過(guò)程控制技術(shù)-第三章-過(guò)程控制系統(tǒng)的分析

過(guò)程控制技術(shù)過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析 過(guò)程控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的方法很多，本章只介紹微分方程分析方法。 微分方程分析法的步驟是：

(1)首先建立過(guò)程控制系統(tǒng)的微分方程式（或傳遞函數(shù)）;(2)然后在階躍輸入的作用下，對(duì)過(guò)程控制系統(tǒng)求解，從而得到系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的表達(dá)式并繪制出過(guò)渡過(guò)程曲線;(3)最后通過(guò)對(duì)曲線進(jìn)行質(zhì)量指標(biāo)計(jì)算，得出關(guān)于過(guò)程控制系統(tǒng)質(zhì)量的結(jié)論。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3.1過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程分析一階過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程微分方程式：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入x（t）為單位階躍信號(hào)時(shí)，在零初始條件下（以后分析如沒(méi)有特別指明，均理解為初始條件為零），輸出y（ｔ）稱為單位階躍響應(yīng)（如圖3-1所示）：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析圖3-1（b）是一條指數(shù)上升曲線，其變化平穩(wěn)而不作周期波動(dòng)，故一階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程為“非周期”過(guò)渡過(guò)程。一階系統(tǒng)有兩個(gè)特征參數(shù)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（1）放大系數(shù)Ｋ它表示輸出變量y（t）的穩(wěn)態(tài)值y（∞）與輸入變量x（t）的穩(wěn)態(tài)值x（∞）之比?？梢?jiàn)Ｋ是系統(tǒng)的靜態(tài)參數(shù)。在單位階躍輸入時(shí)x（∞）＝１，Ｋ的求?。?過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）時(shí)間常數(shù)Ｔ在階躍輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出變量y（ｔ）開(kāi)始上升，當(dāng)y（t）到達(dá)最終穩(wěn)態(tài)值的６３.２％所需要的時(shí)間，即為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析可見(jiàn)Ｔ是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)，Ｔ越小，y（ｔ）達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間即過(guò)渡過(guò)程越短。為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度必須減小時(shí)間常數(shù)Ｔ的值，如圖3-2所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析二階過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程以圖２-１（ａ）所示的蒸汽直接加熱器出口溫度控制系統(tǒng)為例，其原理圖和方塊圖繪成如圖３-3所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析在圖３-3（ａ）中，蒸汽通過(guò)噴嘴與冷流體直接接觸，將冷流體加熱流出。工藝要求加熱器流體出口溫度保持在80℃，并已知：加熱器的容積Ｖ＝500Ｌ，冷流體流量Ｆin0＝100kg/min,入口溫度Ｔin＝（20±10）℃，密度ρ＝１kg/Ｌ，比熱容c＝4.184kＪ/ｋg·℃，蒸汽在98.1kＰa壓力下，冷凝釋放的汽化潛熱λ＝22594kＪ/kg。安裝在加熱器出口處的測(cè)溫元件為熱電阻，經(jīng)溫度變送器將溫度信號(hào)送至控制器，控制器根據(jù)被測(cè)的溫度信號(hào)與設(shè)定值（x＝80℃）信號(hào)相比較所得偏差信號(hào)，按一定的控制規(guī)律輸出去驅(qū)動(dòng)控制閥，使加熱器蒸汽流量Ｗ作相應(yīng)變化，以保證溫度控制的需要。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析１.過(guò)程控制系統(tǒng)的微分方程式（1）被控對(duì)象的微分方程式蒸汽直接加熱器的數(shù)學(xué)模型在上一章中已求得，其擾動(dòng)通道和控制通道的微分方程式為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析上述式中y——加熱器出口溫度（Ｔout），即被控變量，℃；ｆ

——冷流體入口溫度，即擾動(dòng)變量，℃；Ｗ

——加熱蒸汽流量，即操縱變量,ｋg/min。式中特征參數(shù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)取或理論計(jì)算得：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）測(cè)量元件、變送器的微分方程式變送器的數(shù)學(xué)模型前已說(shuō)明可視為K＝1的比例環(huán)節(jié)。測(cè)溫元件熱電阻的數(shù)學(xué)模型可視為一階特性：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）氣動(dòng)薄膜控制閥的微分方程式氣動(dòng)薄膜控制閥一般為一階特性：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析控制閥的時(shí)間常數(shù)一般很小，與被控對(duì)象和測(cè)量元件的時(shí)間常數(shù)相比可以忽略，使控制閥又可近似為一個(gè)比例環(huán)節(jié)，即3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析假定采用線性控制閥，則控制閥的放大系數(shù)Ｋv為常數(shù)。顯然當(dāng)輸入信號(hào)為4～20ｍＡ?xí)r，控制閥開(kāi)度對(duì)應(yīng)全關(guān)和全開(kāi)（氣開(kāi)閥）。為了使系統(tǒng)對(duì)正向或反向的擾動(dòng)都能進(jìn)行工作，則可選定靜態(tài)工作點(diǎn)，即控制器的p0＝12mADC，也就是說(shuō)，系統(tǒng)在無(wú)擾動(dòng)時(shí)，其輸出溫度為80℃，控制閥開(kāi)度達(dá)到50％，通過(guò)控制閥的蒸汽流量為Ｗ0。根據(jù)熱量平衡方程式列出靜態(tài)方程式：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析式中下標(biāo)“0”表示系統(tǒng)在初始平衡狀態(tài)下的數(shù)值，則3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（4）控制器的控制規(guī)律在過(guò)程控制系統(tǒng)中常使用的控制器，其控制規(guī)律有比例、比例積分和比例積分微分三種，它們的數(shù)學(xué)模型分別為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析在這個(gè)系統(tǒng)中若選用的是電動(dòng)比例控制器，則p＝Ｋcｅ在過(guò)程控制儀表中控制器的放大系數(shù)Ｋc是通過(guò)改變控制器的比例度δ來(lái)設(shè)置的，若采用測(cè)量范圍（量程）為50～100℃，輸出信號(hào)為4～20mADC的電動(dòng)溫度變送器，并選用電動(dòng)控制器的比例度δ＝２０％，于是根據(jù)比例度的定義計(jì)算出控制器的放大系數(shù)是：

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析因?yàn)閥（t）稱為被控變量的真實(shí)值，它是客觀存在的溫度，但是如果不用測(cè)量?jī)x表是無(wú)法知道的。所以，為使理論計(jì)算和實(shí)際工作情況相一致，z（t）稱為被控變量的測(cè)量值，并作為控制系統(tǒng)的輸出變量?，F(xiàn)應(yīng)用拉氏變換求得各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，則加熱器溫度控制系統(tǒng)的方塊圖如圖３-4所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析定值控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)隨動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)于是加熱器出口溫度控制系統(tǒng)的微分方程式為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析2.過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程當(dāng)過(guò)程控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立起來(lái)之后，下面便是在階躍信號(hào)作用下，求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（即過(guò)渡過(guò)程的解析式）。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（1）系統(tǒng)在設(shè)定值作用下階躍響應(yīng)蒸汽直接加熱器的出口處溫度工藝要求應(yīng)在80℃，現(xiàn)調(diào)整到81℃，即控制器的設(shè)定值增加Δx＝１℃，其Ｘ（s）＝１/s，代入式（３-12）得：

Z（t）=0.929-0.97e-0.3tsin（1.013t+73.5o）3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的階躍響應(yīng)當(dāng)蒸汽直接加熱器的出口溫度工藝要求仍保持在80℃不變，而系統(tǒng)擾動(dòng)來(lái)自冷流體溫度的波動(dòng)，由20℃階躍上升到30℃，即Δｆ＝10℃，其Ｆ（s）＝10/s，代入式（３-11）得：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析對(duì)式（３-17）進(jìn)行拉氏反變換得：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3.過(guò)程控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程曲線為了能較迅速地繪出過(guò)渡過(guò)程曲線，一般是先找出曲線上的一些特殊的數(shù)值，如曲線與直線（最終穩(wěn)態(tài)值）的交點(diǎn)以及曲線的各個(gè)極值點(diǎn)，然后列表，繪制出曲線。（1）繪制階躍設(shè)定作用下的過(guò)渡過(guò)程曲線①過(guò)渡過(guò)程曲線與直線z（ｔ）＝0.929的交點(diǎn)時(shí)間。曲線與直線相交，表明式（３-16）等于0.929，則這時(shí)：sin（1.013t＋73.5°）＝0即1.013t＋73.5°＝π，2π，3π，…，ｎπ（ｎ為正整數(shù)）

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析所以：②過(guò)渡過(guò)程曲線的各個(gè)極值的時(shí)間。對(duì)式（３-16）求一階導(dǎo)數(shù)：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析③將上述兩種時(shí)間代入式（３-16），就可以求得過(guò)渡過(guò)程曲線的各個(gè)特殊點(diǎn)數(shù)值，現(xiàn)將其數(shù)值列于表３-１中。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）繪制階躍擾動(dòng)作用下的過(guò)渡過(guò)程曲線同理，對(duì)于式（３-18）為了作圖方便，利用一些特殊點(diǎn)就能較快地繪制出過(guò)渡過(guò)程曲線，即當(dāng)時(shí)，曲線與直線z（ｔ）＝0.717相交。而當(dāng)3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析時(shí)曲線有極值點(diǎn)（ｎ為正整數(shù)）。將上述兩種ｔ值代入式（３-18），就能求出過(guò)渡過(guò)程曲線的各個(gè)特殊點(diǎn)數(shù)值，其數(shù)值列入表３-２中。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析根據(jù)表３-２中數(shù)據(jù)繪制出過(guò)渡過(guò)程曲線如圖３-5中的曲線２所示過(guò)程控制技術(shù)第六講過(guò)程控制系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程分析（二）3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析過(guò)程控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)質(zhì)量指標(biāo)是衡量控制系統(tǒng)質(zhì)量的一些數(shù)據(jù)。根據(jù)分析的方法不同，質(zhì)量指標(biāo)也有很多形式。微分方程分析法中常用的是以過(guò)渡過(guò)程形式表示的質(zhì)量指標(biāo)，下面就討論過(guò)程控制系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的過(guò)渡過(guò)程質(zhì)量指標(biāo)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（1）最大偏差A(yù)（或超調(diào)量Ｂ）最大偏差等于被控變量的最大指示值與設(shè)定值之差。對(duì)于在階躍擾動(dòng)作用下的控制系統(tǒng)，過(guò)渡過(guò)程的最大偏差是被控變量第一個(gè)波的峰值與設(shè)定值之差，如圖3-6（a）中的A表示。對(duì)于在階躍設(shè)定作用下的控制系統(tǒng)，過(guò)渡過(guò)程的最大偏差如圖3-6（b）中的Ａ表示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析最大偏差反映系統(tǒng)在控制過(guò)程中被控變量偏離設(shè)定值的程度，也可以用超調(diào)量Ｂ表示，如圖3-6所示。超調(diào)量是指過(guò)渡過(guò)程曲線超出新穩(wěn)定值的最大值，即Ｂ＝最大指示值-新穩(wěn)定值＝y(tǒng)（ｔp）-y（∞）所以，圖3-６（ａ）中Ｂ＝A-Ｃ，圖3-６（ｂ）中Ｂ＝A＋Ｃ。對(duì)于系統(tǒng)在階躍設(shè)定作用下有時(shí)用最大百分比超調(diào)量（相對(duì)超調(diào)量）σ表示，即相對(duì)超調(diào)量3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）衰減比n

是指過(guò)渡過(guò)程曲線同方向的前后相鄰兩個(gè)峰值之比，如圖3-6中Ｂ/Ｂ′＝n，或習(xí)慣表示為n∶1?？梢?jiàn)n

愈小，過(guò)渡過(guò)程的衰減程度越小，意味著控制系統(tǒng)的振蕩程度越加劇烈，穩(wěn)定性也就低，當(dāng)n

＝１時(shí)，過(guò)渡過(guò)程為等幅振蕩；反之，n愈大，過(guò)渡過(guò)程愈接近非振蕩過(guò)程，相應(yīng)的穩(wěn)定性也越高。從對(duì)過(guò)程控制系統(tǒng)的基本性能要求綜合考慮（穩(wěn)定、迅速），3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析衰減比n在４～１０之間為宜。如以n＝４為例，當(dāng)?shù)谝徊ǚ逯担拢剑睍r(shí)，則第二波峰值Ｂ′為1/4Ｂ，第三波峰值為1/16Ｂ，可見(jiàn)衰減之快。這樣，當(dāng)被控變量受到擾動(dòng)之后，可以斷定它只需經(jīng)過(guò)幾次振蕩很快就會(huì)穩(wěn)定下來(lái)，不會(huì)出現(xiàn)造成事故的異常值。因此，衰減比ｎ是表示衰減振蕩過(guò)渡過(guò)程的衰減程度，是反映控制系統(tǒng)穩(wěn)定程度的一項(xiàng)指標(biāo)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp和過(guò)渡時(shí)間ts

①上升時(shí)間tr是過(guò)渡過(guò)程曲線從零上升至第一次到達(dá)新穩(wěn)定值所需的時(shí)間。②峰值時(shí)間tp是過(guò)渡過(guò)程曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。③過(guò)渡時(shí)間ts又稱控制時(shí)間（過(guò)渡過(guò)程時(shí)間）。它是從擾動(dòng)發(fā)生起至被控變量建立起新的平衡狀態(tài)止的一段時(shí)間。嚴(yán)格地講，被控變量完全達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值需要無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間。實(shí)際上從儀表的靈敏度以及工程上規(guī)定：過(guò)渡過(guò)程曲線衰減到與最終穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)±５％時(shí)所需要的時(shí)間，為過(guò)渡過(guò)程時(shí)間或控制時(shí)間ts。上升時(shí)間tr

、峰值時(shí)間tp和過(guò)渡時(shí)間ts都是衡量控制系統(tǒng)快速性的質(zhì)量指標(biāo)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（4）振蕩周期Ｔ（或振蕩頻率f）過(guò)渡過(guò)程曲線從第一個(gè)波峰到同方向第二個(gè)波峰之間的時(shí)間叫做振蕩周期或稱工作周期，其倒數(shù)稱為振蕩頻率或工作頻率。在衰減比相等同的條件下，振蕩周期與過(guò)渡時(shí)間成正比，振蕩周期短，過(guò)渡時(shí)間就快。因此，振蕩周期也是衡量控制系統(tǒng)快速性的一個(gè)質(zhì)量指標(biāo)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（5）余差Ｃ（殘余偏差）余差是過(guò)渡過(guò)程終了時(shí)設(shè)定值與被控變量的穩(wěn)態(tài)值之差，用數(shù)學(xué)式表示為余差是一個(gè)反映控制系統(tǒng)準(zhǔn)確性的質(zhì)量指標(biāo)，也是一個(gè)精度指標(biāo)。它由生產(chǎn)工藝給出，一般希望余差為零或不超過(guò)預(yù)定的范圍。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析綜上所述，過(guò)渡過(guò)程的質(zhì)量指標(biāo)主要有：最大偏差或超調(diào)量、衰減比、過(guò)渡時(shí)間、振蕩周期、余差。一般希望最大偏差或超調(diào)量、余差小一些，過(guò)渡時(shí)間短一些，這樣控制質(zhì)量就好一些，但也有矛盾，不能同時(shí)給予保證。如當(dāng)最大偏差和余差都小時(shí)，則過(guò)渡時(shí)間就要長(zhǎng)。因此，要根據(jù)工藝生產(chǎn)的要求，結(jié)合不同的控制系統(tǒng)，對(duì)控制質(zhì)量指標(biāo)分出主次，區(qū)別輕重，優(yōu)先保證主要控制質(zhì)量指標(biāo)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析過(guò)程控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的質(zhì)量指標(biāo)評(píng)定（1）曲線１表示的是加熱器出口溫度控制系統(tǒng)的設(shè)定值由80℃增加到81℃時(shí)，被控變量測(cè)量值z(mì)（ｔ）的變化情況［并不是y（ｔ）的情況，而且縱坐標(biāo)為增量表示］。由曲線對(duì)控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)計(jì)算如下：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）曲線２表示的是加熱器冷流體的入口溫度由原來(lái)的20℃階躍增加到30℃時(shí)，被控變量測(cè)量值z(mì)（ｔ）的變化情況。由曲線對(duì)控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)計(jì)算如下：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）被控變量的測(cè)量值與真實(shí)值的質(zhì)量評(píng)定。過(guò)程控制系統(tǒng)被控變量的真實(shí)值y（ｔ）是客觀存在卻無(wú)法得到的，它是通過(guò)測(cè)量環(huán)節(jié)為人們所觀察到，被控制器所感受，因此，測(cè)量值與真實(shí)值之間存有差異，這在系統(tǒng)質(zhì)量指標(biāo)評(píng)定時(shí)必須引起注意。從圖３-4所示系統(tǒng)可知，被控變量的測(cè)量值對(duì)于設(shè)定作用的階躍響應(yīng)是：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析用相同的計(jì)算方法得知，被控變量的真實(shí)值對(duì)于設(shè)定作用的階躍響應(yīng)是：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析比較Ｚ（ｓ）與Ｙ（ｓ）表達(dá)式，它們的分母相同，即特征方程相同，則極點(diǎn)相同，傳遞系數(shù)相同，因而過(guò)渡過(guò)程應(yīng)具有相同的形狀,而過(guò)渡過(guò)程的幅值將不相同?，F(xiàn)將階躍響應(yīng)曲線z（ｔ）和y（ｔ）繪出見(jiàn)圖３-7所示。已知z（ｔ）主要質(zhì)量指標(biāo)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析而y（ｔ）的主要質(zhì)量指標(biāo)為：最大偏差Ａ＝1.4℃衰減比ｎ＝6.44過(guò)渡時(shí)間ｔｓ＝10min余差Ｃ＝0.07℃3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析通過(guò)對(duì)被控變量的測(cè)量值與真實(shí)值的質(zhì)量評(píng)定比較知道，被控變量的真實(shí)值y（ｔ）的變化情況要比測(cè)量環(huán)節(jié)反映出來(lái)的測(cè)量值z(mì)（ｔ）的變化情況嚴(yán)重，兩者的差異在最大偏差數(shù)值上。而且差異程度取決于測(cè)量環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)Ｔm，Ｔm

越大，z（t）與y（t）的差異越大。這結(jié)論說(shuō)明：在實(shí)際工作中要將質(zhì)量指標(biāo)留有余地，而且應(yīng)選擇Ｔm

較小的測(cè)量環(huán)節(jié)。過(guò)程控制技術(shù)第七講過(guò)程控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3.2過(guò)程控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性在過(guò)程控制系統(tǒng)的分析中，最重要的問(wèn)題是穩(wěn)定性問(wèn)題。因此，對(duì)過(guò)程控制系統(tǒng)的要求首先必須是穩(wěn)定的。

過(guò)程控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件為了知道系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件，先從系統(tǒng)微分方程的特征根與過(guò)渡過(guò)程的關(guān)系討論。（1）一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)的微分方程式：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：y（t）＝Ｋ（１-ｅ-t/Ｔ）最終有穩(wěn)定值，其值為：y（∞）＝Ｋ

所以，一階系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件是：①特征根為負(fù)；②微分方程的系數(shù)ａ1＞0，ａ0＞0。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的一般微分方程式：其特征方程為：故特征根為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析當(dāng)ａ21-4a2a0＞０時(shí)，s1、s2為一對(duì)相異負(fù)實(shí)根。由于ａ2

在二階系統(tǒng)中相當(dāng)于時(shí)間常數(shù)，所以ａ2＞０；若要使-ａ1/2ａ2＜０，則須ａ1

＞０；另外還應(yīng)該保證

即須ａ2＞０，ａ1＞０，ａ0＞０。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：傳遞函數(shù)：特征方程：

特征根：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析由于自然頻率ω0一般取正值有意義，因此二階系統(tǒng)的衰減系數(shù)ζ與穩(wěn)定性的關(guān)系可歸納成如表３-3所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析通過(guò)上述分析，可知二階系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件是：①特征根實(shí)數(shù)部分為負(fù)；②微分方程系數(shù)均須大于零，即ａ2＞０，ａ1＞０，ａ0＞０；③衰減系數(shù)ζ＞０。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析如果從根平面（特征根用復(fù)數(shù)平面上的點(diǎn)來(lái)表示）來(lái)看系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件是：系統(tǒng)的全部特征根都落在根平面的左半平面。如果有一個(gè)特征根落在根平面的右半平面或虛軸上，則系統(tǒng)將都是不穩(wěn)定的?？捎脠D３-8表示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析●過(guò)程控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度（1）穩(wěn)定裕度δ1（2）穩(wěn)定裕度檢驗(yàn)過(guò)程控制技術(shù)第八講常規(guī)控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析常規(guī)控制器的控制規(guī)律（1）比例控制規(guī)律具有這種控制規(guī)律的控制器，其輸出p（t）與輸入偏差信號(hào)ｅ（t）之間的關(guān)系為：

p（t）＝Ｋcｅ（ｔ）或傳遞函數(shù)：

（３-22）

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析圖3-10比例控制器方塊圖

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析式中Ｋc叫做控制器的比例放大倍數(shù)，故比例控制器實(shí)際上是一個(gè)可調(diào)增益（放大倍數(shù)）的放大器。在相同輸入偏差ｅ（ｔ）下，Ｋc越大，輸出p（ｔ）也越大，所以Ｋc是衡量比例控制作用強(qiáng)弱的因素。它的方塊圖如圖３-１0所示。在過(guò)程控制儀表中，一般用比例度δ來(lái)表示比例控制作用的強(qiáng)弱。比例度δ定義為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析

×100％3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）比例積分微分控制規(guī)律①微分控制規(guī)律理想的微分控制規(guī)律數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中Ｔd——微分時(shí)間。

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析理想微分控制規(guī)律是輸出信號(hào)p（t）跟輸入信號(hào)ｅ（ｔ）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)成正比，如圖３-15所示。由圖可見(jiàn)，微分的輸出大小與偏差的變化速度有關(guān)，而與偏差的存在數(shù)值大小無(wú)關(guān)，偏差為定值時(shí)，微分無(wú)輸出。所以說(shuō)微分規(guī)律具有超前控制作用。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析②比例微分控制規(guī)律理想的比例微分控制規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析當(dāng)ｔ＝0＋時(shí)：p（t）＝ＫcＡ＋ＫcＡ（Ｋd-1）＝ＫcＫdＡ當(dāng)ｔ→∞時(shí)：p（ｔ）＝ＫcＡ當(dāng)ｔ＝Ｔd/Ｋd時(shí)：p（t）＝ＫcＡ＋0.368ＫcＡ（Ｋd-1）

因此，實(shí)際比例微分控制規(guī)律在幅度為Ａ的階躍偏差作用下的開(kāi)環(huán)輸出特性，如圖３-16所示。微分增益Ｋd越大，微分作用越強(qiáng)；時(shí)間常數(shù)Ｔ越大，也反映微分作用越強(qiáng)。所以，微分時(shí)間Ｔd＝ＴＫd。因此微分時(shí)間越大，表明微分作用越強(qiáng)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析③比例積分微分控制規(guī)律理想的比例、積分、微分三作用控制器控制規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中Ｋｃ——比例放大倍數(shù)；Ｔｉ——積分時(shí)間；Ｔd——微分時(shí)間。

3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析當(dāng)有階躍偏差作用時(shí)，微分作用超前動(dòng)作抑制偏差，同時(shí)比例作用動(dòng)作減小偏差，積分作用最后慢慢地消除偏差。所以，三作用控制器的參數(shù)（δ、Ｔi、Ｔd）如選擇得當(dāng)，可以充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)，而得到較滿意的控制質(zhì)量。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）比例積分控制規(guī)律具有這種控制規(guī)律的控制器，是在比例控制規(guī)律的基礎(chǔ)上加積分控制規(guī)律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：Ｇc（ｓ）＝

（３-25）式中Ｋc——控制器的比例放大倍數(shù)；Ｔi——控制器的積分時(shí)間。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析常規(guī)控制器的控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響由上述分析知道了三作用控制器的參數(shù)與規(guī)律的關(guān)系：比例度δ越小，比例放大倍數(shù)Ｋc越大，表明比例控制作用越強(qiáng)；積分時(shí)間Ｔi越小，積分輸出的速度越快，表明積分控制作用越強(qiáng)；微分時(shí)間Ｔd越大，微分輸出保持的就越長(zhǎng)，表明微分控制作用越強(qiáng)。下面來(lái)分析和討論控制器的比例度δ、積分時(shí)間Ｔi、微分時(shí)間Ｔd對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響，為ＰＩＤ三作用控制器在過(guò)程控制工程中的參數(shù)（δ、Ｔi、Ｔd）整定，奠定理論基礎(chǔ)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析１.比例控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響 仍以圖３-3蒸汽直接加熱器溫度控制系統(tǒng)為例，把圖３-4所示的控制系統(tǒng)方塊圖改畫(huà)成定值控制系統(tǒng)（擾動(dòng)作用下）形式的方塊圖，如圖３-20所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析在擾動(dòng)作用下Ｚ（ｓ）與Ｆ（ｓ）之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：比例控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響可以從下面幾個(gè)方面來(lái)討論。（1）穩(wěn)定性控制系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的穩(wěn)定性常用衰減系數(shù)ζ來(lái)衡量。衰減系數(shù)ζ越大，過(guò)渡過(guò)程振蕩越小，系統(tǒng)就越穩(wěn)定。對(duì)于式（３-30）所表示的二階系統(tǒng)，特征方程式是：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析其中：則有：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析由式（３-31）可知系統(tǒng)穩(wěn)定性與ζp的關(guān)系①當(dāng)Ｋc較小時(shí)，ζp值較大，并有可能大于１，這時(shí)過(guò)渡過(guò)程為不振蕩過(guò)程；隨著Ｋc的增加，ζp值逐漸減小，直至小于１，相應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程將由不振蕩過(guò)程而變?yōu)椴徽袷幣c振蕩的臨界狀況直至衰減振蕩過(guò)程；隨著Ｋc的繼續(xù)增大，ζp值繼續(xù)減小，過(guò)渡過(guò)程的振蕩加劇?？赏ㄟ^(guò)理論與試驗(yàn)加以驗(yàn)證（略），見(jiàn)圖３-21所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析②無(wú)論Ｋc值增到多大，ζp不可能小于零，因而這個(gè)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散振蕩，所以系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。③當(dāng)被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)Ｔo較大，放大系數(shù)Ｋo較小時(shí)，為得到相同的ζp值，Ｋc可取得大些（δ值可小些）；反之，Ｋc的值應(yīng)小些（δ值應(yīng)大些）。一般溫度控制系統(tǒng)中的被控對(duì)象其時(shí)間常數(shù)較其他被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)大，所以在溫度控制系統(tǒng)中控制器的放大系數(shù)Ｋc一般較其他控制系統(tǒng)大（即δ較其他系統(tǒng)小些）。下面這些經(jīng)驗(yàn)的比例度范圍可供參考：壓力控制系統(tǒng)３０%～７０％，流量控制系統(tǒng)４０%～１００％，液位控制系統(tǒng)２０%～８０％，溫度控制系統(tǒng)２０%～６０％。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（２）余差系統(tǒng)在受到幅值為Ａ的階躍擾動(dòng)作用后，其余差（穩(wěn)定值）可應(yīng)用終值定理求得：應(yīng)用比例控制規(guī)律構(gòu)成的控制系統(tǒng)，被控變量的最終穩(wěn)定值不為零，即系統(tǒng)有余差。余差隨著比例控制作用Ｋc的增大而減小，但是余差不能靠Ｋc的增大而完全消除。為了消除余差，必須引入積分控制作用。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）其他質(zhì)量指標(biāo)比例控制規(guī)律對(duì)其他質(zhì)量指標(biāo)的影響，如超調(diào)量、最大偏差和上升時(shí)間等，可以通過(guò)對(duì)圖３-21進(jìn)行整理，列于表３-4所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析２.積分控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響對(duì)于圖３-20所示系統(tǒng)，增加積分控制規(guī)律之后，其方塊圖如圖３-22所示。此閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（1）穩(wěn)定性從式（３-33）表明增加積分控制作用后，使原來(lái)的二階系統(tǒng)變?yōu)槿A系統(tǒng)?？梢越o出一組積分時(shí)間Ｔi求解出相應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程如圖３-23所示。增加積分控制作用之后，會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。積分作用越強(qiáng)，即積分時(shí)間Ｔi越短，振蕩過(guò)程將加劇，積分作用過(guò)強(qiáng)，甚至?xí)瓜到y(tǒng)成為不穩(wěn)定的發(fā)散振蕩過(guò)程。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析為了能像二階系統(tǒng)一樣用衰減系數(shù)ζ值的大小來(lái)比較系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可對(duì)圖３-22所示的系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，忽略測(cè)量元件的時(shí)間常數(shù)，則成為如圖３-24所示的方塊圖。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：這是二階系統(tǒng)，其衰減系數(shù)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）余差根據(jù)圖３-22所示，對(duì)式（３-33）應(yīng)用終值定理，可以求得階躍擾動(dòng)作用下系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的最終穩(wěn)態(tài)值為零，即系統(tǒng)的余差為零。所以積分控制作用能消除余差，這是積分控制規(guī)律的重要特點(diǎn)。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（3）其他質(zhì)量指標(biāo)可以通過(guò)定量解析得知（略），在相同衰減比ｎ即穩(wěn)定性相同的前提下，在比例控制的基礎(chǔ)上引入積分控制作用后，最大偏差Ａ將加大，上升時(shí)間tr延長(zhǎng)，振蕩周期加長(zhǎng)，唯一的優(yōu)點(diǎn)是余差消除了。究其原因是為了保持與比例控制具有相同衰減比，而犧牲了控制器放大倍數(shù)Ｋc（Ｋc下降，δ增大）造成其他質(zhì)量指標(biāo)變壞。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析由于比例積分控制規(guī)律除了具有比例和積分兩種控制規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)之外，比例度δ和積分時(shí)間Ｔi兩個(gè)參數(shù)還可以在一定的范圍內(nèi)作適當(dāng)?shù)钠ヅ?，以滿足控制質(zhì)量指標(biāo)的要求，因此比例積分控制規(guī)律適用面比較廣泛。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析３.微分控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響（1）穩(wěn)定性在圖３-20所示的控制系統(tǒng)中增加微分控制規(guī)律后，其方塊圖如圖３-25所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析這也是個(gè)二階系統(tǒng)，其衰減系數(shù)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析（2）余差對(duì)于圖３-25的系統(tǒng)，可對(duì)式（３-37）應(yīng)用終值定理，求得在階躍擾動(dòng)作用下的余差為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析４.比例積分微分控制規(guī)律對(duì)過(guò)程控制質(zhì)量的影響將理想的比例積分微分三作用控制器應(yīng)用于圖３-20所示的控制系統(tǒng)中，方塊圖如圖３-26所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析為了更進(jìn)一步地理解ＰＩＤ控制規(guī)律對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量的影響，可以對(duì)圖３-3所示的蒸汽直接加熱器溫度控制系統(tǒng)分別繪出采用比例、比例積分、比例積分微分控制規(guī)律時(shí)的過(guò)渡過(guò)程曲線，如圖３-27所示。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析圖中三條曲線分別代表著比例控制、比例積分控制、比例積分微分控制的過(guò)渡過(guò)程曲線。比例控制時(shí)δ＝20％，衰減比ｎ＝6.35；比例積分控制時(shí)δ＝32％，Ｔi＝5min，衰減比ｎ＝6.05；比例積分微分控制時(shí)δ＝10％，Ｔi＝5min，Ｔd＝0.2min，衰減比ｎ＝6.7。三條曲線的衰減比很接近，穩(wěn)定程度相近。因此通過(guò)比較看出，在比例積分控制規(guī)律的基礎(chǔ)上增加微分規(guī)律后，系統(tǒng)的質(zhì)量可以全面得到提高，即最大偏差減小，振蕩周期縮短；而且由于有積分控制規(guī)律，系統(tǒng)的余差也將消除。3過(guò)程控制系統(tǒng)的分析ＰＩＤ控制規(guī)律綜合了Ｐ、Ｉ、Ｄ三種控制規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)，具有較好的控制性能，在過(guò)程控制工程中應(yīng)用廣泛，且將δ、Ｔi、Ｔd三參數(shù)進(jìn)行最佳匹配（整定），一般情況下都能夠滿足控制系統(tǒng)質(zhì)量指標(biāo)的要求。本章小結(jié)1.主要內(nèi)容利用解微分方程求取控制系統(tǒng)輸出（被控變量）的時(shí)間特性（過(guò)渡過(guò)程）或時(shí)間響應(yīng)以分析系統(tǒng)性能的方法稱為系統(tǒng)的微分方程分析法（又稱時(shí)域分析法）。(1)微分方程分析法的步驟：①建立過(guò)程控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程式或傳遞函數(shù)）；②求系統(tǒng)在階躍輸入信號(hào)作用下的解（被控變量的過(guò)渡過(guò)程或階躍響應(yīng)）；③把過(guò)渡過(guò)程解析式繪成曲線即過(guò)渡過(guò)程曲線（階躍響應(yīng)曲線）；④根據(jù)曲線評(píng)定過(guò)程控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)。(2)穩(wěn)定性是任何控制系統(tǒng)必須具備的基本性能。在時(shí)域分析中，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要充分條件是：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部；或系統(tǒng)微分方程式的所有特征根都分布在ｓ平面的左半平面上。對(duì)于二階系統(tǒng)則須ζ＞０，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。在根平面上，閉環(huán)特征根離虛軸的水平距離大小代表著系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度δ1。(3)控制器（輸出信號(hào)）產(chǎn)生控制信號(hào)的作用稱作控制作用，控制作用所遵循的數(shù)學(xué)規(guī)律稱為控制規(guī)律。①比例（Ｐ）控制規(guī)律的輸出p（t）與輸入偏差ｅ（ｔ）成比例Ｋc關(guān)系。Ｋc越大，比例控制作用越強(qiáng)。在控制儀表中控制器是用比例度δ代表比例控制作用的強(qiáng)弱。比例度δ是控制器輸入與輸出的比例范圍：使輸出信號(hào)作全范圍的變化，輸入信號(hào)必須改變?nèi)砍痰陌俜种畮?。在單元組合儀表中，δ與Ｋc互成倒數(shù)，即δ＝1/Ｋc×100％。因此，控制器的δ越?。ǎ薱越大）比例控制作用越強(qiáng)。比例控制作用是基本控制作用。②比例積分（ＰＩ）控制規(guī)律的輸出p（ｔ）是由比例部分和積分部分兩項(xiàng)構(gòu)成。積分項(xiàng)輸出是與偏差隨時(shí)間的累積成正比；積分時(shí)間Ｔi越短，積分輸出的積累越快（積分速度越快），表明積分控