浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則的子集個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，所以，的元素個(gè)數(shù)為，的子集個(gè)數(shù)是.故選：C.2.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】B【解析】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度.故選：B.3.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不妨取，，則，所以，“”“”，另一方面，當(dāng)時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知菱形的邊長為1，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】，所以.故選：D.5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，在(或其子集)上為偶函數(shù)，恒成立，恒成立，故選：A.6.某試驗(yàn)小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長率生長.若經(jīng)過周后，該植物的長度是原來的倍，則再經(jīng)過周，該植物的長度大約是原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】設(shè)植物原來的長度為，經(jīng)過周后，該植物的長度為原來的倍，即，即，即，再過周后該植物的長度為，因此，再經(jīng)過周，該植物的長度大約是原來的倍.故選：C.7.已知函數(shù).若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，對任意的，，故對任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，，函?shù)為奇函數(shù)，令，則函數(shù)在上增函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，可得，所以，，所以，，即，令，當(dāng)時(shí)，則有，顯然成立；當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，解得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，相加得，又因?yàn)?，所以，?dāng)代入得，即，代入得，即，即；當(dāng)代入得，即，代入得，即，即；因?yàn)樵谏蠜]有最小值，設(shè)，則，所以，的最大值是6.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列式子化簡正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.10.已知邊長為的正邊形.若集合且，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：則，，，同理可得，，，故時(shí)，，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：，，，此時(shí)，，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，連接，則，如下圖所示：易知正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都為，則，故，則，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故當(dāng)時(shí)，，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)正六邊形的中心為，如下圖所示：易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為，則，故，所以，，，則，由正六邊形的幾何性質(zhì)可得，則，則，結(jié)合圖形可知，故，因此，當(dāng)時(shí)，，D對.故選：ACD.11.若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是0D.的最大值是【答案】BCD【解析】若，則，，，即，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，可得，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對于C，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值是，故D正確.故選：BCD.12.下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)榫粸?，且，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且，，可得，即，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，可得，且，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：對于與，如圖所示，可知當(dāng)時(shí)，則，令，可得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).會(huì)徽的幾何圖形如圖2所示，設(shè)弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形的面積為，扇形的面積為.若，則__________.【答案】2【解析】設(shè)扇形的面積為，，則，所以，即，所以.故答案為：2.14.與向量共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是__________________.【答案】或【解析】因?yàn)?，，所以與向量共線的單位向量為，所以向量共線的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是或.故答案為：或.15.已知函數(shù)在上既有最大值，又有最小值.若，則______，______.【答案】0【解析】對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，它在上沒有最大值，也沒有最小值，所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，所以，其值域?yàn)?，由得，，，，其中，所以，因?yàn)?，所以，所以，兩邊平方得，因?yàn)?，根?jù)題意可得的解集為，所以為方程的根，所以，所以，解得.故答案為：0.16.設(shè)函數(shù)，若對任意，都存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)在、上的值域分別為、，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，則，①當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，由題意可知，，則，解得，此時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，此時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，與矛盾，此時(shí)，不存在，綜上所述，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求解下列各題：（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.解：（1）原式.（2）因?yàn)?，所以，所以，所?18.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）若選①，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選②，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選③，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知向量.（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)在上有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，或，即的取值范圍是.20.已知一個(gè)半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.如果以水輪上點(diǎn)從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)位置）開始計(jì)時(shí)，記點(diǎn)距離水面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為.（1）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一周內(nèi)，求點(diǎn)距離水面高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；（2）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一周內(nèi)，求點(diǎn)在水面下方的時(shí)間段.解：（1）由題意知的最大值為，最小值為，所以，，解得，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即，可得，又，所以，所以，.（2）令，得，由，得，所以，解得，即在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)在水面下方的時(shí)段是秒到秒.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）定義域?yàn)?，由題知，即，化簡得，即對任意恒成立，得.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁綄愠闪?，所以①，且②對恒成立，由①得，②即對恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以，綜上：的取值范圍是.22.已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，在上單