5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)（知識梳理+例題+變式+練習）（解析版）

倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)要點一幾個常用函數(shù)的導數(shù)函數(shù)導數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝要點二基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝-sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝【重點小結】(1)幾個基本初等函數(shù)導數(shù)公式的特點①正、余弦函數(shù)的導數(shù)可以記憶為“正余互換，(符號)正同余反”．②指數(shù)函數(shù)的導數(shù)等于指數(shù)函數(shù)本身乘以底數(shù)的自然對數(shù)．③對數(shù)函數(shù)的導數(shù)等于x與底數(shù)的自然對數(shù)乘積的倒數(shù)．(2)函數(shù)與其導函數(shù)奇偶性的關系①常數(shù)的導數(shù)是0.②奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)．③偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)．【基礎自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).()(2)(log3x)′＝eq\f(1,3lnx).()(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).()(4)若y＝e3，則y′＝e3.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多選題)下列導數(shù)運算正確的是()A．(lnx)′＝xB．(ax)′＝xax－1C．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－5x－6【答案】CD【解析】由導數(shù)公式得C、D正確．3．曲線y＝ex在點A(0,1)處的切線方程是()A．x＋y＋1＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－2＝0【答案】C【解析】y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切線斜率為1，又切點為A(0,1)，故切線方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.4．函數(shù)f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________.【答案】1【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.題型一利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝eq\r(x\r(x\r(x)))；(4)y＝log5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(6)y＝sineq\f(π,6)；(7)y＝lnx；(8)y＝ex.【解析】(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln3；(3)y＝eq\r(x·\r(x·x\f(1,2)))＝eq\r(x\r(x\f(3,2)))＝eq\r(x·x\f(3,4))＝x，∴y′＝eq\f(7,8)x；(4)y′＝eq\f(1,xln5)；(5)y＝sinx，y′＝cosx；(6)y′＝0；(7)y′＝eq\f(1,x)；(8)y′＝ex.不能用基本初等函數(shù)公式直接求導的，應先化為基本初等函數(shù)再求導．【方法歸納】求簡單函數(shù)的導數(shù)有兩種基本方法(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁雜；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度．解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結構進行調整，再選擇合適的求導公式．【跟蹤訓練1】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝lgx；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.【解析】(1)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10).(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.(3)y′＝(xeq\r(x))′＝(x)′＝eq\f(3,2)x＝eq\f(3,2)eq\r(x)；(4)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.題型二利用導數(shù)公式求曲線的切線方程【例2】已知曲線y＝lnx，點P(e,1)是曲線上一點，求曲線在點P處的切線方程．【解析】∵y＝lnx，∴y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq\f(1,e)，即切線斜率為eq\f(1,e).∴切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.【變式探究】本例中的曲線不變，求過點(0,0)的切線方程．【解析】因為點(0,0)不在曲線上，所以設切點Q(a，b)．則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝a＝eq\f(1,a)，又k＝eq\f(b－0,a－0)＝eq\f(b,a)，且b＝lna∴a＝e，b＝1，∴切線方程為x－ey＝0.【方法歸納】(1)求過點P的切線方程時應注意，P點在曲線上還是在曲線外，兩種情況的解法是不同的；(2)解決此類問題應充分利用切點滿足的三個關系：一是切點坐標滿足曲線方程；二是切點坐標滿足對應切線的方程；三是切線的斜率是曲線在此切點處的導數(shù)值．【跟蹤訓練2】已知點P(－1,1)，點Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點，求與直線PQ垂直的曲線y＝x2的切線方程．【解析】∵y′＝(x2)′＝2x，設切點為M(x0，y0)，則y′|＝2x0，又∵直線PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線垂直于直線PQ，∴2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2)，所以切點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0.易錯辨析混淆冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)求導公式致錯【例3】曲線f(x)＝2x在點(0,1)處的切線方程為________．【答案】y＝xln2＋1【解析】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，∴f′(0)＝ln2故所求切線方程為y－1＝(x－0)ln2即y＝xln2＋1.【易錯警示】1.出錯原因記錯導數(shù)公式(ax)′＝axlna，與冪函數(shù)y＝xα的求導公式混淆.2.糾錯心得利用導數(shù)公式求導時，應先弄清是指數(shù)函數(shù)，還是冪函數(shù).一、單選題1．若函數(shù)（其中a為參數(shù)）在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調性建立不等式，將問題轉化為不等式恒成立問題，進而求解參數(shù)的值.【解析】根據(jù)題意，

在R上單調遞增在R上恒成立

令，，則可寫為根據(jù)題意在上的最小值非負解得，所以選項B正確故選：B.2．已知函數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對函數(shù)求導，然后求出即可【解析】由，得，所以，故選：D3．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導數(shù)的運算可得出關于的方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進而可求得的值.【解析】因為，則，所以，，所以，，故，因此，.故選：C.4．函數(shù)的導數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復合函數(shù)的求導法則，乘法公式的求導法則及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式對函數(shù)求導即可.【解析】因為，所以.故選：D.5．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則計算可得；【解析】解：.故選：C.6．函數(shù)在和處的導數(shù)的大小關系是（）A． B．C． D．不能確定【答案】A【分析】求出函數(shù)導數(shù)即可比較.【解析】，，所以，即.故選：A.7．給出下列命題：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】利用求導公式和法則逐個分析判斷即可【解析】①中為常數(shù)函數(shù)，故，故①錯誤；對于②，∵，∴，故②正確；顯然③④正確.故選：C.8．下列導數(shù)運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用求導公式和法則逐個分析判斷即可【解析】因為，，，，所以選項A，B，C均不正確，選項D正確，故選：D.二、多選題9．（多選）以下運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，依次計算判斷即可【解析】對于A，因為，所以A不正確；對于B，因為，所以B正確；對于C，因為，所以C正確；對于D，因為，所以D不正確.故選：BC.10．下列求導運算不正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則求解.【解析】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選：ACD11．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接根據(jù)導數(shù)的運算公式計算即可.【解析】對于A，，故錯誤；對于B，，故錯誤；對于C，，故正確；對于D，，故正確．故選：CD.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．對于三次函數(shù)給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心。給定函數(shù)；，請你根據(jù)上面探究結果，計算__________．【答案】【分析】對已知函數(shù)兩次求導數(shù)，由題意可得函數(shù)關于點，對稱，即，從而即可得答案．【解析】解：由題意，，，由，得，解得，而，所以函數(shù)關于點，對稱，所以，.故答案為：.13．已知函數(shù)，則的值為______．【答案】【分析】先對函數(shù)求導，然后令代入導函數(shù)中求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，進而可求出的值【解析】由，得，令，則，解得，所以，所以，故答案為：14．已知，，若，則________.【答案】##【分析】對與求導后代入題干中的條件，列出方程，求出x的值.【解析】函數(shù)的導數(shù)公式可知，，由得，即，解得.故答案為：四、解答題15．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）.（3）；（4）；（5）y＝.（6）；（7）；（8）；（9）y＝.（10）（11）（12）.【答案】（1）（2）（