《行列式按行展開》課件

行列式按行展開課程大綱行列式的定義行列式按行展開的概念行列式按行展開的一般公式行列式按行展開的應(yīng)用行列式的定義1方陣行列式是一個(gè)由數(shù)字組成的方陣，用兩條豎線將方陣?yán)ㄆ饋怼?元素每個(gè)方陣中的數(shù)字稱為元素，按行和列排列。3值行列式代表一個(gè)數(shù)值，表示方陣的某些屬性。行列式按行展開的概念按行展開將一個(gè)行列式按某一行展開，即將該行元素分別乘以相應(yīng)的代數(shù)余子式，并將結(jié)果相加。代數(shù)余子式一個(gè)元素的代數(shù)余子式是指將該元素所在的行和列劃去后，剩下的行列式的值，再乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分別是該元素所在的行號(hào)和列號(hào)。行列式按行展開的一般公式公式：n階行列式A按第i行展開的公式為：具體解釋：det(A)等于第i行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。2x2行列式的按行展開1展開第一行a11*a22-a12*a212展開第二行a21*a12-a22*a113x3行列式的按行展開展開公式用第一行展開，則3x3行列式等于第一行元素分別乘以與其對(duì)應(yīng)元素的余子式，再將結(jié)果分別乘以正負(fù)號(hào)相間。余子式每個(gè)元素的余子式是指去掉該元素所在的行和列后，剩余元素組成的2x2行列式的值。符號(hào)正負(fù)號(hào)相間，第一行第一個(gè)元素對(duì)應(yīng)正號(hào)，第二個(gè)元素對(duì)應(yīng)負(fù)號(hào)，第三個(gè)元素對(duì)應(yīng)正號(hào)。重要性質(zhì)一：余子式的定義定義在n階行列式中，將第i行第j列元素aij所在的行列劃去后，剩余的(n-1)階行列式稱為aij的余子式，記為Mij。例子例如，在三階行列式|A|=a11a12a13a21a22a23a31a32a33中，元素a22的余子式為M22=a11a13a31a33。重要性質(zhì)二：行列式的線性性關(guān)于某一行行列式關(guān)于某一行是線性的關(guān)于某一列行列式關(guān)于某一列也是線性的重要性質(zhì)三：行列式的遞推性質(zhì)遞推公式n階行列式可以根據(jù)(n-1)階行列式進(jìn)行遞推計(jì)算。這使得我們可以將復(fù)雜的高階行列式分解為更簡單的低階行列式。應(yīng)用通過遞推性質(zhì)，我們可以逐步簡化行列式的計(jì)算過程，最終將其轉(zhuǎn)化為易于求解的低階行列式。如何選擇合適的行進(jìn)行展開包含零元素選擇包含零元素的行進(jìn)行展開，可以簡化計(jì)算，減少運(yùn)算量。簡單系數(shù)選擇系數(shù)簡單的行進(jìn)行展開，可以避免復(fù)雜計(jì)算，提高效率。行列式按行展開的應(yīng)用案例1利用行列式按行展開，可以方便地計(jì)算一些特殊矩陣的行列式，比如對(duì)角矩陣，三角矩陣等。同時(shí)，還可以用它來計(jì)算矩陣的逆矩陣，以及求解線性方程組。例如，我們可以利用行列式按行展開來計(jì)算以下矩陣的行列式:|123||456||789|行列式按行展開的應(yīng)用案例2利用行列式按行展開的性質(zhì)，可以計(jì)算一些特殊矩陣的行列式，例如三角矩陣。三角矩陣是指主對(duì)角線以下或以上元素均為零的矩陣。三角矩陣的行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積。例如，計(jì)算以下三角矩陣的行列式：|123||045||006|根據(jù)行列式按行展開的性質(zhì)，該矩陣的行列式等于：1*|45|=1*(4*6-5*0)=24|06|行列式按行展開的應(yīng)用案例3求解線性方程組。行列式按行展開可以用來求解線性方程組的解。例如，對(duì)于一個(gè)三元一次方程組，我們可以使用行列式按行展開的方法求解其系數(shù)矩陣的行列式，進(jìn)而利用克萊姆法則求解方程組的解。考察重難點(diǎn)一：2x2矩陣求逆1行列式計(jì)算矩陣的行列式。確保準(zhǔn)確無誤，這是求逆矩陣的基礎(chǔ)。2伴隨矩陣找到矩陣的伴隨矩陣。這涉及到計(jì)算矩陣的每個(gè)元素的代數(shù)余子式。3逆矩陣?yán)眯辛惺胶桶殡S矩陣求解矩陣的逆矩陣。注意逆矩陣的定義和性質(zhì)?？疾熘仉y點(diǎn)二：3x3矩陣求逆公式應(yīng)用運(yùn)用行列式按行展開的公式，計(jì)算3x3矩陣的行列式。伴隨矩陣求解3x3矩陣的伴隨矩陣，需要計(jì)算每個(gè)元素的余子式。逆矩陣計(jì)算利用伴隨矩陣和行列式，計(jì)算3x3矩陣的逆矩陣?？疾熘仉y點(diǎn)三：一般n階矩陣求逆伴隨矩陣伴隨矩陣是求逆矩陣的關(guān)鍵步驟，其計(jì)算過程需要熟練掌握行列式的計(jì)算和代數(shù)運(yùn)算。行列式逆矩陣的存在性取決于行列式是否為零。只有當(dāng)行列式不為零時(shí)，矩陣才可逆。公式掌握一般n階矩陣求逆的公式，理解公式中每個(gè)元素的意義以及計(jì)算方法。常見易錯(cuò)點(diǎn)分析11符號(hào)錯(cuò)誤符號(hào)錯(cuò)誤是行列式展開中最常見的錯(cuò)誤之一。例如，在展開一個(gè)3x3行列式時(shí)，可能會(huì)忘記某個(gè)元素的符號(hào)，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。2余子式計(jì)算錯(cuò)誤余子式的計(jì)算是一個(gè)關(guān)鍵步驟。如果余子式計(jì)算錯(cuò)誤，則整個(gè)行列式的展開就會(huì)出錯(cuò)。3展開方式錯(cuò)誤行列式展開的順序和方式也需要注意，否則會(huì)影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。常見易錯(cuò)點(diǎn)分析2符號(hào)錯(cuò)誤展開行列式時(shí)，要注意符號(hào)的正負(fù)交替。公式混淆不要將行列式的展開公式與矩陣的轉(zhuǎn)置公式混淆。常見易錯(cuò)點(diǎn)分析3混淆行列式展開公式有時(shí)學(xué)生會(huì)將行列式按行展開公式與矩陣的伴隨矩陣公式混淆，導(dǎo)致展開結(jié)果錯(cuò)誤。錯(cuò)誤計(jì)算余子式余子式的計(jì)算需要將對(duì)應(yīng)行和列的元素劃去，但學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地劃去其他行或列。練習(xí)題1計(jì)算下列行列式：(1)(2)練習(xí)題2計(jì)算行列式：|123||456||789|練習(xí)題3計(jì)算下列行列式：|123||456||789|練習(xí)題4計(jì)算下列行列式：|123||456||789|練習(xí)題5求解下列行列式|123||456||789|知識(shí)總結(jié)與拓展行列式展開行列式按行展開是求行列式值的重要方法，應(yīng)用廣泛。余子式計(jì)算熟練掌握余子式的計(jì)算方法，是進(jìn)行行列式展開的關(guān)鍵。性質(zhì)運(yùn)用靈活運(yùn)用行列式的性質(zhì)，可以簡化計(jì)算過程，提高效率。課堂小結(jié)行列式展開理解行列式按行展開的概念和公式，并能熟練運(yùn)用展開方法計(jì)算行列式。余子