)(2)．【知識點】特殊角的三角函數(shù)值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化簡、求值、二倍角的正切公式【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的基本關系，求出，再利用二倍角的正切公式求.（2）利用（1）的結論，先求的值，再結合的取值范圍，可求的大小.【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以．（2）因為，所以，所以，因為，且，所以；因為，且，所以，所以，所以．【變式2-1】（24-25高三上·湖北荊州·階段練習）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、解正弦不等式、給值求角型問題【分析】方法一：由條件結合同角關系求，由二倍角公式求，再利用兩角差正弦公式可求，由此可求結論.方法二：由條件可得，由此確定范圍，結合正弦函數(shù)單調性可得，由此可得結論.【詳解】因為，，所以，所以，，所以，又，所以，又，所以，所以，故，因為，，所以，則．解法二：因為，所以，，∵，所以，，，所以，所以，所以，故選：C.【變式2-2】（23-24高一下·四川涼山·期末）已知，，其中，則.【答案】【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、誘導公式五、六、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】利用兩角差的余弦可求的值，故可求的值.【詳解】因為，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案為：【考點題型三】逆用兩角和差公式【例3】（23-24高一下·廣東佛山·期中）利用和（差）角公式計算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)0(3)【知識點】逆用和、差角的余弦公式化簡、求值、逆用和、差角的正弦公式化簡、求值、逆用和、差角的正切公式化簡、求值【分析】（1）根據正弦兩角差公式運算求解；（2）根據余弦兩角和公式運算求解；（3）根據正切兩角和公式運算求解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.【變式3-1】（24-25高二上·江西南昌·階段練習）（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】誘導公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化簡、求值【分析】根據誘導公式結合兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：A.【變式3-2】（24-25高一下·全國·隨堂練習）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】逆用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】根據給定條件，逆用差角的正弦公式計算即得.【詳解】.故選：A【考點題型四】三角函數(shù)圖象平移，伸縮變換【例4】（多選）（24-25高三上·陜西咸陽·期中）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向右平移個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的倍，縱坐標不變B．向右平移個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變C．橫坐標擴大到原來的倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位D．橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位【答案】AC【知識點】描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程【分析】根據三角函數(shù)的圖象變換可得出結論.【詳解】因為，為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的倍，縱坐標不變，或橫坐標擴大到原來的倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位，故選：AC.【變式4-1】（2024高二下·河北）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】誘導公式五、六、求圖象變化前（后）的解析式【分析】由函數(shù)圖象的平移方法和誘導公式化簡得到結果.【詳解】由題意，得.故選：A.【變式4-2】（2024·云南楚雄·一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【知識點】相位變換及解析式特征、求圖象變化前（后）的解析式、結合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質【分析】由正弦函數(shù)的平移法則以及周期性可得，結合即可求解.【詳解】由題意可得，∴，，解得，，又，∴當時，取得最小值為5．故選：D.【考點題型五】看圖求解析式【例5】（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析，并求出在上的值域；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得曲線關于軸對稱.求的最小值.【答案】(1)，(2)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）代入兩點，建立方程，根據解出參數(shù)的值，即可得解解析式，再根據函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域；（2）根據題意得到平移后的函數(shù)解析式，結合函數(shù)的對稱性，得到，根據及取對應的值，即可得解.【詳解】（1）由，得，又點及附近點從左到右是上升的，則，由，點及附近點從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得，聯(lián)立解得，，而，于是，，當時，，所以，即在上的值域為.（2）令將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象所以，由題意的圖象曲線關于軸對稱，即為偶函數(shù)，所以，解得，因為，所以當時，取得最小值.【變式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)若將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.【答案】(1)(2)（i）；1；（ii）.【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）由圖可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再將代入可求出，從而可求出的解析式；（2）（i）根據三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，進而可求；（ii）由求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質可求出其值域.【詳解】（1）由圖可知，，，所以，.將點代入得，.又，所以，所以.（2）（i）將的圖象向左平移個單位長度，得，再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得，所以，所以；（ii）因為，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域為.【變式5-2】（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)若將圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的倍，得到函數(shù)，求在的值域．【答案】(1)；(2).【知識點】求cosx(型)函數(shù)的值域、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）根據給定的函數(shù)圖象，結合“五點法”作圖求出的解析式.（2）由（1）的結論，求出函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質求出值域.【詳解】（1）觀察圖象知，函數(shù)的最小正周期，則，由，得，而，則，所以的解析式是.（2）由（1）知，，則，當，則，而函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因此當，即時，；當，即時，，所以在的值域為.【考點題型六】三角函數(shù)中的恒（能）成立問題（核心考點）【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)求的單調減區(qū)間；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=gx的圖象.若對任意，，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】（1）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式可得，最后利用復合函數(shù)單調性求出單調遞減區(qū)間即可.（2）根據函數(shù)平移及伸縮求出的解析式，求解即可.【詳解】（1）.由，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，即，當時，，則，則，對任意的、，，則，故實數(shù)的最小值為.【例6-2】（24-25高三上·安徽·階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的對稱中心；(2)設，若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，對稱中心為(2)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、輔助角公式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）由三角函數(shù)的公式化簡及圖象性質易得結果；（2）將題干不等式轉化為，分別求出和的相應最值，可得參數(shù)的范圍.【詳解】（1），因為的最小正周期為，所以，故.所以，令，解得.所以的對稱中心為.（2）因為對任意的都有，所以.因為，令，當時，，得函數(shù).則；當時，，則，所以，即即解得，故實數(shù)的取值范圍是.【變式6-1】.（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）設函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期，并解不等式；(2)先將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；再向左平移個單位；最后向下平移個單位得到函數(shù)的圖象．若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【知識點】解正弦不等式、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用三角恒等變換化簡可得，即可利用正弦函數(shù)的性質，結合整體法即可求解，（3）利用函數(shù)圖象的平移和伸縮變換可得，即可根據三角函數(shù)的單調性求解最值求解.【詳解】（1）由可得，令，則，故，解得，故不等式的解為；（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；可得，再向左平移個單位，可得；最后向下平移個單位得到函數(shù)，當，由于在單調遞增，故，所以，由于，故，即.【變式6-2】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；(2)將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將圖象向下平移1個單位，再將圖象上每一點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，并設.若在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，對稱中心的坐標為(2)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）通過三角恒等變換化簡，進一步由周期公式以及整體代入法可得對稱中心；（2）通過化簡得到，分離參數(shù)可得，進一步由換元法即可求解.【詳解】（1），

則的最小正周期為：，

，，所以的對稱中心的坐標為：；（2）由題意可知，將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到，

再向下平移1個單位得到，

再將圖象上每一點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?/p>

即，，，

可得，

令，在上單調遞減，所以，

在上有解，需，，的取值為.【考點題型七】三角函數(shù)中的零點個數(shù)問題（核心考點）【例7】（24-25高三上·上海·期中）已知，，(1)若，求函數(shù)，的值域；(2)已知，且函數(shù)的最小正周期為，若函數(shù)在上恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識點】根據函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式得，根據整體角范圍結合正弦函數(shù)性質求值域可得；（2）由周期得的值，進而得函數(shù)，結合整體角范圍將復合函數(shù)零點個數(shù)轉化為正弦函數(shù)的零點個數(shù)，再結合函數(shù)圖象得不等式求解參數(shù)范圍.【詳解】（1）若，則，因為，所以，所以當，即時，函數(shù)，取最大值；當，即時，函數(shù)，取最小值，所以，函數(shù)，的值域為；（2）由，因為最小正周期為，所以，即，則.令，，則.于是函數(shù)在上恰有3個零點，等價于函數(shù)在上恰有3個零點，作出函數(shù)的圖像可得，解得.所以，的取值范圍為.

【變式7-1】（24-25高三上·北京順義·階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)向左平移個單位后，所得函數(shù)的圖象關于對稱，（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的取值范圍．【答案】(1)，單調遞增區(qū)間為：；(2)（?。?；（ⅱ）；【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】（1）由三角恒等變換得，根據三角函數(shù)的周期公式及正弦函數(shù)的性質求解即可；（2）（ⅰ）由題意可得，由，可得，求解即可；（ⅱ）將（?。┲兄荡耄蟪龊瘮?shù)在上的值域，即可得答案.【詳解】（1）解：因為，所以；由，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為：；（2）解：（?。┯深}意可得，又因為的圖象關于對稱，所以，解得，又因為，所以當時，；（ⅱ）令，則，即的圖象與直線在上有交點.又因為，所以，因為，所以，所以，，即，所以.【變式7-2】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖像的相鄰兩條對稱軸間的距離為．(1)求的解析式與單調遞減區(qū)間；(2)已知在時，求方程的所有根的和．【答案】(1)答案見解析(2)或【知識點】正弦函數(shù)對稱性的其他應用、由正（余）弦函數(shù)的性質確定圖象（解析式）、三角恒等變換的化簡問題、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】（1）根據二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，再結合函數(shù)的奇偶性與對稱性可得函數(shù)解析式，進而可得函數(shù)單調區(qū)間；（2）結合函數(shù)值域與對稱性以及二次方程解的情況可得解.【詳解】（1），由為奇函數(shù)，則，即，，又，所以，又圖像的相鄰兩條對稱軸間的距離為，即，，解得，則，或，當時，令，，解得，，即單調遞減區(qū)間為，；當時，令，，解得，，即單調遞減區(qū)間為，；（2）設，則方程可轉化為，解得或，當時，函數(shù)圖像如圖所示，由，則，，若，則，或或，即方程的解有，，；若，則，則此時滿足，即，此時當時，函數(shù)圖像如圖所示，由，則，，若，則，或，即方程的解有，；若，由（1）得此時函數(shù)在上單調遞減，即當時函數(shù)單調遞減，當時函數(shù)單調遞增，當時函數(shù)單調遞減，又，且，，所以在和分別各有一解，在上無解，且滿足與關于對稱軸對稱，則，此時.【考點題型八】三角函數(shù)中的零點代數(shù)和問題（核心考點）【例8】（24-25高三上·廣東佛山·階段練習）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，，(2)【知識點】正弦函數(shù)圖象的應用、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、三角恒等變換的化簡問題、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】（1）先把函數(shù)化成的形式，再求函數(shù)的周期與單調增區(qū)間.（2）問題轉化成在一定范圍內有兩解，利用數(shù)形結合的方法，求的取值范圍.【詳解】（1），，所以，即的最小正周期為.由，，解得，，所以的單調遞增區(qū)間為，（2）由.根據，的圖象：由圖可知，當時，方程有兩個不同的實根.所以實數(shù)的取值范圍是：.【變式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，當時，求方程的所有根之和．【答案】(1)；(2).【知識點】由正（余）弦函數(shù)的性質確定圖象（解析式）、求圖象變化前（后）的解析式、求零點的和【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡得，再利用給定性質求出.（2）由三角函數(shù)圖象變換得，再利用正弦函數(shù)性質，結合一元二次方程求出零點即可..【詳解】（1）依題意，函數(shù)，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，又，則，由函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，得的周期，解得，所以函數(shù)的解析式是.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)，由方程，，解得，即，當時，，則或或或，即原方程有四個實數(shù)根，不妨設為，因此，解得，所以原方程所有根之和為.【變式8-2】（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式及單調減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，當時，求方程的所有根之和.【答案】(1)，單調減區(qū)間為(2)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡可得，再根據函數(shù)性質可求得解析式，根據整體代換可求出單調遞減區(qū)間；（2）由三角函數(shù)平移規(guī)則可知，再根據三角函數(shù)值域以及一元二次方程的根即可求解.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以可得，又，解得，因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，可得周期，由可得.故函數(shù).令，可得單調減區(qū)間為（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)由方程得或，即或（舍）；當時，，所以或或或;即方程有四個實數(shù)根，不妨設為；可得.所以，故所有根之和為.【考點題型九】三角函數(shù)中新定義題【例9】（24-25高二上·海南?？凇るA段練習）設函數(shù)的定義域為，其中常數(shù).若存在常數(shù)，使得對任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質.(1)當時，函數(shù)和是否具有性質?(2)若，函數(shù)具有性質，且當時，，求不等式的解集.(3)已知函數(shù)具有性質，，且的圖象是軸對稱圖形.若在上有最大值，且存在，使得，求證：.【答案】(1)，具有性質，不具有性質.(2)(3)證明見解析【知識點】解正弦不等式、函數(shù)新定義【分析】（1）由函數(shù)具有性質判斷即可；（2）若，函數(shù)具有性質，當時，，可確定的值，再利用性質求出在上的解析式，按分段函數(shù)解不等式即可；（3）根據函數(shù)具有性質，且函數(shù)圖像是軸對稱圖形，在區(qū)間上有最大值，分別討論，時，函數(shù)的最值情況，得出矛盾，即可證明.【詳解】（1），具有性質.因為，所以；不具有性質.（2）若，函數(shù)具有性質，則存在常數(shù)，對任意，使得，又當時，故當時，有，即，所以，所以當時，，，即時，故當時，不等式為，無解，當時，不等式為，又，故不等式解為，即解集為.（3）已知函數(shù)具有性質，則存在常數(shù)，使得，都有，所以，所以函數(shù)的圖像端點為和，由的圖像是軸對稱圖形，得其對稱軸為直線，①若，因為時，，所以對任意，有，由基本不等式得，有，所以對任意，有，根據圖像的對稱性，得對任意，有，這樣與存在矛盾.②若，由，得，又，由圖像的對稱性知，，且，所以，這與在上有最大值矛盾.綜上：.【點睛】思路點睛：本題是函數(shù)新定義問題，需要注意的是定義域與區(qū)間上函數(shù)所具有的性質，可以利用端點處函數(shù)值所具有的性質求解參數(shù)，與對稱性和最值結合時，可以利用反證法，證明與矛盾，從而得證結論.【變式9-1】（24-25高三上·湖南·開學考試）若函數(shù)的定義域為，且存在非零常數(shù)，使得對任意，都有，則稱是類周期為的“類周期函數(shù)”.(1)若函數(shù)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：是周期函數(shù)；(2)已知是“類周期函數(shù)”，求的值及的類周期；(3)若奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，且，求的值，并給出符合條件的一個.【答案】(1)證明見解析(2)的類周期為2(3)，【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)周期性的應用、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】（1）利用“類周期函數(shù)”的定義，即可證明；（2）利用已知條件是“類周期函數(shù)”以及奇函數(shù)的性質，即可證明；（3）利用已知條件，求出的關系，進而求出T的值，進行作答.【詳解】（1）證明：因為是類周期為1的“類周期函數(shù)”，所以，①用代換得，②①+②得，所以，所以，所以是周期為6的周期函數(shù).（2）因為是“類周期函數(shù)”，所以存在非零常數(shù)，使得對任意，都有，即，整理得，所以所以，所以的類周期為2.（3）因為奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，所以，且，取，得，所以，取，得，所以，因為，所以（負值舍去），所以，設，則，整理得，所以，取.【點睛】關鍵點點睛:此題重點在于把握理解新定義“類周期函數(shù)”，并結合周期函數(shù)、三角函數(shù)的性質解題.【變式9-2】（23-24高一下·山東青島·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意，恰好存在個不同的實數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”(1)判斷，是否為，的“4重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；(2)若，是，的“3重覆蓋函數(shù)”，求的范圍；(3)若，，是，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析(2)(3)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式、函數(shù)新定義【分析】（1）利用給定定義判斷即可.（2）利用給定定義建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.（3）利用給定定義轉化為函數(shù)交點問題，利用數(shù)形結合法求解即可.【詳解】（1），，，，故的值域為，當時，，此時，不是的“4重覆蓋函數(shù)”，（2），，的圖像如下：是的“3重覆蓋函數(shù)”，，在成立，，（3），，令，為的“9重覆蓋函數(shù)”，即有9個實數(shù)根，即有9個實數(shù)根，因為與的圖像如下，當時，，解得：，當時，，解得：，綜上，要滿足題意，所以，即.【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是合理利用給定定義，然后轉化為零點問題，再轉化為交點問題建立不等式組，得到所要求的參數(shù)范圍即可．提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】正、余弦齊次式的計算、用和、差角的正切公式化簡、求值、二倍角的正弦公式【分析】由兩角和正切公式展開先求出，再利用“1”的代換與二倍角正弦公式將式子轉化為“齊次比”形式，化弦為切代入求解可得.【詳解】由，得，解得，所以.

故選：B.2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】二倍角的余弦公式、輔助角公式、誘導公式二、三、四【分析】由輔助角公式，誘導公式，二倍角公式可得答案.【詳解】由輔助角公式，.因，則.故選：B3．（23-24高一下·內蒙古·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式【分析】根據和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解.【詳解】根據題意可得，，則，，.故選：D4．（24-25高二上·湖南長沙·期中）定義行列式，若函數(shù)，則下列表述正確的是（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．的圖象關于直線對稱C．在區(qū)間上單調遞增 D．是最小正周期為的奇函數(shù)【答案】C【知識點】三角恒等變換的化簡問題、函數(shù)新定義、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、cosx（型）函數(shù)的對稱軸與單調性、最值的關系【分析】由行列式運算的定義，結合三角恒等變換，求出解析式，AB選項關于函數(shù)圖象的對稱性，代入檢驗即可判斷；整體代入驗證單調性判斷選項C；公式法求最小正周期，檢驗函數(shù)奇偶性判斷選項D.【詳解】由題中所給定義可知，，，點不是圖象的對稱中心，故A錯誤；，直線不是圖象的對稱軸，故B錯誤；時，，是余弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，所以在區(qū)間上單調遞增，故C正確；的最小正周期，但，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：C5．（24-25高三上·福建·期中）將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關于點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求cosx（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、利用cosx（型）函數(shù)的對稱性求參數(shù)【分析】根據函數(shù)圖象的平移可得，即可根據對稱得求解.【詳解】由題意可得，由于的圖象關于點對稱，故，故,解得，取，為最小值，故選：A6．（24-25高三上·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．15【答案】C【知識點】利用正弦型函數(shù)的單調性求參數(shù)、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】首先根據對稱軸的性質求出的表達式，再根據函數(shù)的單調區(qū)間確定的范圍，從而得出的最小值.【詳解】因直線是一條對稱軸，所以，.整理可得：，即，.由，得.則函數(shù)在上單調遞增.因為函數(shù)在區(qū)間上不單調，所以.解得.因為，且，所以的最小值為11.故選：C.7．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于點中心對稱；B．函數(shù)的圖象關于直線對稱；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位得到；D．方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.【答案】D【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求圖象變化前（后）的解析式【分析】代入驗證可判斷AB；根據平移變換判斷C；直接解方程可判斷D.【詳解】對于A，當時，，所以的圖象關于直線對稱，即的圖象不關于點對稱，故A錯誤；對于B，當時，，所以的圖象關于點對稱，即函數(shù)的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C，的圖象向右平移個單位得到，故C錯誤；對于D，令，則，或，即，或，又，則，或，因此可得方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，故D正確．故選：D.8．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于點中心對稱B．函數(shù)的單調增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D．函數(shù)在0,π上有2個零點，則實數(shù)t的取值范圍為【答案】C【知識點】求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調性、根據函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】利用輔助角公式及函數(shù)圖象先化簡計算得出函數(shù)式，結合三角函數(shù)的圖象及性質逐一分析選項即可.【詳解】，由圖可知，，可得，，，，故正確；，解得，所以函數(shù)在單調遞增，故正確；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得，，故錯誤；，x∈0,π當時，，此時有兩個零點，即，可得，故正確.故選：.二、多選題9．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減【答案】ABD【知識點】求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調性【分析】A項由最值點代入解析式待定系數(shù)，結合解析式由利用整體取代方法求對稱中心可得B項；C項由平移得化簡得，利用整體取代方法求對稱軸即可；D項，由誘導公式化簡得，結合圖象可知單調性.【詳解】A項，由得，，解得，，又，所以.故A正確；B項，因為，由，，得函數(shù)的對稱中心為，，當時，得對稱中心為，故B正確；C項，.故其對稱軸為，，所以不是函數(shù)的對稱軸，故C錯誤；D項，，所以在上單調遞減，故D正確.故選：ABD.10．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為πB．直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸C．若時，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為D．將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的，再將所得的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若時，函數(shù)有且僅有5個零點，則實數(shù)t的取值范圍為．【答案】ACD【知識點】根據函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】利用二倍角公式和輔助角公式對進行化簡，再求最小正周期可判斷A，代入檢驗法可判斷B，利用三角函數(shù)的性質可判斷C，利用三角函數(shù)的圖象變換和性質可判斷D.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；又由，故B錯誤；當時，可得，當，即時，取得最小值，因為，恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故C正確；由題意得函數(shù)，因為，所以，又因為函數(shù)有且僅有5個零點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（24-25高三上·上海·期中）如圖為函數(shù)的部分圖象，則.【答案】【知識點】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式【分析】由圖象過點結合正弦函數(shù)性質可得答案.【詳解】因圖象過點，則，結合，可得或，又圖象過此點時單調遞增，則.因圖象過點，結合圖象，可得，其中.結合.又由圖可得函數(shù)的最小正周期大于，則，結合，可得，則.故答案為：12．（2024高三·全國·專題練習）把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可以得到函數(shù)的圖象，則的圖象與直線的交點個數(shù)為.【答案】3【知識點】求圖象變化前（后）的解析式、結合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質【分析】根據函數(shù)圖象的變換可得，在同一坐標系作出以及的圖象即可求解.【詳解】由題意將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再將該圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，作出以及的圖象，如圖：由圖象可知y=fx的圖象與直線的交點個數(shù)為3.故答案為：3四、解答題13．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習）設函數(shù)，(1)若將圖象向左平移個單位，再將平移后圖象上點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)，求在上的值域.(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、給值求值型問題、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡，再利用三角函數(shù)的圖象變換求出，進而求出指定區(qū)間上的值域.（2）由（1）求出，再由結合和角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）依題意，，將圖象向左平移個單位，得，于是，當時，，，則，所以在上的值域為.（2）由（1）知，由，得，由，得，則，.14．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.(1)求的值及的單調遞增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.【答案】(1)；單調遞增區(qū)間為：；(2)【知識點】根據函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求sinx型三角函數(shù)的單調性、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）先利用誘導公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據三角函數(shù)的圖象與性質計算即可；（2）根據三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結合二次函數(shù)的性質計算即可.【詳解】（1）由，因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；（2）由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度可得，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，當，所以，令，則條件可化為在時有解，易知在上單調遞減，在上單調遞增，易知，則，解之得.15．（24-25高三上·北京·階段練習）已知函數(shù).再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個條件作為已知.條件①：函數(shù)的圖象經過點；條件②：函數(shù)的最大值為；條件③：函數(shù)的最小正周期為.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【知識點】根據函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、由正（余）弦函數(shù)的性質確定圖象（解析式）、輔助角公式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，選擇①③：由周期得出，由得出，進而求出的解析式；選擇②③：由周期得出，由的最大值為得出，進而求出的解析式；選擇①②：由得，又因為函數(shù)的最大值為