2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，則A． B． C．D．【正確答案】D2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則A．5B．C．2D．【正確答案】B3．“直線與圓相交”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【正確答案】C5．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】D6．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是A． B． C．D．【正確答案】D7．已知是等比數(shù)列，且，則能使不等式成立的最大正整數(shù)n的值為A．5 B．6 C．7 D．8【正確答案】C8．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為A．2 B．3 C． D．4【正確答案】B由題知，由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，又，所以，得，所以最多有一個(gè)是鈍角，所以，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知（，，）的部分圖象如圖所示，則A． B．的最小正周期為C．在內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，與y=cosx的圖象有3個(gè)交點(diǎn)【正確答案】ABD10．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記．若，均為奇函數(shù)，且，則A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的周期為4 D．【正確答案】BCD因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以所以關(guān)于對(duì)稱，故，A錯(cuò)誤同時(shí)，又奇函數(shù)，則，所以關(guān)于對(duì)稱，故B正確關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合，所以，所以，又，所以，所以，也即，所以所以是周期為4的函數(shù)，故C正確，，，，，，故，D正確故選：BCD11．如圖，在平行四邊形ABCD中，，且，BF為的中線，將沿BF折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)E的位置，連接AE，DE，CE，且，則A．EF⊥平面ABCD B．BC與DE所成的角為 C．AE與平面BEF所成角的正切值是D．點(diǎn)C到平面BDE的距離為【正確答案】ACD因?yàn)?，且，所以，．又為的中線，所以，．因?yàn)?，所以．由題意，知，所以．又，且，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．中，，．所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以．又，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以由等體積法，得點(diǎn)到平面的距離為，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．【正確答案】13．已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，則實(shí)數(shù)a的最小值是．【正確答案】214．已知向量，，，，則的取值范圍是．【正確答案】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本題滿分13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．（1）當(dāng)時(shí)，，解得．…2分當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)椋?，所以，所以，?分所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．…6分（2）由（1）知：，…8分所以，…10分所以…12分因?yàn)椋?所以，．…13分16．（本題滿分15分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）求的取值范圍．（1）由，結(jié)合正弦定理可得，即，…3分所以，又，故；…5分（2）由（1）有由正弦定理可得：…7分…9分…11分因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，故，解得，…13分則，所以，，所以，即的取值范圍為．…15分17．（本題滿分15分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓的上頂點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心且過(guò)F的圓恰好與直線相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB與x軸的交點(diǎn)分別是P，Q，求證：線段PQ的橫坐標(biāo)為定值．（1）設(shè)橢圓焦距為2c（）點(diǎn)M為圓心且過(guò)F的圓恰好與直線相切∴，∴∴橢圓C的方程為…5分（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程，得因?yàn)?，直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)所以，…7分所以，，…8分直線MA：令y=0得：…10分同理，…13分所以，PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．…15分18．（本題滿分17分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點(diǎn)，平面AEF與底面ABC的交線為l．（1）證明：l∥平面PBC．（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直線l上存在點(diǎn)Q，使得直線PQ與平面AEF所成角為，異面直線PQ，EF所成角為，且滿足，求|AQ|．（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，．又平面，平面，所以，平面．…2分又平面，平面與底面的交線為，所以，．…4分從而，．而平面，平面，所以，平面．…6分（2）取的中點(diǎn)記為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，．由（1）可知，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作的平行線，即平面與底面的交線．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=ACPD⊥AC，PD平面PAC所以平面．取AB的中點(diǎn)記為，連接，則．因?yàn)锳C⊥BC，所以DM⊥AC．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），………9分則，，，，，，設(shè)．于是，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個(gè)法向量，…11分所以．又直線與平面所成角為，于是．…13分又，而異面直線所成角為，于是．…15分假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，即，所以．綜上所述，|AQ|=1．…17分19．（本題滿分17分）定義運(yùn)算：，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．（1）由題意知：，，①當(dāng)時(shí)，f'x<0，在單調(diào)遞減，不存在最大值．…1分②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)，f'x>0；，f函數(shù)y=fx的增區(qū)間為，減區(qū)間為．，…3分令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，因此，．…5分（2）由（1）知，，即，當(dāng)時(shí)，．…7分．．