《軟件無(wú)線電原理與技術(shù)》課件-第4章

4.1低通采樣

4.2帶通采樣或欠采樣

4.3過(guò)采樣

4.4正交采樣

4.5采樣率變換

4.6數(shù)字轉(zhuǎn)換器軟件無(wú)線電的實(shí)現(xiàn)是以數(shù)字技術(shù)為基礎(chǔ)的，因此數(shù)字轉(zhuǎn)換是非常重要的環(huán)節(jié)。軟件無(wú)線電中所采用的ADC/DAC是連接模擬部分和數(shù)字部分的橋梁，ADC/DAC的性能將直接影響系統(tǒng)的性能。其中的重點(diǎn)是模/數(shù)轉(zhuǎn)換，即A/D變換。A/D轉(zhuǎn)換分為兩步：首先實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化，這由對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)；隨后完成量化。

在軟件無(wú)線電中，對(duì)采樣技術(shù)的要求比通常數(shù)字無(wú)線電的要求高。首先軟件無(wú)線電的工作頻帶很寬，對(duì)ADC/DAC器件性能要求高；其次，軟件無(wú)線電有特殊的工作方式，比如可以同時(shí)多頻段、多模式收/發(fā)信號(hào)，這樣對(duì)采樣的具體實(shí)現(xiàn)方法也提出了要求。無(wú)論怎樣，軟件無(wú)線電要求能夠?qū)崿F(xiàn)在寬的頻帶范圍內(nèi)無(wú)縫隙、多頻段地采樣，這是實(shí)現(xiàn)軟件無(wú)線電功能的基礎(chǔ)。在采樣技術(shù)中，我們會(huì)遇到不同的采樣概念，如低通采樣、帶通采樣、多頻帶帶通采樣、正交采樣、過(guò)采樣、二階采樣、非均勻采樣等。無(wú)論如何，讀者需要把握的基本原則是，采樣后獲得的離散序列應(yīng)該能夠保證從中恢復(fù)原始的模擬信號(hào)，這是采樣實(shí)施時(shí)必須注意的。采樣過(guò)程所應(yīng)遵循的規(guī)律又稱采樣定理或抽樣定理。采樣定理說(shuō)明采樣速率與信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號(hào)離散化的基本依據(jù)。采樣定理是1928年由美國(guó)電信工程師H.奈奎斯特首先提出來(lái)的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年，蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述了這一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年，信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但其最基本的表述方式是時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。采樣定理在信息處理、數(shù)字通信等領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。采樣方式一般分為均勻采樣和非均勻采樣兩種。非均勻采樣指采樣點(diǎn)之間的間隔是非等間隔的，不論采樣信號(hào)頻率高低，非均勻采樣均可根據(jù)采樣信號(hào)的頻率自動(dòng)調(diào)節(jié)采樣點(diǎn)數(shù)，保持周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)固定，根據(jù)輸入信號(hào)合理分配后續(xù)計(jì)算和存儲(chǔ)資源。但采用該方法會(huì)加重后續(xù)數(shù)字信號(hào)處理的負(fù)擔(dān)，這對(duì)軟件無(wú)線電的實(shí)現(xiàn)不利。均勻采樣以等時(shí)間間隔采樣，采樣后的信號(hào)頻譜呈周期性分布，有利于理論分析和具體實(shí)現(xiàn)的信號(hào)還原，適合于軟件無(wú)線電平臺(tái)。

在本章中，我們將就軟件無(wú)線電中所可能涉及到的均勻采樣技術(shù)予以詳細(xì)介紹。4.1低通采樣低通采樣(LowpassSampling)是最基本的采樣形式，也稱Nyquist采樣。低通采樣定理的表述如下：設(shè)有一個(gè)頻帶限制在(0，fH)內(nèi)的連續(xù)信號(hào)x(t)，如果以不小于fs=2fH的采樣速率對(duì)x(t)進(jìn)行等間隔采樣，則x(t)可以被所得到的采樣值完全確定。所謂帶限信號(hào)，是指對(duì)于連續(xù)信號(hào)x(t)，如果|f|>fH，則其傅立葉變換X(f)=0，如圖4-1所示。圖4-1帶限信號(hào)示意圖對(duì)于給定的最高信號(hào)頻率fH，系統(tǒng)所需要的最低采樣速率2fH

稱為Nyquist速率。T=1/2fH稱為Nyquist間隔，它是抽樣所可能取得的最大間隔。當(dāng)給定系統(tǒng)采樣速率fs時(shí)，所可能輸入的最高信號(hào)頻率為fs/2，稱為Nyquist頻率。下面給出該采樣定理的數(shù)學(xué)說(shuō)明。已知一個(gè)頻帶限制在(0，fH)內(nèi)的連續(xù)信號(hào)x(t)，采樣過(guò)程就是將該信號(hào)與周期性沖激函數(shù)δT(t)相乘，該周期函數(shù)是均勻間隔為T=1/fs單位強(qiáng)度的沖激序列，即

(4-1)式中：δ(t)為單位沖激函數(shù)；所得到的乘積函數(shù)xs(t)也是間隔均勻的沖激序列，其強(qiáng)度xn等于相應(yīng)時(shí)間x(t)的值，表示對(duì)x(t)的抽樣，即

(4-2)令x(t)、δT(t)、xs(t)的頻譜分別為X(f)、、Xs(f)，則有

(4-3)式中：式(4-3)表明，已抽樣信號(hào)xs(t)的頻譜Xs(f)是無(wú)窮多個(gè)間隔為fs的原信號(hào)x(t)的頻譜X(f)疊加而成的，如圖4-2所示。從圖4-2中可以看到，當(dāng)fs≥2fH時(shí)，Xs(f)是X(f)的周期性重復(fù)且不重疊，因而在xs(t)中包含了x(t)的全部信息。圖4-2采樣頻譜如果該要求不能滿足，則頻譜之間會(huì)發(fā)生重疊而導(dǎo)致失真，該失真稱為混疊(Alising)。圖4-3所示為采樣的混疊現(xiàn)象。圖4-3采樣的混疊現(xiàn)象如果采樣速率滿足要求，則頻移后有效的頻譜分量相互不會(huì)發(fā)生混疊，僅需要采用一個(gè)帶寬不小于fH(fs/2)的理想低通濾波器作為重構(gòu)濾波器(ReconstructionFilter)就可以恢復(fù)原始信號(hào)。理想低通濾波器的特性為

(4-4)

其沖激響應(yīng)為h(t)=TfsSa(fst)

(4-5)則通過(guò)采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)的內(nèi)插公式為

(4-6)以上論述清楚地表明帶限信號(hào)可以用其采樣值來(lái)代替，具體的證明推導(dǎo)可參見(jiàn)相關(guān)參考文獻(xiàn)，這里不多做說(shuō)明。當(dāng)然，完全帶限信號(hào)是不存在的。在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)信號(hào)只要高頻分量所引入的誤差可以被忽略，則該信號(hào)就可以認(rèn)為是帶限信號(hào)。在理想情況下，ADC可以采用略高于最高頻率兩倍的采樣速率進(jìn)行采樣，這樣系統(tǒng)采樣所得到的信息帶寬將包含從直流到fs/2的整個(gè)范圍。處理器可以通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波、抽取以及其他的射頻處理，從而使得一個(gè)單片結(jié)構(gòu)的接收機(jī)就可以通過(guò)軟件獲得多種不同接收機(jī)的實(shí)現(xiàn)。這是一個(gè)非常理想的軟件無(wú)線電結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，在整個(gè)工作頻段內(nèi)僅需要一種采樣速率，所有處理均可由數(shù)字器件完成。但是問(wèn)題出現(xiàn)了，如果采用這種工作方式，那么對(duì)器件的工作能力就提出了相當(dāng)高的要求。如果系統(tǒng)可應(yīng)用的最高頻率為1.6GHz，帶寬為2MHz，則所需要的采樣速率不低于3.2GHz。這對(duì)ADC的采樣速率提出了相當(dāng)高的要求，而且其數(shù)據(jù)率也相當(dāng)高，對(duì)信號(hào)處理的工作速度要求也相當(dāng)高，以當(dāng)前的技術(shù)水平，這是難以想象的，也是不經(jīng)濟(jì)的。

因此，在軟件無(wú)線電中，對(duì)低通采樣的應(yīng)用受到了限制，即只能應(yīng)用于系統(tǒng)的最高頻率不高的場(chǎng)合(如接收機(jī)工作在短波段的情況下)，或者采用傳統(tǒng)的多級(jí)變換體制接收機(jī)(外差式接收機(jī))將射頻頻率變換為固定的中頻頻率，然后再進(jìn)行ADC操作，其射頻前端包括多級(jí)放大器、濾波器、混頻器等，但是這樣在天線和ADC之間增加了其他硬件部分，并不符合軟件無(wú)線電的設(shè)計(jì)思想。因而為了能夠在現(xiàn)實(shí)中實(shí)現(xiàn)軟件無(wú)線電的設(shè)計(jì)目標(biāo)，應(yīng)該采用的是帶通采樣。4.2帶通采樣或欠采樣4.2.1帶通采樣定理為了解決低通采樣所造成的采樣速率過(guò)高的問(wèn)題，需要實(shí)現(xiàn)采用低于2倍最高頻率的采樣，這種采樣一般稱為帶通采樣(BandpassSampling)或欠采樣(UnderSampling)，其理論基礎(chǔ)是帶通采樣定理。所謂帶通信號(hào)，是指信號(hào)頻譜幅度在(fL，fH)外為0的信號(hào)。其中，fH為上邊界頻率，fL為下邊界頻率，帶寬B=fH-fL，如圖4-4所示。圖4-4帶通信號(hào)示意圖為了描述帶通信號(hào)的位置，可以采用頻帶位置(BandPosition)的概念，它由下邊界頻率相對(duì)于信號(hào)帶寬倍數(shù)的整數(shù)部分描述，即

(4-7)其中，［a］表示a的整數(shù)部分。一般情況如圖4-5(a)所示。一個(gè)特殊的情況是，整數(shù)頻帶位置(即頻帶)位于信號(hào)帶寬的整倍數(shù)處，即fL=c(fH-fL)=cB

(4-8)當(dāng)c=0時(shí)，為低通情況。另一個(gè)特殊的情況是半整數(shù)頻帶位置，如圖4-5(b)所示。

(4-9)

帶通采樣定理說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)頻帶限制在(fL，fH)的帶通信號(hào)x(t)，其采樣速率為

(4-10)式中，n為正整數(shù)，滿足：

(4-11)圖4-5頻帶位置示意圖(a)一般情況；(b)整數(shù)、半整數(shù)頻帶情況

帶通采樣的結(jié)果如圖4-6所示。帶通采樣后信號(hào)的頻譜也同樣出現(xiàn)周期性的重復(fù)。具體就不再推導(dǎo)，請(qǐng)參閱相關(guān)文獻(xiàn)。由圖4-6可以看出：

(1)帶通采樣速率遠(yuǎn)低于低通采樣速率。

(2)時(shí)域高頻的信號(hào)經(jīng)過(guò)帶通采樣后成為了低頻信號(hào)，這是帶通的混疊現(xiàn)象，如圖4-6(a)所示。

(3)實(shí)信號(hào)具有對(duì)稱的正負(fù)頻率部分，帶通采樣后由于混疊造成正頻率譜部分和負(fù)頻率譜部分交替出現(xiàn)，帶通采樣速率必須保證正負(fù)頻率部分不發(fā)生混疊。這一點(diǎn)對(duì)帶通采樣速率的選取非常重要。

下面分別詳細(xì)說(shuō)明這些問(wèn)題。圖4-6帶通采樣的結(jié)果(a)帶通采樣的時(shí)域表示；(b)帶通采樣的頻域表示前面提到的低通采樣定理表明：如果信號(hào)以被采樣最高頻率的兩倍采樣，則當(dāng)信號(hào)重構(gòu)時(shí)沒(méi)有信息損失。fs/2稱為Nyquist頻率，從直流到fs/2的頻率范圍稱為第1Nyquist區(qū)，fs/2到fs的頻率范圍稱為第2Nyquist區(qū)，依次類推，如圖4-7所示。所有在第1Nyquist區(qū)的模擬信號(hào)可被低通采樣且可被恢復(fù)。當(dāng)輸入信號(hào)高于fs/2時(shí)，進(jìn)入帶通采樣，頻譜以fs/2反射或折疊進(jìn)第1Nyquist區(qū)，此時(shí)絕對(duì)頻率信息丟失了。對(duì)這樣的信號(hào)用采樣速率進(jìn)行帶通采樣，其結(jié)果是把位于

((n-1)fs，nfs)不同Nyquist區(qū)上的信號(hào)都用位于(0，fs/2)上第1Nyquist區(qū)的相同的基帶信號(hào)頻帶來(lái)表示，即進(jìn)行了頻譜的搬移，其前提條件是只允許其中一個(gè)Nyquist區(qū)上存在信號(hào)，否則將引起頻譜混疊，這可通過(guò)抗混疊濾波器在采樣前進(jìn)行濾波，濾出所需要的帶通信號(hào)，然后再進(jìn)行采樣。其采樣速率不再依賴于射頻載波頻率，而是信號(hào)帶寬。對(duì)于上面提到的最高頻率為1.6GHz，帶寬為2MHz的信號(hào)，采樣速率約為4MHz。這樣，所需要的處理速度就大大降低了。圖4-7帶通信號(hào)的帶通采樣頻譜(包括Nyquist區(qū))輸入模擬信號(hào)頻率fc經(jīng)過(guò)采樣速率fs的帶通采樣后所得到的進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率為(4-12)

式中，［2fc/fs］+1表示模擬信號(hào)頻率所處的Nyquist區(qū)；rem(a，b)為a/b的余數(shù)。例如，若采樣速率為78MSPS，則Nyquist頻率為39MHz。第1Nyquist區(qū)為(0，39)MHz，輸入信號(hào)為40MHz，處于第2Nyquist區(qū)，則采樣輸出為38MHz。若輸入信號(hào)為68MHz，則采樣輸出為10MHz。注意：輸入信號(hào)在10MHz、68MHz、88MHz、146MHz等點(diǎn)都將采樣輸出10MHz，此時(shí)沒(méi)有辦法確定原始輸入信號(hào)的頻率，因?yàn)橐呀?jīng)違反了Nyquist準(zhǔn)則。所以帶通采樣是有意的混疊。但是為了保證采樣后信號(hào)自身不發(fā)生混疊現(xiàn)象，必須確保帶通信號(hào)整個(gè)位于某個(gè)Nyquist區(qū)內(nèi)。若帶寬為B，帶通信號(hào)載波頻率為fc，則采樣后信號(hào)位于第1Nyquist區(qū)內(nèi)?；d頻采樣后的頻率為fA，有

(4-13)

另外，由式(4-12)知，當(dāng)整個(gè)帶通信號(hào)位于偶數(shù)Nyquist區(qū)時(shí)，經(jīng)過(guò)采樣后會(huì)發(fā)生頻率的“反折”，即高頻分量對(duì)應(yīng)基帶上的低頻分量，低頻分量對(duì)應(yīng)高頻分量。當(dāng)整個(gè)帶通信號(hào)位于奇數(shù)Nyquist區(qū)時(shí)，不會(huì)發(fā)生“反折”現(xiàn)象，如圖4-8所示。圖4-8帶通采樣的“反折”現(xiàn)象為了能比較直觀地掌握這個(gè)特點(diǎn)，我們采用混疊三角形，如圖4-9所示。該混疊三角形可以這樣構(gòu)成，在頻譜上從0開(kāi)始畫(huà)一組等腰三角形，其底邊長(zhǎng)為fs，對(duì)每個(gè)等腰三角形又可以分為兩個(gè)相互對(duì)稱的直角三角形，這些三角形在頻譜軸上的底邊恰好構(gòu)成Nyquist區(qū)，以第1Nyquist區(qū)上的直角三角形為基準(zhǔn)，若信號(hào)所在的Nyquist區(qū)上的混疊三角形與第1Nyquist區(qū)的混疊三角形一致，則采樣得到的信號(hào)不會(huì)發(fā)生“反折”，反之，會(huì)發(fā)生“反折”。圖4-9混疊三角形還有一種直觀的方法就是折扇法。想象用一疊半透明紙，如圖4-10所示，將紙的疊痕按垂直方向固定，沿底邊從左到右繪制頻率軸，然后在A/D采樣速率fs的倍數(shù)(即fs/2的偶數(shù)倍)處向內(nèi)折，在fs/2的奇數(shù)倍數(shù)處向外折。這樣，折出的各頁(yè)就代表Nyquist區(qū)。圖4-10折扇法觀察帶通采樣結(jié)果縱軸表示信號(hào)(如寬帶RF信號(hào))頻譜的幅值。為了查看采樣后的情況，只需要將這一疊紙疊起來(lái)，然后對(duì)著燈光看過(guò)去，就可以看到這些紙上的頻譜互相重疊，上面就是A/D轉(zhuǎn)換輸出樣本中的頻率值。如圖4-10所示，高于fs/2的信號(hào)都被折到0~fs/2之間。對(duì)于奇數(shù)頁(yè)上的信號(hào)，其頻率相當(dāng)于改變了fs的整數(shù)倍，而偶數(shù)頁(yè)上的信號(hào)首先對(duì)頻率軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，然后改變fs/2的奇數(shù)倍，這種概念通過(guò)折紙模型比較容易理解。在應(yīng)用中如果不希望產(chǎn)生“反折”現(xiàn)象，則可以通過(guò)選擇合適的采樣速率或在采樣后進(jìn)行FFT，然后將結(jié)果進(jìn)行逆序排列。

為了獲得較理想的帶通信號(hào)，防混疊濾波器是非常重要的，而且可跟隨輸入信號(hào)相應(yīng)變化。但是高Q濾波器(模擬的或是級(jí)聯(lián)的)是不易實(shí)現(xiàn)的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，在軟件無(wú)線電接收機(jī)的設(shè)計(jì)中一般采用一個(gè)固定的中頻，在中頻進(jìn)行采樣，這樣防混疊濾波器的設(shè)計(jì)就變得相對(duì)容易，這就是所謂的外差式接收機(jī)。4.2.2帶通采樣速率的選擇

1.最小采樣速率與低通采樣相同，最小帶通采樣速率是非常重要的指標(biāo)。由式(4-10)我們得到：

(4-14)

根據(jù)式(4-14)可得到最小采樣速率，如圖4-11所示。圖4-11中，橫坐標(biāo)為信號(hào)的邊界頻率，縱坐標(biāo)為采樣速率，圖中斜線表明相應(yīng)的最小采樣速率。圖4-11帶通采樣最小采樣速率由圖4-11可見(jiàn)，當(dāng)帶通信號(hào)處于整數(shù)頻帶位置時(shí)，可以取到理論上的最小采樣速率為2B。隨著頻率的增高，當(dāng)n較大時(shí)，最小采樣速率也接近2B

，因此，通常認(rèn)為帶通采樣的最小速率為2B

。但需要注意的是，理論上的最小采樣速率是病態(tài)的，它會(huì)在應(yīng)用中造成頻譜混疊，因此，一般需要大于最小采樣速率進(jìn)行采樣，或者對(duì)信號(hào)設(shè)置保護(hù)頻帶。

這個(gè)圖雖然非常直觀，但僅僅給出了最小允許采樣速率，這與帶通采樣允許采樣速率是有差別的，而且可能給人一個(gè)誤導(dǎo)，比如可能認(rèn)為如果采用4B進(jìn)行采樣，則不會(huì)發(fā)生頻譜混疊，或者說(shuō)大于4B的采樣速率都是允許的。這顯然是不對(duì)的。

2.允許的采樣速率為了了解帶通采樣可能允許的采樣速率，再次考慮帶通采樣定理，其均勻采樣速率為

(4-15)

注意：當(dāng)?shù)仁匠闪r(shí)，信號(hào)處于整數(shù)頻帶位置，在fH或fL的頻率分量會(huì)發(fā)生混疊。根據(jù)式(4-15)，我們把圖4-11進(jìn)行修正，于是得到圖4-12。圖4-12允許采樣速率和不允許采樣速率與頻帶位置關(guān)系圖圖4-12中的白色鍥形區(qū)域是無(wú)混疊的采樣速率存在的區(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)榘l(fā)生混疊的采樣速率所處的區(qū)域，用n來(lái)表示每個(gè)鍥形區(qū)域，n就稱為鍥形區(qū)的階數(shù)，最大的鍥形區(qū)階數(shù)可由式(4-11)得到，它與帶通信號(hào)的頻帶位置密切相關(guān)，為

(4-16)

對(duì)于一個(gè)帶通信號(hào)，可用從橫坐標(biāo)相應(yīng)頻率點(diǎn)出發(fā)的一條與縱坐標(biāo)平行的直線穿過(guò)的鍥形區(qū)域來(lái)描述其可采用的采樣速率。可以看到，這條直線將按n的可能取值從大到小穿越不同的鍥形區(qū)，最后，進(jìn)入n=1的鍥形區(qū)，這個(gè)區(qū)所對(duì)應(yīng)的采樣速率滿足Nyquist低通采樣定理。鍥形區(qū)的頂點(diǎn)表明當(dāng)信號(hào)處于整數(shù)頻帶位置時(shí)，帶通采樣所能取的最小采樣速率為2B，此時(shí)信號(hào)所處的Nyquist區(qū)的階數(shù)就為nmax。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于各種應(yīng)用誤差的出現(xiàn)，采用該頻率進(jìn)行采樣很容易造成問(wèn)題。

當(dāng)然，在某些特殊的場(chǎng)合，帶通采樣定理可以違反。例如，對(duì)于平衡雙邊帶信號(hào)，其雙邊頻譜可以互相反折混疊而沒(méi)有信息損失，這樣對(duì)于一個(gè)總帶寬為B的雙邊帶信號(hào)，可以采用的最小采樣速率為B。這種情況是相當(dāng)特殊的，如果采樣速率出現(xiàn)一點(diǎn)變化，則會(huì)引起不正確的折疊，使信息受到損失。不在最小采樣速率2B進(jìn)行采樣意味著給原信號(hào)增加了一個(gè)保護(hù)帶寬。實(shí)際上，任何遠(yuǎn)離鍥形區(qū)域頂點(diǎn)的采樣速率都可以認(rèn)為是在將要發(fā)生混疊的頻譜位置處增加了保護(hù)帶寬?？偟谋Ｗo(hù)帶寬BGT可以這樣定義：BGT=fs-2B

(4-17)

保護(hù)帶寬在圖4-13的右側(cè)橫坐標(biāo)上標(biāo)出，則總帶寬(信號(hào)帶寬加保護(hù)帶寬)為BT=B+BGT

(4-18)圖4-13有保護(hù)頻帶的n′階鍥形區(qū)以及采樣頻率的容許范圍令該帶寬所在位置為(

)，其中，

(4-19)(4-20)式中：BGL、BGH分別是上、下保護(hù)頻帶帶寬，且有BGT=BGL+BGH

(4-21)

這樣，考慮保護(hù)頻帶的最大的鍥形區(qū)階數(shù)為

(4-22)

在該區(qū)域內(nèi)取最小可能允許的采樣速率。在n′鍥形區(qū)中，采樣速率的允許范圍是:

(4-23)

圖4-13表示有保護(hù)頻帶的n′階鍥形區(qū)以及采樣速率的容許范圍。在這個(gè)范圍內(nèi)，以正常工作點(diǎn)為中心，可以將該范圍分成上、下兩個(gè)部分，即Δfs=ΔfsH+ΔfsL

(4-24)這上、下兩部分的選取(也就是工作點(diǎn)的選取)也確定了保護(hù)帶寬，有(4-25)(4-26)

值得注意的是，保護(hù)帶寬對(duì)稱意味著采樣速率的容許范圍不對(duì)稱。但是，隨著n的增加，這種不對(duì)稱會(huì)越來(lái)越小。如果采樣速率的工作點(diǎn)選擇為鍥形區(qū)域中點(diǎn)(即采樣速率容許范圍對(duì)稱)，那么采樣速率為

(4-27)

此時(shí)，保護(hù)帶寬為(4-28)(4-29)

【例4-1】若有一個(gè)帶寬為25kHz的信號(hào)，位于(10.7025MHz，10.7275MHz)，設(shè)定對(duì)稱的保護(hù)頻帶為2.5kHz，這樣該信號(hào)的區(qū)間就為(10.7MHz，10.73MHz)，則最大鍥形區(qū)階數(shù)為在357階鍥形區(qū)，最大允許采樣速率為

最小允許采樣速率為采樣速率的容許范圍很小，為如果不考慮保護(hù)頻帶，則最大鍥形區(qū)階數(shù)為最大允許采樣速率為

最小允許采樣速率為采樣速率的容許范圍更小了，為0.02Hz。注意：在這個(gè)例子中，從理論最小采樣速率到包括保護(hù)頻帶的最小采樣速率之間，橫跨了429-357=72個(gè)鍥形區(qū)，這表明在帶通采樣中不能隨意增加采樣速率。最小采樣速率的相對(duì)精度隨帶通信號(hào)頻率的增加而增加，即隨著n的增加而增加。從上面的例子可以初步看到這一點(diǎn)，如果采樣速率工作點(diǎn)在n階鍥形區(qū)域內(nèi)，則采樣速率的容許范圍是(4-30)所以采樣速率的相對(duì)精度為(4-31)當(dāng)fH/B-n=1時(shí)，等式成立。其相對(duì)精度與所在鍥形區(qū)域的階數(shù)的平方成反比。對(duì)于上面所提到的例子，若n=429，則采樣速率的相對(duì)精度為顯然，在階數(shù)為429的鍥形區(qū)域內(nèi)，對(duì)采樣速率精度的要求是很高的。當(dāng)然，我們可以選擇較小的鍥形區(qū)域階數(shù)，這樣就可以降低對(duì)采樣速率精度和保護(hù)帶寬的要求，但是這樣會(huì)增加采樣速率。圖4-14給出了相對(duì)精度與最小允許采樣速率之間的關(guān)系，圖中也給出了RC振蕩器和晶體振蕩器所能達(dá)到的精度，可以作為選擇采樣方案的參考。圖4-14相對(duì)精度與最小允許采樣速率之間的關(guān)系4.2.3采樣的噪聲

在通信系統(tǒng)中，噪聲性能的好壞對(duì)系統(tǒng)性能的影響至關(guān)重要。在軟件無(wú)線電通信系統(tǒng)中，由于采樣以及量化所引起的噪聲是相對(duì)于背景噪聲不同的噪聲形式，因此對(duì)性能的影響也非常大。這里主要考慮量化噪聲(QuantizationNoise)以及帶通采樣引起的噪聲混疊。

1.量化及其噪聲

模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣后，其采樣值還是隨信號(hào)幅度連續(xù)變化，即采樣值可以取無(wú)窮多個(gè)可能值。為了能夠利用數(shù)字系統(tǒng)處理采樣值，必須將采樣值用有限個(gè)離散取值表示。利用預(yù)先規(guī)定的有限個(gè)電平來(lái)表示模擬采樣值的過(guò)程稱為量化。

模擬向數(shù)字轉(zhuǎn)換的理想轉(zhuǎn)換函數(shù)具有均勻的階梯特性，如圖4-15所示。該圖表示在一定的輸入范圍內(nèi)所有模擬輸入可以唯一用有限位數(shù)字字表示。圖中還給出了每個(gè)數(shù)字字表示的模擬輸入?yún)^(qū)間。因?yàn)槟M信號(hào)是連續(xù)的，數(shù)字字是離散的，所以量化過(guò)程必然會(huì)產(chǎn)生誤差。當(dāng)數(shù)字字位數(shù)增加時(shí)，量化間隔將減小，轉(zhuǎn)換函數(shù)將趨近于一條理想直線。圖4-15A/D的理想轉(zhuǎn)換函數(shù)量化間隔的寬度定義為1LSB(最低有效位)，這是轉(zhuǎn)換精度的度量。若輸出數(shù)字字為Nbit，則可以有2N個(gè)可能的數(shù)字字表示2N個(gè)量化階，但是由于第一階和最后一階只有正常量化間隔的一半，因此滿刻度范圍(FSR，F(xiàn)ullScaleRange)被分為2N-1個(gè)區(qū)間。對(duì)于Nbit的轉(zhuǎn)換器，幅度量化間隔q(或1LSB)的大小為

(4-32)式中：VFSR是量化的滿量程輸入電壓范圍。例如，峰峰值滿量程電壓是2.2V，N=14bit，則其量化間隔為量化過(guò)程所產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差(QuantizationError)。這里對(duì)量化噪聲功率和信噪比(平均信號(hào)功率與量化噪聲功率比)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。假設(shè)一個(gè)模擬輸入為正弦波，滿量程峰峰值為A，量化間隔為(4-33)

這里假設(shè)量化誤差e是在(-q/2，q/2)之間均勻分布的0均值隨機(jī)變量，其方差即量化噪聲功率為(4-34)即量化噪聲功率與量化間隔的平方成正比。由于正弦信號(hào)功率為

(4-35)因此，信噪比為

(4-36)由此可以得到結(jié)論，信噪比與量化位數(shù)有關(guān)，每提高1位，信噪比提高6dB。如果轉(zhuǎn)換位數(shù)為14bit，則對(duì)于一個(gè)滿量程正弦信號(hào)，理論上信噪比為86dB。若為10bit，則為62dB。另外必須注意，在實(shí)際軟件無(wú)線電應(yīng)用中，量化噪聲是分布在整個(gè)Nyquist帶寬范圍內(nèi)的，因此一個(gè)更為有用的信噪比的計(jì)算方式是僅考慮信號(hào)帶寬內(nèi)的噪聲。(4-37)這里SNRN是全Nyquist帶寬范圍內(nèi)的信噪比，SNRI是考慮實(shí)際信號(hào)帶寬后的信噪比。

2.帶外噪聲的混疊效應(yīng)

在應(yīng)用帶通采樣的時(shí)候，帶通信號(hào)會(huì)反折進(jìn)入低通(第1Nyquist區(qū))，即從直流開(kāi)始到輸入ADC的信號(hào)頻率之間的能量會(huì)折疊進(jìn)入第1Nyquist區(qū)，這樣將造成信噪比下降。我們用折扇法來(lái)進(jìn)行形象說(shuō)明，如圖4-16所示。圖4-16噪聲混疊示意圖考慮在一個(gè)系統(tǒng)中，帶通信號(hào)的功率譜密度為S，帶內(nèi)噪聲功率譜密度為Np，帶外噪聲功率譜密度為N0，這樣輸入的模擬信號(hào)的信噪比為S/Np，而采樣后信號(hào)的信噪比下降為(4-38)其中，n為信號(hào)所在Nyquist區(qū)的階數(shù)。除非Np>>N0，可以不考慮信噪比下降的影響。如果Np=N0，且假定n>>1，那么信噪比的下降因子可以表示為DSNR=10lgn

(4-39)等效地，噪聲溫度至少增加n。

【例4-2】仍以例4-1給出的信號(hào)為例，B=30kHz，n=357，則DSNR=10lgn=25.5dB

可以看到，信噪比的惡化是相當(dāng)大的。在實(shí)際應(yīng)用中，即使僅存在熱噪聲，帶通采樣所可能造成的信噪比惡化也必須充分考慮到。因此防混疊濾波器是非常必需的，而且防混疊濾波器必須保證混疊成分低于最小可接收水平(即1/2LSB)4.2.4多頻段信號(hào)的帶通采樣

前面主要針對(duì)單一頻段信號(hào)進(jìn)行了分析。為了能夠充分利用軟件無(wú)線電結(jié)構(gòu)的靈活性，非常有必要討論采用單一前端處理多個(gè)信號(hào)的能力。按照以前學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，我們很直接地想到可對(duì)多個(gè)信號(hào)所分布的頻帶進(jìn)行帶通采樣，然后進(jìn)行數(shù)字處理，如濾波等。

圖4-17中給出了兩個(gè)分布于不同頻段的信號(hào)。對(duì)其分布的頻帶進(jìn)行帶通采樣，這樣就實(shí)現(xiàn)了多個(gè)信號(hào)的采樣，而且不混疊。圖4-17常規(guī)的多頻帶信號(hào)帶通采樣采用這種方法非常簡(jiǎn)單，但是如果兩個(gè)信號(hào)相隔較遠(yuǎn)，則即使采用帶通采樣，其采樣速率和所要求的后處理速率仍然是相當(dāng)大的。例如，兩個(gè)帶寬為20MHz的信號(hào)，其中心頻率分別位于1.2GHz和1.6GHz，采用帶通采樣所需要的采樣速率至少為800MHz，這顯然是十分浪費(fèi)的，因?yàn)閮蓚€(gè)信號(hào)的信息帶寬不過(guò)是40MHz。那么能否再一次像提出帶通采樣一樣，采用一種新的采樣方法來(lái)采樣多頻段信號(hào)，其采樣速率不依賴于這些信號(hào)的分布范圍，而僅僅依賴于多頻段信號(hào)總的信息帶寬呢？由于帶通采樣會(huì)使頻譜發(fā)生混疊，因此一個(gè)合理的想法是：對(duì)射頻上分離的多個(gè)頻段的信號(hào)進(jìn)行帶通采樣，它們都會(huì)混疊進(jìn)入第1Nyquist區(qū)，只要采樣速率能夠保證他們互不重疊就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分離，如圖4-18所示。圖4-18多頻帶信號(hào)帶通采樣如何確定采樣速率呢？我們已經(jīng)知道通過(guò)帶通采樣后，頻率的變換情況見(jiàn)式(4-12)，另外還需要依靠帶通采樣的限制條件。

(1)保證帶通采樣后頻譜完整位于第1Nyquis區(qū)內(nèi)，采樣前信號(hào)載頻為fc，采樣后混疊進(jìn)第1Nyquis區(qū)內(nèi)的頻率為fA，則有：

(4-40)

(2)保證多頻段信號(hào)帶通采樣后頻譜相互之間不發(fā)生混疊。對(duì)于兩頻段信號(hào)，有

(4-41)

若包含N個(gè)頻段信號(hào)，則有

(4-42)式中：i,j=1,2,…,N，且i≠j。利用式(4-40)以及式(4-41)我們可以通過(guò)反復(fù)迭代來(lái)獲得所需要的采樣速率，也可以通過(guò)圖4-19所示的方法進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明。

【例4-3】擬設(shè)計(jì)一軟件無(wú)線電衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)，可以同時(shí)接收美國(guó)GPS信號(hào)和俄羅斯GOLNASS信號(hào)。已知GPS：中心頻率fc_GPS=1575.42MHz，3dB帶寬3.2MHz；GOLNASS：中心頻率fc_GLO=1605.656MHz，3dB帶寬7.5MHz。對(duì)其采樣策略進(jìn)行考察。

解：若按照傳統(tǒng)低通采樣，則由于最高頻率在1.6GHz以上，因此至少需要3.2GHz的采樣速率。

若按照傳統(tǒng)帶通采樣，則由于兩個(gè)信號(hào)的覆蓋范圍大約為(1573.82，1609.41)，帶寬為35.59MHz，需要71MHz采樣速率。而實(shí)際總的信息帶寬為10.7MHz，所以最低的采樣速率應(yīng)該為21.4MHz?？紤]一定的余量，取24MHz左右。為了保證采樣后采樣速率可以完成采樣要求，必須滿足限制條件。

(1)求GPS在24MHz左右的采樣速率范圍。

GPS的最低頻率：GPS的最高頻率：所處鍥形區(qū)的最大的階數(shù)：為了使采樣速率在24MHz左右，鍥形區(qū)的階數(shù)n=131，則采樣速率范圍為由式(4-12)我們可以得到，GPS信號(hào)在不同采樣速率情況下所對(duì)應(yīng)的進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率如圖4-19深色區(qū)域所示。其中，混疊區(qū)域是指采樣速率選擇在這里會(huì)造成自身信號(hào)混疊，該部分不能用于采樣，因?yàn)椴粷M足條件(1)。

(2)求GLONASS在24MHz左右的采樣速率范圍。

GLONASS的最低頻率：GLONASS的最高頻率：所處鍥形區(qū)的最大的階數(shù)：為了使采樣速率在24MHz左右，鍥形區(qū)的階數(shù)n=133，則采樣速率范圍為由式(4-12)我們可以得到，GLONASS信號(hào)在不同采樣速率情況下所對(duì)應(yīng)的進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率如圖4-19中淺色區(qū)域所示。其中，混疊區(qū)域是指采樣速率選擇在這里會(huì)造成自身信號(hào)混疊，該部分不能用于采樣，因?yàn)椴粷M足條件(1)。為了保證條件(2)，兩個(gè)區(qū)域采樣后的結(jié)果必須保證在縱坐標(biāo)上沒(méi)有重合，那么只有圖中網(wǎng)點(diǎn)狀的區(qū)域符合條件，其范圍是(24.2015，24.2126)，這里選24.205MHz為采樣速率。這樣對(duì)于GPS，可計(jì)算其載波經(jīng)過(guò)帶通采樣后進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率。由于［2fc_GPS/fs］+1=［2×1575.42/24.205］+1=131為奇數(shù)，因此有：fIF_c_GPS=rem(fc_GPS,fs)=2.095GPS信號(hào)經(jīng)過(guò)帶通采樣后進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率范圍是：

這樣對(duì)于GLONASS，可計(jì)算其載波經(jīng)過(guò)帶通采樣后進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率。由于［2fc_GLO/fs］+1=［2×1605.656/24.205］+1=133為奇數(shù)，因此有：fIF_c_GLO=rem(fc_GLO,fs)=8.126

GLONASS信號(hào)經(jīng)過(guò)帶通采樣后進(jìn)入第1Nyquist區(qū)的頻率范圍是(8.13-7.5/2=4.376，8.13+7.5/2=11.876)，兩個(gè)恰好不重疊，如圖4-19所示。圖4-19GPS-SPS和GLONASS在不同采樣速率下的中頻示意圖4.3過(guò)采樣

所謂過(guò)采樣(OverSampling)，是指信號(hào)的采樣速率大于兩倍的信號(hào)帶寬或信號(hào)的最高頻率。我們用采樣系數(shù)β表示采樣速率高于Nyquist采樣速率的倍數(shù)，此時(shí)采樣速率為fs=2βfH

(4-43)這里，fs是采樣速率，fH是信號(hào)帶寬或信號(hào)最高頻率。為什么需要采用這樣“浪費(fèi)”的方式進(jìn)行采樣呢？我們?cè)俅位仡欇斎肽M信號(hào)進(jìn)行低通采樣的過(guò)程，采樣的步驟可以分為三步：

(1)信號(hào)首先通過(guò)高性能的模擬低通濾波器來(lái)限制其頻帶。

(2)濾波后的帶限信號(hào)(或近似帶限信號(hào))按照Nyquist速率進(jìn)行采樣。

(3)將采樣后的值進(jìn)行量化。在采樣過(guò)程中，為了防止混疊，需要具有陡峭的截止特性(像“磚墻”一樣)的模擬低通濾波器作為防混疊濾波器。當(dāng)然，這樣做是不現(xiàn)實(shí)的，在實(shí)際中，濾波器都會(huì)有過(guò)渡帶，然而過(guò)渡帶會(huì)增加輸出信號(hào)的帶寬，原來(lái)的采樣速率(二倍于最高頻率)必須相應(yīng)增加。這樣，采樣后的信號(hào)頻譜之間會(huì)出現(xiàn)額外的間隔，這個(gè)頻譜間隔不意味著有用信號(hào)的帶寬的增加，只是用來(lái)防止信號(hào)受到采樣所造成的混淆的影響。當(dāng)然完全消除混淆是不可能的，只是說(shuō)可以將混淆降低到容許的程度，因?yàn)槭聦?shí)上信號(hào)不可能是帶限的。典型的過(guò)渡帶大約增加10%~20%的帶寬。為了使系統(tǒng)能夠在最低的采樣率上采樣以降低后處理的數(shù)據(jù)量，我們必須實(shí)現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜的具有窄過(guò)渡帶的模擬濾波器。然而，采用模擬濾波器具有兩個(gè)不好的特性：首先，由于過(guò)渡帶較窄，因此將產(chǎn)生失真(非線性失真)；其次，必須采用高階的濾波器實(shí)現(xiàn)這種窄帶濾波器，因此需要數(shù)量較大的高質(zhì)量的元器件，相比數(shù)字器件，在信號(hào)處理中采用高性能的模擬器件要比采用數(shù)字處理器件成本高且性能不穩(wěn)定。

現(xiàn)在我們改變一下思路，即不再?gòu)?qiáng)調(diào)采用高性能的模擬濾波器進(jìn)行限帶，而選用廉價(jià)的、簡(jiǎn)單的、過(guò)渡帶較寬的模擬預(yù)濾波器來(lái)限制頻帶，由于過(guò)渡帶加寬，因此必須采用高的采樣速率。一般地，采樣速率為原來(lái)的兩倍，這就是所謂的過(guò)采樣。圖4-20中表明了Nyquist采樣和過(guò)采樣后信號(hào)頻譜的不同。從圖4-20中可以很清楚地看到，由于采用了過(guò)采樣，因此對(duì)于模擬防混疊濾波器的要求大大降低了。圖4-20Nyquist采樣和過(guò)采樣后信號(hào)頻譜對(duì)比為了和Nyquist采樣進(jìn)行對(duì)比，這里也給出采用過(guò)采樣的步驟。

(1)信號(hào)首先通過(guò)一個(gè)低性能(廉價(jià)的)模擬低通濾波器來(lái)限制其帶寬。

(2)濾波后近似帶限信號(hào)通過(guò)高于Nyquist速率的速率進(jìn)行采樣。

(3)將采樣后的值進(jìn)行數(shù)字化。

(4)數(shù)字化后的樣值通過(guò)高性能的數(shù)字濾波器降低數(shù)字樣值的帶寬。

(5)降低數(shù)字濾波器的輸出速率使之與數(shù)字濾波器輸出的帶寬縮減的信號(hào)相適應(yīng)。

結(jié)合上述采樣步驟，對(duì)過(guò)采樣的特點(diǎn)作進(jìn)一步說(shuō)明。首先，過(guò)采樣將原來(lái)集中在模擬濾波器上的任務(wù)進(jìn)行了分解，主要采用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)信號(hào)的限帶，以獲得窄的且無(wú)失真的過(guò)渡帶。雖然數(shù)據(jù)速率較高，但采用數(shù)字器件實(shí)現(xiàn)的成本較低，而且可以提高采集數(shù)據(jù)的質(zhì)量。一般前級(jí)的模擬濾波器會(huì)引入幅度和相位失真，在準(zhǔn)確掌握失真情況的基礎(chǔ)上，后級(jí)采用數(shù)字濾波器不僅可以完成防混疊濾波器的任務(wù)，而且可以補(bǔ)償幅度和相位失真，可以獲得較為理想的合成響應(yīng)，這樣我們就采用較小的付出得到了具有更高質(zhì)量的信號(hào)(失真小)。其次，通過(guò)高性能的數(shù)字濾波，信號(hào)頻帶受到有效限制，因此此時(shí)較高的數(shù)據(jù)速率相對(duì)有冗余，需要降低數(shù)據(jù)速率以適應(yīng)現(xiàn)時(shí)的需要。一般希望將數(shù)字濾波和降低數(shù)據(jù)速率結(jié)合在一起完成。從以上論述可以看到，無(wú)論是Nyquist采樣還是過(guò)采樣，對(duì)于一個(gè)給定的輸入信號(hào)，我們實(shí)際上都希望得到的輸出是速率上盡可能與輸入信號(hào)帶寬相適應(yīng)、失真盡可能小的采樣數(shù)據(jù)。這兩種采樣方法都可以獲得相當(dāng)?shù)男Ч?，但很明顯，過(guò)采樣是一種非常經(jīng)濟(jì)的解決方案，類似的原理也用于數(shù)/模轉(zhuǎn)換中，DAC后的模擬濾波器如果具有窄的過(guò)渡帶，則將引入較大的失真，如果送入DAC的數(shù)據(jù)速率大于Nyquist速率，則該濾波器的過(guò)渡帶將有所放寬，這樣DAC后面的模擬濾波器的過(guò)渡帶要求就放寬了。

除了上面所說(shuō)明的原因外，過(guò)采樣還是一種在數(shù)字域提高信噪比的方法，可以獲得信噪比的增益。對(duì)于一個(gè)ADC，其采樣引起的量化噪聲的功率是確定的，如果采用Nyquist速率進(jìn)行采樣，則獲得的信號(hào)信噪比如式(4-36)所示。這種平均分布的噪聲落在信號(hào)帶寬內(nèi)的功率可能對(duì)信號(hào)造成影響，而這部分噪聲的功率與信號(hào)帶寬和功率譜密度有關(guān)。若采樣速率提高，則這個(gè)噪聲會(huì)擴(kuò)展到更寬的頻帶上，噪聲功率譜密度會(huì)降低。這樣，進(jìn)入信號(hào)帶寬內(nèi)的噪聲功率就會(huì)下降，此時(shí)采用濾波器對(duì)帶外噪聲進(jìn)行濾除，信噪比將相應(yīng)提高，如圖4-21所示。此時(shí)信號(hào)信噪比計(jì)算公式為式(4-37)。圖4-21過(guò)采樣引起的信噪比增益根據(jù)式(4-37)可知，若采樣速率加倍，則轉(zhuǎn)換噪聲功率譜密度下降3dB。如果數(shù)字濾波器用于濾除有用信號(hào)周圍的噪聲，則過(guò)采樣得到的處理增益為

(4-44)

該處理增益就稱為過(guò)采樣增益，該公式假定濾波器是理想的并滿足信號(hào)需求。過(guò)采樣增益是通過(guò)過(guò)采樣操作和數(shù)字濾波獲得的。在實(shí)際操作中，數(shù)字濾波可以通過(guò)樣點(diǎn)平均來(lái)實(shí)現(xiàn)，降低采樣率可用過(guò)抽取實(shí)現(xiàn)，即每隔k個(gè)值取一個(gè)值。這兩個(gè)過(guò)程可以合在一起，即將樣點(diǎn)分成組，每個(gè)組包含k個(gè)樣點(diǎn)，這些

樣點(diǎn)平均后得到一個(gè)平均值，此時(shí)，數(shù)據(jù)速率也就下降為原來(lái)的1/k，如圖4-22所示。圖4-22過(guò)采樣樣點(diǎn)平均示意圖這里，通過(guò)數(shù)字平均角度也可以看到輸入?yún)⒖荚肼暤臏p少。以一個(gè)16位的ADC為例，該ADC以100kSPS采樣率工作，過(guò)采樣系數(shù)為2，具有15位無(wú)噪聲碼分辨率。對(duì)同一個(gè)信號(hào)的每次輸出采樣做兩次測(cè)量結(jié)果平均，將使有效采樣率減少到50kSPS，信噪比(SNR)提高3dB，這樣無(wú)噪聲碼分辨率可提高到15.5位。如果過(guò)采樣系數(shù)為4，對(duì)每次輸出采樣做四次測(cè)量平均，則采樣率將減少到25kSPS，SNR將提高6dB，并且無(wú)噪聲碼分辨率將提高到16位。表4-1列出了過(guò)采樣系數(shù)與信噪比提高以及相應(yīng)增加的位數(shù)之間的關(guān)系。這樣，從整體上講，過(guò)采樣、數(shù)字濾波、抽取都可以提高信號(hào)的信噪比或提高ADC的分辨率。如果輸出的數(shù)據(jù)速率與信號(hào)帶寬相適應(yīng)，則要想增加1bitADC的有效位，相當(dāng)于增加6dB信噪比，等效于進(jìn)行系數(shù)為4的過(guò)采樣。這一點(diǎn)在實(shí)際中用處非常大，過(guò)采樣的應(yīng)用可以獲得相對(duì)廉價(jià)的較高精度的ADC或DAC。例如，為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)24bit轉(zhuǎn)換器，可以采用20bit的轉(zhuǎn)換器工作在256倍的原采樣速率上，對(duì)一組256樣點(diǎn)20bit精度進(jìn)行平均，則信噪比提高256倍，約為24dB，將增加24/6=4bit分辨率，獲得一個(gè)24bit的分辨率。注意：當(dāng)信號(hào)中包含的是等分布白噪聲時(shí)，這個(gè)平均是可能的。為了在樣點(diǎn)平均操作時(shí)不進(jìn)行除法，一般采用將樣點(diǎn)和的結(jié)果(二進(jìn)制)向右移n位，移出的位就不要了。這是因?yàn)槿粼黾觧bit精度，則需要4n倍過(guò)采樣，將4n個(gè)樣點(diǎn)相加后，位數(shù)增加2nbit，此時(shí)不進(jìn)行除法，只需向右移走nbit即可獲得增加的nbit精度。如在10bitADC希望獲得12bit的精度，則需要42=16倍過(guò)采樣，16個(gè)10bit數(shù)取和得到一個(gè)14bit數(shù)，然后向右移2位，就得到12bit數(shù)，最后兩位不要。在上面的例子中，若增加4bit精度，則需要256倍過(guò)采樣，相加得到20+8=28bit，向右移4位，得到24bit的結(jié)果。

需要強(qiáng)調(diào)的是，過(guò)采樣和欠采樣(帶通采樣)不是完全對(duì)立的，因?yàn)榍凡蓸邮前凑战^對(duì)最高頻率定義的，而過(guò)采樣是可以按照信號(hào)帶寬定義的。例如，一個(gè)帶寬為5MHz，中心頻率為100MHz的信號(hào)若采樣速率大于10MSPS，則可以稱為過(guò)采樣，同時(shí)也是欠采樣。4.4正交采樣在進(jìn)行實(shí)帶通采樣的時(shí)候會(huì)有不少的限制，這是因?yàn)樾盘?hào)存在正譜和負(fù)譜，在采樣時(shí)，正負(fù)譜形成的分延拓分量之間必須保證不混疊。如果采用復(fù)采樣(ComplexSampling)或正交采樣(QuadratureSampling)，則會(huì)降低這些限制，相當(dāng)于對(duì)一個(gè)通過(guò)Hilbert變換得到的解析信號(hào)進(jìn)行采樣，如圖4-23所示。圖4-23Hilbert變換產(chǎn)生無(wú)負(fù)譜的復(fù)信號(hào)過(guò)程這將產(chǎn)生兩組采樣數(shù)據(jù)，其中：I(n)=r(nTs)

(4-45)(4-46)這里，為r(t)的Hilbert變換。由于復(fù)信號(hào)的負(fù)頻率部分被完全抑制，因此在兩個(gè)支路上分別進(jìn)行采樣速率為fs=B的采樣就可以完全消除有害的混疊現(xiàn)象，而且這與信號(hào)的中心頻率位置是無(wú)關(guān)的。這與常規(guī)的帶通采樣相比具有很大的優(yōu)勢(shì)，如圖4-24所示。圖4-24復(fù)帶通采樣示意圖如果fs=fc/k≥B，這里k為正整數(shù)，則對(duì)帶通復(fù)采樣等效于對(duì)基帶信號(hào)采樣。令z(t)表示帶通信號(hào)r(t)的復(fù)基帶信號(hào)，即

(4-47)

對(duì)解析信號(hào)進(jìn)行采樣，則采樣序列可以表示為(4-48)這里，采樣間隔Ts=1/fs=k/fc。在頻域，這意味著位于中心頻率fc的第k個(gè)頻譜樣本與位于零頻的樣本一致，而且這些相繼的頻譜樣本沒(méi)有混疊。

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換是較為困難的，為此一般采用正交下變頻方式實(shí)現(xiàn)兩路正交信號(hào)，如圖4-25所示。

雖然理論上是非常有吸引力的，但是正交采樣的實(shí)現(xiàn)是具有挑戰(zhàn)的，參看圖4-25，每路的調(diào)制器、信號(hào)路徑、低通濾波器必須是嚴(yán)格匹配的，這樣才能保證復(fù)信號(hào)的表示是輸入信號(hào)的正確表示，否則任何幅度和相位的不匹配都將導(dǎo)致失真。圖4-25正交采樣技術(shù)示意圖4.5采樣率變換通過(guò)了解前面三種基本的采樣形式，我們有了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)，在接收端，從采樣性能角度上看，采樣速率應(yīng)該是越高越好，這樣不僅可以使被采樣帶寬增加，而且有利于降低量化噪聲，但是，隨著采樣速率的增加，將使采樣后的數(shù)據(jù)速率很高，這將導(dǎo)致后續(xù)信號(hào)處理的負(fù)擔(dān)加重，非常有必要在ADC后進(jìn)行降速處理；在發(fā)射端，我們希望輸入到DAC的數(shù)據(jù)速率盡可能高，以降低噪聲并減小射頻輸出濾波器的實(shí)現(xiàn)難度，但是同樣地，由于數(shù)字信號(hào)處理能力的限制，輸出速率也不能很高，因此也非常有必要進(jìn)行升速處理。另外，由于軟件無(wú)線電系統(tǒng)所傳輸?shù)男盘?hào)可能是多種多樣的，既可能是語(yǔ)音信號(hào)，也可能是圖像信號(hào)，這些信號(hào)的頻率成分相差很遠(yuǎn)，因此系統(tǒng)應(yīng)該具有多種采樣速率，并可完成采樣率的變換，即使是同一種信號(hào)，使用對(duì)象的不同所要求的數(shù)據(jù)速率也是不同的，比如，質(zhì)量較高的系統(tǒng)數(shù)據(jù)其速率自然會(huì)高。因此，對(duì)采樣率進(jìn)行變換是非常重要的。這就是重采樣或采樣率轉(zhuǎn)換所需要介紹的內(nèi)容。

一般認(rèn)為，在滿足采樣率的前提下，首先將以采樣率fs1采集到的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行D/A變換，再按照采樣率fs2進(jìn)行A/D變換，這樣就可以實(shí)現(xiàn)從fs1到fs2的采樣率轉(zhuǎn)換。但這樣比較麻煩，且容易使信號(hào)受到損傷，所以實(shí)際上改變采樣率并不是數(shù)字信號(hào)變成模擬信號(hào)后再進(jìn)行一次不同速率的采樣，而是在數(shù)字域內(nèi)實(shí)現(xiàn)。采樣率轉(zhuǎn)換通常分為“內(nèi)插”和“抽取”，“上采樣”和“下采樣”?！皟?nèi)插”和“上采樣”是指提高采樣率以增加數(shù)據(jù)的過(guò)程；“抽取”和“下采樣”是指降低采樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過(guò)程。在本節(jié)中，首先介紹整數(shù)倍的采樣率的變換方式，并以此為基礎(chǔ)介紹分?jǐn)?shù)倍的采樣率的變換方式。4.5.1重建后重采樣

已知一個(gè)數(shù)字信號(hào)采樣率為fs1=1/T1，現(xiàn)將其采樣率變換為fs2=1/T2，采用的一個(gè)較為直觀的方法是通過(guò)DAC重構(gòu)這個(gè)信號(hào)，然后對(duì)這個(gè)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行重采樣(Resampling)，該方法如圖4-26所示。圖4-26信號(hào)重構(gòu)后進(jìn)行重采樣示意圖這種方法在實(shí)際中并不合適，但是它可以使我們非常清楚地了解采樣率變換的特點(diǎn)。圖4-27給出了采樣率變換時(shí)譜結(jié)構(gòu)的變化情況。

圖4-27(a)為一個(gè)低通信號(hào)在采用Nyquist速率采樣后的譜情況，采樣后信號(hào)的譜為原信號(hào)頻譜按照周期1/T1進(jìn)行延拓得到的，那些新產(chǎn)生的頻譜分量稱為鏡像分量；圖4-27(b)為重構(gòu)濾波器特性，其通帶為fpa；采樣信號(hào)通過(guò)該濾波器實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，見(jiàn)圖4-27(c)，此時(shí)，信號(hào)會(huì)引入兩個(gè)失真，一個(gè)是由于過(guò)渡帶引起的本身信號(hào)失真，另一個(gè)是由于鏡像信號(hào)不可能完全抑制引起的失真；該信號(hào)再通過(guò)采樣速率1/T2進(jìn)行重采樣，所得到的譜為圖4-27(d)。如果信號(hào)頻帶在fpa內(nèi)，則必須要求重采樣后所可能造成的混疊成分不能進(jìn)入fpa。圖4-27采樣率變換時(shí)譜結(jié)構(gòu)的變化情況(T2>T1)必須強(qiáng)調(diào)的是，防混疊是任何采樣速率變換系統(tǒng)必須服從的要求。因此，在采樣率變換時(shí)首要的設(shè)計(jì)目標(biāo)是濾波器的設(shè)計(jì)，其目的就是控制混疊。一般情況下，當(dāng)采樣速率下降時(shí)出現(xiàn)混疊成分，采樣率上升時(shí)出現(xiàn)鏡像成分，而混疊成分一旦混入有用信號(hào)就不可能消除，所以采樣速率下降時(shí)必須非常小心。4.5.2內(nèi)插或上采樣

上采樣(Upsampling)和內(nèi)插(Interpolation)是兩個(gè)非常相似的概念，其作用是使目標(biāo)采樣率大于原始采樣率。有的文獻(xiàn)認(rèn)為上采樣就是插0，內(nèi)插是上采樣+濾波，而有的文獻(xiàn)又恰好相反或認(rèn)為兩個(gè)概念相同。為了不至于引起混亂，這里明確認(rèn)為這兩個(gè)概念相同，包括插值和濾波兩個(gè)過(guò)程。

1.上采樣的實(shí)現(xiàn)

上采樣最簡(jiǎn)單的方法是在原來(lái)的數(shù)據(jù)流中插0來(lái)提高采樣速率。另一種實(shí)現(xiàn)方法是對(duì)原信號(hào)樣值進(jìn)行加權(quán)平均，產(chǎn)生新的額外樣值。幾乎在所有的情況中，上采樣均包括內(nèi)插濾波器，以消除原信號(hào)的鏡像，如圖4-28所示。圖4-28上采樣的實(shí)現(xiàn)框圖圖4-8中，符號(hào)“L↑”表示插值，一般是插零，即在兩個(gè)原始抽樣點(diǎn)之間插入L-1個(gè)0。若原始抽樣序列為x(n)，則插值后的序列為

(4-49)

插值的過(guò)程如圖4-29所示。圖4-29插值的過(guò)程(圖中僅表示插入一個(gè)0)進(jìn)行Z變換，可以得到：Y(z)=X(zL)

(4-50)

將z=ejω帶入，得到其DTFT(離散時(shí)間傅立葉變換)：Y(ejω)=X(ejωL)

(4-51)

式(4-51)表明，內(nèi)插后信號(hào)的頻譜為原始頻譜經(jīng)L倍壓縮后得到的譜。圖4-30表示內(nèi)插引起的譜的變化，其中，圖(a)是原始信號(hào)譜，插零后原始頻譜經(jīng)過(guò)壓縮并產(chǎn)生鏡像分量，如圖(b)所示。圖4-30上采樣的頻譜變化情況這時(shí)頻譜中不僅含有基帶分量，而且含有頻率大于π/L的高頻鏡像分量。為了從中恢復(fù)原始頻譜，必須對(duì)內(nèi)插后的信號(hào)進(jìn)行低通濾波，濾波器通帶為π/L。注意，這是通過(guò)數(shù)字濾波實(shí)現(xiàn)的。

(4-52)

濾波后得到的結(jié)果如圖4-30(c)所示。

只要系統(tǒng)的內(nèi)插系數(shù)不為素?cái)?shù)，就可以采用多級(jí)內(nèi)插的方式，如圖4-31所示。圖4-31多級(jí)內(nèi)插示意圖各級(jí)內(nèi)插倍數(shù)應(yīng)該按照由小到大的順序進(jìn)行安排。例如，若內(nèi)插倍數(shù)為60，則60=3×4×5，可以分為3級(jí)進(jìn)行內(nèi)插，首先進(jìn)行3倍內(nèi)插，然后進(jìn)行4倍內(nèi)插，最后進(jìn)行5倍內(nèi)插，即保

證最高的數(shù)據(jù)速率對(duì)應(yīng)最大的內(nèi)插倍數(shù)，使系統(tǒng)總運(yùn)算量較小。內(nèi)插的級(jí)數(shù)以2或3級(jí)為佳。

另外，還有一種內(nèi)插方式是采用信號(hào)樣點(diǎn)值加權(quán)平均進(jìn)行內(nèi)插，這里就不作說(shuō)明了。

2.上采樣和過(guò)采樣的關(guān)系

在數(shù)學(xué)層面上，上采樣與過(guò)采樣類似，它們都包含有采樣速率或數(shù)據(jù)速率從一個(gè)較低的速率變到另一個(gè)較高速率的含義，但兩者之間還是有很大差別，在此做特別說(shuō)明。

過(guò)采樣是一種狀態(tài)，指采樣速率比Nyquist采樣速率高的采樣。

上采樣是指采樣速率提高的過(guò)程。

上采樣會(huì)造成過(guò)采樣，但是過(guò)采樣并不一定由上采樣造成，比如，在發(fā)射端數(shù)據(jù)速率快就可以造成過(guò)采樣，并不一定需要上采樣過(guò)程。在實(shí)際應(yīng)用中，過(guò)采樣典型地用于描述在進(jìn)行ADC時(shí)，信號(hào)的采樣速率幾倍于Nyquist速率的情況，同樣在DAC工作中，輸入DAC的數(shù)據(jù)速率高于Nyquist速率的情況也可稱為過(guò)采樣，其所出現(xiàn)或使用的數(shù)據(jù)速率大于實(shí)際所需要的數(shù)據(jù)速率。采用過(guò)采樣大大減輕了模擬防混疊濾波器的設(shè)計(jì)難度，可以使濾波器的過(guò)渡帶放寬，減小了信號(hào)失真，擴(kuò)展了量化噪聲的分布范圍，降低了量化噪聲的功率譜密度，非常有利于系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。

上采樣是一個(gè)純粹的數(shù)字域處理過(guò)程，就是通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理手段，完成數(shù)據(jù)速率的提高。為了清楚起見(jiàn)，圖4-32給出了某一系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖。該系統(tǒng)分為數(shù)字部分和模擬部分，過(guò)采樣發(fā)生在數(shù)字部分和模擬部分的銜接處，而上采樣發(fā)生在數(shù)字部分處。但實(shí)際上，過(guò)采樣的實(shí)現(xiàn)仍舊依賴于上采樣，因此如果針對(duì)DAC，則過(guò)采樣與上采樣是相同的，有的地方做了更細(xì)的劃分。如果速率增加倍數(shù)為較大的整數(shù)，則稱為過(guò)采樣；如果不為整數(shù)或較小，則稱為上采樣。

無(wú)論怎樣，這兩種采樣的最終數(shù)據(jù)速率必須滿足采樣定理，以防止混疊的發(fā)生。圖4-32上采樣與過(guò)采樣的實(shí)現(xiàn)框圖4.5.3抽取或下采樣

下采樣(Downsampling)是包括防混疊濾波的降低信號(hào)采樣速率的過(guò)程，通常用于降低數(shù)據(jù)速率和減小數(shù)據(jù)規(guī)模。下采樣系數(shù)用M表示，該系數(shù)表明下采樣后的數(shù)據(jù)速率降為原速率的1/M，M通常是整數(shù)或者有理小數(shù)。下采樣有時(shí)稱為子采樣或亞采樣(Subsampling)。

抽取(Decimation)也是一個(gè)類似的概念，這兩個(gè)概念的異同沒(méi)有一個(gè)確定的說(shuō)法。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，抽取是下采樣的一部分。因?yàn)槌槿∵@個(gè)詞來(lái)源于古羅馬軍團(tuán)的一個(gè)殘酷的懲罰制度“十殺一”令，即若兵敗，則對(duì)士兵每十人為一組抽出一個(gè)當(dāng)場(chǎng)殺掉。所以該觀點(diǎn)認(rèn)為，抽取是保持原采樣值，并按照順序?qū)狱c(diǎn)分為M個(gè)為一組，用所有第M個(gè)樣點(diǎn)形成一個(gè)新的信號(hào)；下采樣是一個(gè)完整的在低采樣速率下的重采樣過(guò)程，它在抽取前一般包括防混疊濾波器，可以說(shuō)在抽取前有插值(有新的樣點(diǎn)值形成)。

另外一種觀點(diǎn)恰好相反，認(rèn)為所謂抽取，就是采用合適防混疊濾波器的下采樣，而下采樣并不包含濾波操作。第三種觀點(diǎn)認(rèn)為，兩者是相同的。

在本書(shū)中我們采用最后一種觀點(diǎn)，即兩個(gè)概念相同。因?yàn)闊o(wú)論怎么做，我們只需要把握住我們的目的是在沒(méi)有混淆現(xiàn)象發(fā)生的情況下降低數(shù)據(jù)速率，一旦混淆現(xiàn)象發(fā)生，則無(wú)法修正。在下采樣中，防混疊濾波器一定是低通濾波器，這與欠采樣有所不同。

抽取使系統(tǒng)可以工作在較低的速率下，降低了處理的成本，比如降低了用于信號(hào)處理的計(jì)算或存儲(chǔ)能力，可以降低系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)成本。特別需要注意的是，若數(shù)據(jù)速率降低M，則系統(tǒng)所需的工作量可能降低遠(yuǎn)大于M。例如，如果采樣速率加倍，則同樣的濾波器將需要4倍于原來(lái)的運(yùn)算量，這是因?yàn)閿?shù)據(jù)速率和濾波器長(zhǎng)度都加倍，所以卷積運(yùn)算量就增加4倍。這樣，如果能夠?qū)⒉蓸铀俾蕼p半，則顯然運(yùn)算量將減為原來(lái)的1/4。

1.抽取的實(shí)現(xiàn)設(shè)x(n)是連續(xù)信號(hào)xa(t)的采樣序列，采樣速率為fs1=1/T1，T1稱為采樣間隔，則有x(n)=xa(nT1)

(4-53)

若希望將采樣速率降低到原來(lái)的1/M，那么最簡(jiǎn)單的方法就是把原始采樣序列每M點(diǎn)抽取一點(diǎn)，抽取的樣點(diǎn)依次組成新的序列，其采樣間隔為T2，這樣采樣速率fs2=1/T2，降低到原來(lái)的1/M。新序列和原始序列之間的關(guān)系為y(m)=x(nM)

(4-54)式中，M為抽取系數(shù)。該抽取系統(tǒng)如圖4-33所示。圖4-33下采樣的實(shí)現(xiàn)框圖圖4-33中，符號(hào)“M↓”表示抽取。進(jìn)行Z變換，可以得到：(4-55)

將z=ejω帶入，得到其DTFT(離散時(shí)間傅立葉變換)：(4-56)

式(4-56)表明，抽取后信號(hào)的頻譜為原始頻譜按最終采樣速率頻移以及M倍展寬后得到的譜的疊加和。下采樣過(guò)程中頻譜的變化如圖4-34所示。圖4-34下采樣過(guò)程中頻譜的變化(2倍抽取)如果采用簡(jiǎn)單的抽取，且沒(méi)有其他措施，則會(huì)引起頻譜的混淆現(xiàn)象，如圖4-35所示。

因此，必須采用低通濾波器進(jìn)行帶限。抽取后信號(hào)的最高頻率π就是抽取前的π/M，所以如果采用理想低通濾波器，則濾波器的截至頻率為π/M。

濾波器可以采用FIR或IIR濾波器。由于FIR濾波器沒(méi)有反饋結(jié)構(gòu)，因此在應(yīng)用時(shí)沒(méi)有必要計(jì)算所有點(diǎn)的濾波值，僅計(jì)算需要抽取點(diǎn)處的濾波值就可以了，這樣將濾波和抽取合并在一起完成，而IIR濾波器沒(méi)有這樣的優(yōu)勢(shì)。所以一般選用FIR濾波器。圖4-35下采樣過(guò)程中頻譜的混疊在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，抽取可以單級(jí)實(shí)現(xiàn)，即一次實(shí)現(xiàn)M倍抽取，但是當(dāng)抽取倍數(shù)非常大的時(shí)候，所需要的低通濾波器的階數(shù)會(huì)非常高，不宜于實(shí)現(xiàn)。在這種情況下，可以多級(jí)抽取的方式實(shí)現(xiàn)，如圖4-36所示。下面進(jìn)一步通過(guò)例題說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。圖4-36多級(jí)抽取示意圖

【例4-4】已知用Kaiser窗設(shè)計(jì)FIR濾波器的經(jīng)驗(yàn)公式為

若信號(hào)帶寬為50kHz，原有采樣速率為fs=100MHz，希望得到的目標(biāo)速率為200kHz，則抽取系數(shù)為500。現(xiàn)要求δp=δs=0.001。

若采用單級(jí)抽取，通帶最高頻率fpa為50kHz(即π/1000)，濾波器阻帶fst為100kHz(即π/500)，則

如果采用二級(jí)抽取，第一級(jí)抽取系數(shù)為50，采樣率降為

2MHz，則在第一級(jí)有阻帶最低頻率為1MHz(即π/50)，有第二級(jí)原始采樣速率為2MHz，抽取系數(shù)為10，目標(biāo)采樣率為200kHz，則第二級(jí)通帶最高頻率為50kHz(即0.05π)，阻帶最低頻率為100kHz(即π/10)，有

由此可見(jiàn)，分級(jí)抽取后，濾波器的階數(shù)大為減小，降低了對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)要求。

只要系統(tǒng)總的抽取系數(shù)不為素?cái)?shù)，就可以采用多級(jí)抽取的方式。各級(jí)抽取倍數(shù)應(yīng)該按照由大到小的順序進(jìn)行安排。例如，若抽取倍數(shù)為60，則可以分為3級(jí)進(jìn)行抽取，首先進(jìn)行5倍抽取，然后進(jìn)行4倍抽取，最后進(jìn)行3倍抽取，即保證最高的數(shù)據(jù)速率對(duì)應(yīng)最大的抽取倍數(shù)。抽取的級(jí)數(shù)以2或3級(jí)為佳。

多級(jí)抽取有一種特殊的形式，即如果抽取倍數(shù)為2的N次冪，則可以采用半帶濾波器實(shí)現(xiàn)抽取。

2.下采樣、欠采樣和過(guò)采樣的關(guān)系

欠采樣通常針對(duì)于低通采樣定理，即采樣速率低于低通采樣的Nyquist速率；過(guò)采樣通常針對(duì)于帶通采樣定理，即采樣速率大于帶通采樣的Nyquist速率；下采樣是采樣速率降低的一個(gè)過(guò)程。這樣，欠采樣可能是過(guò)采樣，過(guò)采樣也可能是欠采樣。只有已經(jīng)過(guò)采樣的信號(hào)才能進(jìn)行下采樣。下采樣的防混疊濾波器是低通濾波器，而欠采樣可能是低通濾波器，也可能是帶通濾波器。4.5.4半帶濾波器實(shí)現(xiàn)內(nèi)插和抽取半帶濾波器是具有如圖4-37所示特性的一種特殊的對(duì)稱FIR濾波器，其脈沖響應(yīng){hn}具有如下特點(diǎn)：h2p=0,p≠0

(4-57)即半帶濾波器的沖激響應(yīng)在除零點(diǎn)以外的所有偶數(shù)點(diǎn)均為0，因此，一個(gè)長(zhǎng)度為N=4M-1的半帶濾波器每計(jì)算一個(gè)濾波輸出，僅需要M+1次乘法和2M次加法，而對(duì)于常規(guī)的對(duì)稱FIR濾波器則需要2M次乘法和4M-2次加法，這樣運(yùn)算量幾乎減少了一倍。我們已知半帶濾波器具有如下特點(diǎn)：H(ejω)+H(ej(π-ω))=2h0

(4-58)一般取2h0=1

(4-59)

取fpa為通帶截止頻率，fst為阻帶截止頻率。通帶和阻帶滿足：(4-60)

若采用歸一化頻率，則通帶和阻帶滿足：(4-61)式中，為歸一化通帶截止頻率，為歸一化阻帶截止頻率。若采用數(shù)字頻率，則通帶和阻帶滿足：ωpa+ωst=π(4-62)圖4-37半帶FIR濾波器的頻率特性

這里，ωpa為通帶截止數(shù)字頻率，ωst為阻帶截止數(shù)字頻率。另外，取δp為最大通帶紋波，δa為最大阻帶紋波，有δp=δa

δp=δa

(4-63)

半帶FIR濾波器的頻率特性如圖4-37所示。

如果能將半帶濾波器用于抽取/內(nèi)插濾波器(因?yàn)槌槿?內(nèi)插濾波器都工作在高采樣率的情況下，歸一化頻率以高采樣率為參照)，則可以大大提高處理速度。

1.抽取半帶濾波器

圖4-38為抽樣率為2的抽取半帶濾波器框圖，其中，HD(z)為抽取濾波器，fs為濾波器的數(shù)據(jù)速率(以此為基準(zhǔn)計(jì)算濾波器的數(shù)字域頻率，即fs對(duì)應(yīng)數(shù)字域頻率為2π)。當(dāng)進(jìn)行2倍抽取的時(shí)候，π/2以上的高頻分量會(huì)混疊進(jìn)低頻處，為了保證抽取后不產(chǎn)生混疊，必須將頻率為π/2以上的頻率分量全部濾除。圖4-38抽取半帶濾波器如果采用半帶濾波器，那么原則上是不滿足這個(gè)條件的，因?yàn)榘霂V波器過(guò)渡帶的中點(diǎn)為π/2，它不可能將頻率為π/2以上的頻率分量全部濾除。但是有用信號(hào)位于通帶截止頻率ωpa內(nèi)，經(jīng)過(guò)2倍抽取后，能夠影響到通帶信號(hào)的混疊信號(hào)位于π-ωpa以上。根據(jù)半帶濾波器的定義可知，該位置恰好是半帶濾波器的阻帶起始頻率，所以這種有害的混疊成分可以完全被

濾除，而位于(π/2，ωst)中的分量不會(huì)被濾除，進(jìn)而產(chǎn)生混疊，但是混疊出現(xiàn)在過(guò)渡帶中，因此沒(méi)有什么影響。這就是半帶抽取濾波器的基本原理，如圖4-39所示。圖4-39抽取半帶濾波器混疊頻帶的出現(xiàn)位置(數(shù)字域頻率以高速率為基準(zhǔn))當(dāng)抽取因子為2M時(shí)，可以用M個(gè)半帶濾波器完成高倍數(shù)抽取/內(nèi)插，如圖4-40所示。圖4-40半帶濾波器多級(jí)抽取實(shí)現(xiàn)框圖

2.內(nèi)插半帶濾波器

圖4-41為內(nèi)插率為2的框圖，其中，HI(z)為內(nèi)插濾波器，fs為濾波器的數(shù)據(jù)速率(以此為基準(zhǔn)計(jì)算濾波器的數(shù)字域頻率，即fs對(duì)應(yīng)數(shù)字域頻率為2π)。當(dāng)進(jìn)行2倍內(nèi)插的時(shí)候，π/2以上的高頻分量會(huì)混疊進(jìn)低頻處，為了保證抽取后不產(chǎn)生混疊，必須將頻率為π/2以上的頻率分量全部濾除。圖4-41內(nèi)插半帶濾波器當(dāng)進(jìn)行2倍內(nèi)插時(shí)，會(huì)出現(xiàn)頻率大于π/2的鏡像頻率，這樣在內(nèi)插完成后，需要一個(gè)濾波器濾除π/2以上的成分。

如果這個(gè)濾波器采用半帶濾波器，見(jiàn)圖4-42，則信號(hào)應(yīng)該位于通帶截至頻率ωpa內(nèi)，經(jīng)過(guò)2倍內(nèi)插后，鏡像頻率應(yīng)該出現(xiàn)于π-ωpa以上。根據(jù)半帶濾波器的定義，該位置恰好是半帶濾波器的阻帶起始頻率，所以鏡像頻率可以完全被濾除。圖4-42內(nèi)插半帶濾波器鏡像頻率的出現(xiàn)位置(數(shù)字域頻率以高速率為基準(zhǔn))當(dāng)內(nèi)插因子為2M時(shí)，可以用M個(gè)半帶濾波器完成高倍數(shù)內(nèi)插，如圖4-43所示。

半帶濾波器的具體設(shè)計(jì)方法請(qǐng)參閱相關(guān)文獻(xiàn)。圖4-43半帶濾波器多級(jí)內(nèi)插實(shí)現(xiàn)框圖4.5.5級(jí)聯(lián)積分梳狀濾波器實(shí)現(xiàn)內(nèi)插和抽取

CIC濾波器即級(jí)聯(lián)積分梳狀濾波器，它是一種高效的窄帶低通數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)形式，常用于軟件無(wú)線電系統(tǒng)的內(nèi)插和抽取過(guò)程。它是兩個(gè)基本單元的級(jí)聯(lián)，這兩個(gè)基本單元是積分器和梳狀濾波器。積分器是單極點(diǎn)具有單位反饋系數(shù)的IIR濾波器，其z域的傳輸函數(shù)為

(4-64)

其基本結(jié)構(gòu)如圖4-44所示。圖4-44積分器的基本結(jié)構(gòu)梳狀濾波器其z域的傳輸函數(shù)為HCO(z)=1-z-RM

(4-65)式中：R為速率改變因子；M稱為差分延遲，可以是任何正整數(shù)，但一般限制為1或2。其基本結(jié)構(gòu)如圖4-45所示。圖4-45梳狀濾波器的基本結(jié)構(gòu)

RM=1時(shí)，功率響應(yīng)是高通，每倍頻程20dB，當(dāng)RM≠1時(shí)，功率響應(yīng)是0到2π的RM個(gè)升余弦。如果要構(gòu)成CIC濾波器，則將N個(gè)積分器和N個(gè)梳狀濾波器級(jí)聯(lián)即可，其z域響應(yīng)為(4-66)

這種濾波器在用于抽取的時(shí)候，首先級(jí)聯(lián)N個(gè)積分器，其采樣速率為fs，經(jīng)過(guò)R倍抽取，采用N個(gè)級(jí)聯(lián)的梳狀濾波器，這時(shí)樣點(diǎn)速率為fs/R，如圖4-46所示。圖4-46CIC抽取濾波器這種濾波器在用于內(nèi)插的時(shí)候，首先級(jí)聯(lián)N個(gè)梳狀濾波器，其采樣速率為fs/R，經(jīng)過(guò)R倍內(nèi)插，采用N個(gè)級(jí)聯(lián)的積分器，這時(shí)樣點(diǎn)速率為fs，如圖4-47所示。

這樣我們可以看到，作為數(shù)字濾波器，CIC濾波器具有如下特點(diǎn)：

(1)不需要乘法器，不需要系數(shù)存儲(chǔ)。

(2)與等效FIR濾波器級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)方式相比，由于在高速率狀態(tài)下進(jìn)行積分，在低速率狀態(tài)下進(jìn)行梳狀濾波，因而降低了中間存儲(chǔ)。圖4-47CIC內(nèi)插濾波器

(3)CIC濾波器非常規(guī)則，僅包括兩個(gè)基本組成。

(4)外部控制少，本地同步簡(jiǎn)單。

(5)相同的濾波器設(shè)計(jì)可以通過(guò)簡(jiǎn)單變化應(yīng)用于寬范圍速率變換系數(shù)R。

(6)積分運(yùn)算以高速率(內(nèi)插后/抽取前)完成，梳狀濾波器在低速率下(內(nèi)插前/抽取后)工作。外部同步以及控制較少。當(dāng)然，CIC濾波器也存在許多問(wèn)題：

(1)對(duì)于大的速率變換因子，存儲(chǔ)器的寬度將變大。

(2)頻率響應(yīng)完全由三個(gè)整數(shù)確定，導(dǎo)致濾波器特性受限。

CIC的主要應(yīng)用領(lǐng)域如下：

(1)在高采樣率的情況下，此時(shí)使用乘法器是不經(jīng)濟(jì)的。

(2)大的速率變換系數(shù)，大量參數(shù)需要保存的場(chǎng)合。

(3)快速脈沖響應(yīng)產(chǎn)生的情況。下面具體了解一下CIC濾波器的工作狀況。我們首先來(lái)了解CIC濾波器的頻率響應(yīng)。

CIC濾波器的限制因素就是存儲(chǔ)器的長(zhǎng)度，頻率響應(yīng)完全由(R，M，N)控制，由于梳狀濾波器工作在低速率部分，樣點(diǎn)速率為fs/R，因此取以fs/R進(jìn)行歸一化頻率為f′，令(4-67)則式(4-66)為(4-68)(4-69)

CIC濾波器的頻率響應(yīng)如圖4-48所示。圖4-48CIC濾波器的頻率響應(yīng)相應(yīng)的功率響應(yīng)為(4-70)

功率零點(diǎn)就在f′=k/M處，k為整數(shù)。若M=1，則就在k處。關(guān)于在抽取和內(nèi)插情況下CIC的工作狀況，下面分別予以說(shuō)明。

1.抽取CIC濾波器

CIC濾波器的頻率響應(yīng)如圖4-48所示，其目的是作為防混疊濾波器濾除混疊成分。在進(jìn)行抽取的時(shí)候，抽取后的采樣速率為fs/