分類加法計數(shù)原理512分步乘法計數(shù)原理課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第五章計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理問題1從甲地到乙地，可以乘飛機，可以乘火車，也可以乘輪船，還可以乘汽車.每天有2個班次的飛機，有4個班次的火車，有2個班次的輪船，有1個班次的汽車.那么，乘坐以上交通工具中的一種從甲地到乙地，在一天中共有多少種選擇呢？解：共有乘飛機、火車、輪船、汽車4類辦法，每類辦法中分別又有2，4，2，1種方法.于是，乘坐以上交通工具從甲地到乙地，共有2+4+2+1＝9種方法.

一

分類加法計數(shù)原理問題2春節(jié)到了，某同學(xué)要與父母一起參加家庭聚會.（1）她有3件不同的上衣，4條不同的褲子，如果把1件上衣和1條褲子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？（2）她還有5雙不同的鞋子，如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？分析

（1）我們先看褲子的選擇方法數(shù)，有4條不同的褲子，則有4種選擇方法；每一條褲子對應(yīng)3件不同的上衣，如圖.因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12種搭配方法.（2）由題意知還有5雙不同的鞋子，且每一雙鞋子對應(yīng)的褲子和上衣的搭配方法有12種，如圖.因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有

N＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60種搭配方法.二

分步乘法計數(shù)原理

例1

在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個？分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用解：分5類：當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個；當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個；當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個；同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個，當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個.由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25（個）.分類加法計數(shù)原理解題思路：例2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用從-1、0、1、2中任選2個不同的數(shù)作為點的直角坐標(biāo)，可以作出多少個點的坐標(biāo)？解：分兩步：第一步從四個數(shù)中取出一個數(shù)作為點的橫坐標(biāo)，共有4種可能，第二步，從剩下的三個數(shù)中再取一個數(shù)做為點的縱坐標(biāo)，共有3種可能，因此從、0、1、2中任選2個不同的數(shù)作為點的直角坐標(biāo)，可以作出4×3=12個點的坐標(biāo).方法歸納分步乘法計數(shù)原理解題思路:(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．每個步驟缺一不可!常見題型1、行程問題從甲地到乙地，每天有火車6次,公交大客車14次，小客車23次.某人在一天中乘坐上述交通工具，從甲地到乙地有多少種不同的走法？從學(xué)校乘公共汽車去市圖書館，必須在市政府站轉(zhuǎn)車.從學(xué)校到市政府站共有4種公共汽車可乘坐，從市政府站到圖書館有6種公共汽車可以乘坐.從學(xué)校到圖書館有多少種乘車方案?分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理從甲組的40件產(chǎn)品與乙組的20件產(chǎn)品中，抽出一件進行質(zhì)量檢測，共有多少種抽取方法？2、抽拿問題總共抽一件兩個袋子中分別裝有3個紅色球和3個白色球，從中取出一個紅色球和一個白色球，共有多少種方法？各抽一件分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理3、排（填）數(shù)字問題用數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個三位數(shù)？畫好空格，將數(shù)字逐一填入格子中變：用數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個三位數(shù)？（數(shù)字不重復(fù)）4、分配問題將4個不同的小球放入3個不同的盒子中，不同的方法有多少種？將3封信放入4個不同的信箱中，不同的方法有多少種？5本不同的畫冊分給3人，每人限得一本，不同的方法有多少種？例3高二（1）班、（48）班、（62）班分別有7，5，9人參加創(chuàng)新技能大賽筆試．(1)如果選一人當(dāng)組長，那么有多少種不同的選法？(2)如果老師任組長，每班選一名副組長，那么有多少種不同的選法？(3)如果推選兩名學(xué)生參賽，要求這兩人來自不同的班級，那么有多少種不同的選法？

兩個計數(shù)原理的應(yīng)用解：（1）選一人當(dāng)組長可分三類方案完成，第一類，組長從（1）班選出，有7種選法、第二類，組長從（48）班選出，有5種選法、第三類，組長從（62）班選出，有9種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，選一人當(dāng)組長有7+5+9=21種選法；（2）如果老師任組長，每班選一名副組長，則需要分三步，第一步，從（1）班選一名同學(xué)擔(dān)任副組長，有7種選法，第二步，從（48）班選一名同學(xué)擔(dān)任副組長，有5種選法，第三步，從（62）班選一名同學(xué)擔(dān)任副組長，有9種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，每班選一名副組長共有7×5×9=315種選法；（3）推選兩名學(xué)生參賽，要求這兩人來自不同的班級，可分為三類方案，第一類，若兩人來自（1）班和（48）班，有7×5=35種選法；第二類，若兩人來自（1）班和（62）班，有7×9=63種選法；第三類，若兩人來（48）班和（62）班，有5×9=45種選法；綜上可知，這兩人來自不同的班級的不同的選法有35+63+45=143種選法.

方法歸納應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.1．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有“關(guān)懷老人”“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項．則四名同學(xué)的報名情況共有（

）A．81種

B．64種

C．24種

D．12種A2．垃圾分類是保護環(huán)境、改善人居環(huán)境、促進城市精細化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措，現(xiàn)將3袋垃圾隨機投入4個不同的垃圾桶，則不同的投法有（

）A．7種

B．12種

C．64種

D．81種C3.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法?根據(jù)會英語的人中是否含甲，分兩類.解：由題意知，有1人既會英語又會日語，記為甲，6人只會英語，2人只會日語.第一類：不含甲，從只會英語的6人中選1人有6種選法，從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類：含甲，從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18+2=20(種)選法.復(fù)雜問題先分類后分步.兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.