2024-2025學年高中數(shù)學第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入本章小結(jié)學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-第三章本章小結(jié)一、復數(shù)的概念及分類復數(shù)的概念是復數(shù)的基本內(nèi)容，是解決復數(shù)問題的基礎(chǔ)．在解決與復數(shù)概念相關(guān)的問題時，復數(shù)問題實數(shù)化是求解的基本策略，“橋梁”是設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，依據(jù)是“兩個復數(shù)相等的充要條件”．此外，這類問題還常以方程的形式出現(xiàn)，與方程的根有關(guān)，這時將已知根代入(或設(shè)出后代入)，利用復數(shù)相等的充要條件再進行求解．【例1】已知m∈R，復數(shù)z＝eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，當m為何值時，(1)z∈R；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對應(yīng)的點位于復平面的其次象限；(4)z對應(yīng)的點在直線x＋y＋3＝0上．【解】(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故當m＝－3時，z∈R.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm－2,m－1)＝0，,m2＋2m－3≠0，))解得m＝0或m＝2.∴當m＝0或m＝2時，z為純虛數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm－2,m－1)<0，,m2＋2m－3>0，))解得m<－3或1<m<2，故當m<－3或1<m<2時，z對應(yīng)的點位于復平面的其次象限．(4)由eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得eq\f(mm2＋2m－4,m－1)＝0.解得m＝0或m＝－1±eq\r(5).∴當m＝0或m＝－1±eq\r(5)時，z對應(yīng)的點在直線x＋y＋3＝0上．【評析】駕馭復數(shù)的分類是解此題的關(guān)鍵，復數(shù)與復平面上的點是一一對應(yīng)的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，為解決形或數(shù)的問題供應(yīng)了一條重要思路．二、復數(shù)的幾何意義1．復數(shù)的幾何意義包括三個方面：復數(shù)的表示(點和向量)、復數(shù)的模的幾何意義及復數(shù)運算的幾何意義．復數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學思想方法，即通過幾何圖形來探討代數(shù)問題．2．任何一個復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)一點Z(a，b)對應(yīng)，而任一點Z(a，b)又可以與以原點為起點，點Z(a，b)為終點的向量eq\o(OZ,\s\up16(→))對應(yīng)，這些對應(yīng)都是一一對應(yīng)，由此得到復數(shù)的幾何解法，特殊留意|z|、|z－a|的幾何意義——距離．3．復數(shù)加、減法幾何意義的實質(zhì)就是平行四邊形法則和三角形法則．由減法的幾何意義知|z－z1|表示復平面上兩點Z、Z1間的距離．4．復數(shù)形式的基本軌跡：(1)當|z－z1|＝r，表示復數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以z1對應(yīng)的點為圓心，半徑為r的圓；單位圓|z|＝1.(2)當|z－z1|＝|z－z2|，表示以復數(shù)z1、z2的對應(yīng)點為端點的線段的垂直平分線．(3)當|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|>0)，則表示以復數(shù)z1、z2的對應(yīng)點為焦點的橢圓．(4)當||z－z1|－|z－z2||＝2a(0<2a<|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|)，則表示以復數(shù)z1、z2的對應(yīng)點為焦點的雙曲線．【例2】已知復數(shù)z的模為2，則|z－i|的最大值為()A．1 B．2C.eq\r(5) D．3【分析一】∵|z|＝2，要求|z－i|的最大值，可干脆應(yīng)用模的性質(zhì)：|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.【分析二】要求|z－i|的最值可設(shè)ω＝z－i，則z＝ω＋i變?yōu)榍髚ω|的最大值，依據(jù)ω的幾何意義即可求．【解析】解法一：∵|z|＝2，∴|z－i|≤|z|＋|i|＝2＋1＝3.解法二：設(shè)ω＝z－i，則ω＋i＝z.∴|ω＋i|＝|z|＝2.ω表示以點(0，－1)為圓心，以2為半徑的圓，由下圖可知，圓上到原點的距離以|OP|為最大，最大值是3.【答案】D【評析】求模的最值要想到模的幾何意義的應(yīng)用，這時，圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性．【例3】已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應(yīng)的復數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點C所對應(yīng)的復數(shù)z.【解】設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，如圖．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(－32＋42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－5,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3,y2＝4)).∵|OA|≠|(zhì)BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.三、復數(shù)的四則運算歷年高考對復數(shù)的考查，主要集中在復數(shù)的運算，尤其是乘除運算上，嫻熟駕馭復數(shù)的乘法法則和除法法則，熟識常見的結(jié)論是快速精確求解的關(guān)鍵．復數(shù)的加法與減法運算有著明顯的幾何意義，因此有些問題可結(jié)合加法與減法的幾何意義進行求解．【例4】已知復數(shù)z1＝2－3i，z2＝eq\f(15－5i,2＋i2).求(1)eq\x\to(z)1·z2；(2)eq\f(\x\to(z)1,z2).【解】z2＝eq\f(15－5i,2＋i2)＝eq\f(15－5i,3＋4i)＝eq\f(15－5i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－75i,25)＝1－3i.(1)eq\x\to(z)1·z2＝(2＋3i)·(1－3i)＝2－6i＋3i＋9＝11－3i.(2)eq\f(\x\to(z)1,z2)＝eq\f(2＋3i,1－3i)＝eq\f(2＋3i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(－7＋9i,10)＝－eq\f(7,10)＋eq\f(9,10)i.【評析】在進行復數(shù)的除法運算時，一般采納“分母實數(shù)化”的方法，即將分子、分母均乘以分母上的復數(shù)的共軛復數(shù)，依據(jù)z·eq\x\to(z)＝|z|2將分母化為實數(shù)，再將分子上的兩復數(shù)相乘綻開整理即可．四、共軛復數(shù)與復數(shù)的模共軛復數(shù)與復數(shù)的模是復數(shù)中兩個重要的概念，在解決有關(guān)復數(shù)問題時，除用共軛復數(shù)定義與模的計算公式解題外，也常用下列結(jié)論簡化解題過程：1．z∈R?eq\x\to(z)＝z；2．z≠0，z為純虛數(shù)?eq\x\to(z)＝－z.【例5】設(shè)復數(shù)z滿意4z＋2eq\x\to(z)＝3eq\r(3)＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范圍．【解】設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.代入4z＋2eq\x\to(z)＝3eq\r(3)＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3eq\r(3)＋i，即6a＋2bi＝3eq\r(3)＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝\f(1,2).))∴z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i.|z－ω|＝|eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i－(sinθ－icosθ)|＝eq\r(\f(\r(3),2)－sinθ2＋\f(