第16講 勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第16講勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．4.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.6.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．五．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說(shuō)明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【考點(diǎn)剖析】一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）1．（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．二．勾股定理（共1小題）2．（2022春?尤溪縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F，連接CF．（1）判斷△BCF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．三．勾股定理的證明（共1小題）3．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共1小題）4．（2022春?瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的長(zhǎng)．（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判斷△ABC是否是直角三角形．五．勾股數(shù)（共1小題）5．（2022春?恩施市校級(jí)月考）能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．當(dāng)n＝1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．六．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）6．（2022春?中山市期中）如圖，學(xué)校要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．七．等腰直角三角形（共1小題）7．（2021秋?齊河縣期末）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DC⊥BE．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）在下列以線段a、b、c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6 B．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7 C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝9 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝252．（3分）下列4組線段中，不能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 C．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 D．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝173．（3分）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．32，42，52 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，4．（3分）有一個(gè)邊長(zhǎng)為40cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）A．40cm B．20cm C．40cm D．40cm5．（3分）在Rt△ABC中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊的長(zhǎng)度是（）A．2 B． C．5 D．或56．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B． C．6，8，10 D．1.5，2，2.57．（3分）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OA2021的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）9．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，則∠CBD+∠ABC＝．10．（3分）如圖所示的正方形是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2，3，則大正方形的面積為．11．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．則蘆葦長(zhǎng)尺．12．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章有一題，大意是說(shuō)：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意，那么可列方程．13．（3分）如圖是一參賽隊(duì)員設(shè)計(jì)的機(jī)器人比賽時(shí)行走的路徑，機(jī)器人從A處先往東走8m，又往北走3m，遇到障礙后又往西走4m，再轉(zhuǎn)向北走9m往東拐，僅走1m就到達(dá)了B．問(wèn)A、B兩點(diǎn)之間的距離為m．14．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB＝6，，BC＝1，，則四邊形ABCD的面積為．15．（3分）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和．16．（3分）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向直角三角形外部作等邊三角形，三個(gè)等邊三角形的面積分別為S1，S2，S3．則它們滿足的數(shù)量關(guān)系為．三．解答題（共8小題，滿分52分）17．（5分）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距多少海里？18．（6分）如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為akm和bkm，且張、李二村莊相距ckm．水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置．19．（6分）八年級(jí)（2）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注：BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．（1）求風(fēng)箏的高度CE．（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH、DH．20．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的長(zhǎng)．21．（7分）如圖，某氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向300km的B處，以每小時(shí)km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍是受臺(tái)風(fēng)干擾的區(qū)域，問(wèn)A城是否受到此次臺(tái)風(fēng)的干擾？為什么？若要受到臺(tái)風(fēng)干擾，求出A城受臺(tái)風(fēng)干擾的時(shí)間．22．（7分）拖拉機(jī)在行駛的過(guò)程中的噪音會(huì)影響周圍環(huán)境，某拖拉機(jī)位于A學(xué)校正南方向125m的B處，正以150m/min的速度沿公路BC方向行駛，如圖所示，已知A學(xué)校到BC的距離AD＝35m，（1）求拖拉機(jī)從B處行駛到D處經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（2）如果在距拖拉機(jī)91m的圓形區(qū)域內(nèi)都將受噪音影響，那么A學(xué)校受到拖拉機(jī)噪音影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到0.1）23．（7分）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD（是一個(gè)長(zhǎng)方形）倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b