廣東省深圳市坪山區(qū)坪山中學2021-2022學年九年級上學期第一次月考數學試題（解析版）

坪山區(qū)坪山中學2021－2020學年第一學期九年級第一次月考數學試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.若，則（）A.3 B.－3 C. D.81【答案】C【解析】【分析】利用平方根定義開方即可求出解．【詳解】解：∵x2=9，∴x=故選：C．【點睛】本題考查了平方根，解題的關鍵是掌握平方根的定義．2.若是關于x的一元二次方程的一個解，則m的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x=2代入一元二次方程得到關于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【詳解】解：把x=2代入方程x2-mx+8=0得4-2m+8=0，解得m=6．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．3.在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，則下列不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（）A.B.C，，D.，，【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B、∵OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵∠B+∠C=180°，∴∠A+∠D=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOB=∠BOC=90°，∴AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定等知識；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定是解題的關鍵．4.用配方法解方程時，原方程應變形為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法解出方程即可．【詳解】解：＋2x＝5＋2x＋1＝5＋1，故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．5.某種植基地2016年蔬菜產量為80噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率，設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A.80（1+x）2=100 B.100（1﹣x）2=80 C.80（1+2x）=100 D.80（1+x2）=100【答案】A【解析】【分析】利用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設平均每次增長的百分率為x，根據“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．【詳解】由題意知，蔬菜產量的年平均增長率為x，根據2016年蔬菜產量為80噸，則2017年蔬菜產量為80（1+x）噸，2018年蔬菜產量為80（1+x）（1+x）噸，預計2018年蔬菜產量達到100噸，即：80（1+x）2=100，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用（增長率問題）．解題的關鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產量的代數式，根據條件找準等量關系式，列出方程．6.菱形具有而矩形不一定具有的性質是()A.內角和等于360° B.對角相等 C.對邊平行且相等 D.對角線互相垂直【答案】D【解析】【分析】根據菱形的性質及矩形的性質，結合各選項進行判斷即可得出答案．【詳解】∵菱形與矩形都是平行四邊形，A，B，C是平行四邊形的性質，

∴二者都具有，故此三個選項都不正確，

由于菱形的對角線互相垂直且平分每一組對角，而矩形的對角線則相等，

故選D．7.如圖，在中，DE平分，，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據平行四邊形的性質得出AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，根據平行線性質求出∠ADE＝∠DEC，根據角平分線定義求出∠ADE＝∠CDE，推出∠CDE＝∠DEC，推出CE＝DC，求出CD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴CE＝DC，∵BC＝8，BE＝3，∴CD＝CE＝8?3＝5，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出CD的長，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，難度適中．8.已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式Δ=b2-4ac＞0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．【詳解】解：∵a=1，b=-2，c=k-1，∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(k-1)=8-4k，∵方程x2-2x+k-1=0有兩個不相等的實數根，∴8-4k＞0，解得k＜2，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式Δ的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．9.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E是邊CD的中點，F在BC邊上，且，連接EF，則BF的長為（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】把△ABF繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，首先證明△AFE≌△AGE，進而得到EF＝FG，問題即可解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，點E、D、G共線，在△AFE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E為CD的中點，邊長為6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴設BF＝x，則CF＝6?x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故選：A．【點睛】本題考查了正方形性質、全等三角形的判定及其性質的應用，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．10.如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：①；②；③．其中正確的結論有（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根據正方形的性質得，，然后利用ASA證明即可判斷①正確，根據全等三角形的性質得AP=AM，從而得出是等腰直角三角形，則，同理可得，即可得，根據正方形的性質得是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質和正方形的對角線相等即可得，即可判斷②錯誤；判斷四邊形PEDF是矩形，根據矩形的性質得PF=OE，再根據勾股定理即可得，故可判斷③正確，即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，,∵，，∴，，在和中，∴（ASA），故①正確，∴AP=AM，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，∴（ASA），∴BP=BN，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故②錯誤；∵，，，∴，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在中，根據勾股定理得，，∴，故③正確，綜上，正確的結論由①③，故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，矩形的判定與性質和勾股定理，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點．二．填空題（每題3分，共15分）11.已知m是關于x的方程的一個根，則＝______．【答案】6【解析】【詳解】解：∵m是關于x的方程的一個根，∴，∴，∴=6，故答案為6．12.如圖，在菱形ABCD中，，，則菱形ABCD的面積是_________．【答案】18【解析】【分析】根據菱形的對角線平分對角求出∠ABC＝60°，過點A作AE⊥BC于E，可得∠BAE＝30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE，再利用勾股定理得到AE＝3，然后利用菱形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：過點A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，BC=AB=6，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝90°－60°＝30°，∴BE＝AB＝3，在Rt△ABE中，AE＝，∴菱形ABCD的面積是6×3＝18，故答案為：18．【點睛】本題考查了菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質及勾股定理，作輔助線求出菱形的高是解題的關鍵．13.如圖，某小區(qū)有一塊長為36m，寬為24m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為______m．【答案】2【解析】【分析】設人行道的寬度為x米，根據矩形綠地的面積之和為600m2，列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：設人行道的寬度為x米，根據題意得，（36-3x）（24-2x）=600，化簡整理得，（12-x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合題意，舍去）．答：人行通道的寬度是2m．故答案為2．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，利用兩塊相同的矩形綠地面積之和為600m2得出等式是解題關鍵．14.如圖，在中，，，，現有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．當____s時，的面積為16cm2【答案】1或4##4或1【解析】【分析】若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，依題意得：（20-4t）×2t=16，整理得：t2-5t+4=0，解得：，答：當t=1或4s時，△CPQ的面積為16cm2．故答案為：1或4．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15.如圖，四邊形ABCD為矩形，，，點E是AD所在直線的一個動點，點F是對角線BD上的動點，且，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】延長至使得，連接，證明，進而可得，從而可得的最小值為的長，勾股定理求解即可．【詳解】如圖，延長至使得，連接，四邊形是矩形，，，在與中，，，在中，，，，在中，，，的最小值是．故答案：．【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形全等的性質與判定，勾股定理，添加輔助線是解題的關鍵．三．解答題（共55分）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將常數項移到等號的右邊，進而根據直接開平方解一元二次方程即可；（2）根據配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）；解得；（2）．解得．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解題的關鍵．17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用公式法解方程；（2）分解因式得出（x-3）（x-3+2）=0，推出x-3=0，x-1=0，求出方程的解即可．【詳解】解：（1）3x2+8x?3=0，∵，，，∴100，∴，∴；（2）(x?3)2=2(3?x)，∴(x?3)2+2(x?3)=0，∴(x?3)(x?3+2)=0，∴x?3=0，x?1=0，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．18.校園前門花園上有一面墻，長度為12m，地鐵施工，需要隔離部分矩形地塊，用長為26m的籬笆和這面墻圍成80m2的矩形，如圖所示，求圍成矩形的長，寬分別為多少？【答案】長為10米，寬為8米.【解析】【分析】設ABx，則BC為（26-2x），然后建立方程，即可計算得到答案.【詳解】解：設AB為x，則BC為（26-2x），則，整理得：，解得：，當x=5時，BC=>12，不符合題意，舍去；當x=8時，BC=26-28=10<12，∴AB=8，BC=10；即矩形的長為10m，寬為8m.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．19.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發(fā)現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為________件；（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元.【解析】【分析】（1）根據銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降價3元，則平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天銷售數量為20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可．【詳解】（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為20+2×3=26件．（2）設每件商品應降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．根據題意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20應舍去，∴x=10．答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數量關系：平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵．20.如圖，已知中，，CE是的中線，連接CE，分別過點A，C作CE和AB的平行線相交于點D．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若，，求菱形AECD的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據題意由可得四邊形是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得進而可得四邊形是菱形；（2）連接根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據勾股定理求得，根據菱形的面積公式即可求得．【詳解】（1），四邊形是平行四邊形，，CE是的中線，，四邊形是菱形；（2）如圖，連接，，，，在中，，四邊形是菱形，，，，四邊形是平行四邊形，，菱形的面積．【點睛】本題考查了菱形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，掌握菱形的性質與判定是解題的關鍵．21.閱讀下列材料：求函數的最大值．解：將原函數轉化成x的一元二次方程，得．∵x為實數，∴△＝＝﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．根據材料給你的啟示，求函數的最小值．【答案】【解析】【分析】根據材料內容，可將原函數轉換為，繼而根據△≥0，即可得出y的最小值．【詳解】解：將原函數轉化成x的一元二次方程，得，∵x為實數，∴，∴，因此y的最小值為．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，正確理解材料中的解題方法和思路是解題的關鍵．22.綜合與實踐：如圖1，已知△ABC，AB=AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點．（1）觀察猜想在圖1中，線段PM與QM的數量關系是；（2）探究證明當∠BAC=60°，把△ADE繞點A順時針方向旋轉到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸當∠BAC=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，再連接BE，再取BE的中點N，把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，如圖3，①請你判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由；②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值．【答案】（1）PM=MQ，理由見解析；（2）△PQM是等腰三角形，理由見解析；（3）①四邊形PMQN是正方形，理由見解析；②正方形PMQN的面積的最大值為．【解析】【分析】（1）首先證明BD=CE，再利用三角形中位線定理解決問題即可；（2）結論：△PQM是等腰三角形．連接EC，BD．利用全等三角形的性質證明BD=EC，再利用三角形的中位線定理解決問題即可；（3）①結論：四邊形PMQN是正方形．連接BD，EC，延長CE交BD于點H，交AB于點O．證明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD=CE，∠