2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.3多面體與棱柱教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE1-11.1.3多面體與棱柱學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解多面體的定義及其分類．(重點(diǎn))2．理解棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))3．了解多面體表面積的概念，知道棱柱表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)多面體的定義與分類學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助棱柱結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).日常生活中的許多物體(如各種各樣的包裝盒)都可以抽象成多面體．思索：(1)你能總結(jié)出一個(gè)幾何體是多面體的充要條件嗎？(2)你能對(duì)常見(jiàn)幾何體進(jìn)行合理分類嗎？1．多面體(1)定義由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉幾何體稱為多面體．(2)相關(guān)概念(如圖所示)①多面體的面、棱與頂點(diǎn)圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)．②多面體的面對(duì)角線與體對(duì)角線一個(gè)多面體中，連接同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，假如不是多面體的棱，就稱其為多面體的面對(duì)角線；連接不在同一面上兩個(gè)頂點(diǎn)的線段稱為多面體的體對(duì)角線．如上圖所示的多面體中，AC是一條面對(duì)角線，而B(niǎo)D′是一條體對(duì)角線．③多面體的截面與表面積一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)，稱為這個(gè)幾何體的一個(gè)截面，如上圖中多面體的一個(gè)截面ACE.多面體全部面的面積之和稱為多面體的表面積(或全面積)．(3)凸多面體把多面體的隨意一個(gè)面延展為平面，假如其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則稱這樣的多面體為凸多面體．思索1：長(zhǎng)方體、正方體是多面體嗎？[提示]是．長(zhǎng)方體是由6個(gè)矩形圍成的，正方體是由6個(gè)正方形圍成的，均滿意多面體的定義．思索2：最簡(jiǎn)潔的多面體由幾個(gè)面所圍成？[提示]4個(gè)．(4)正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形且過(guò)各頂點(diǎn)的棱數(shù)都相等的多面體一般稱為正多面體．[拓展]已知正多面體頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E之間滿意關(guān)系V＋F－E＝2.2．棱柱(1)定義假如一個(gè)多面體有兩個(gè)面相互平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)面上，其余各面都是平行四邊形，這樣的多面體稱為棱柱．(2)圖示及相關(guān)概念棱柱的兩個(gè)相互平行的面稱為棱柱的底面(底面水平放置時(shí)，分別稱為上底面、下底面)，其他各面稱為棱柱的側(cè)面，兩個(gè)側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱．(3)棱柱的表示棱柱可以用底面上的頂點(diǎn)來(lái)表示，也可用表示它的體對(duì)角線來(lái)表示，如上圖所示的棱柱可表示為棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示為棱柱AD′.(4)棱柱的高與側(cè)面積過(guò)棱柱一個(gè)底面上的隨意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段(或它的長(zhǎng)度)稱為棱柱的高，棱柱全部側(cè)面的面積之和稱為棱柱的側(cè)面積．(5)棱柱的分類特殊地，底面是正多邊形的棱柱稱為正棱柱．(6)平行六面體與直平行六面體底面是平行四邊形的棱柱也稱為平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形． ()(2)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形． ()(3)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和． ()(4)沿不同的棱將多面體綻開(kāi)，得到的綻開(kāi)圖相同，表面積相等． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．下列幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)有()A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)D[由棱柱的定義知①③是棱柱，選D．]3．下面沒(méi)有體對(duì)角線的一種幾何體是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱A[三棱柱只有面對(duì)角線，沒(méi)有體對(duì)角線．]4．(一題多空)一個(gè)棱柱至少有__________個(gè)面；面數(shù)最少的棱柱有________個(gè)頂點(diǎn)，有________條棱．569[面數(shù)最少的棱柱是三棱柱，有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱．]棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①四棱柱是平行六面體；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行的幾何體是棱柱；④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱．A．1B．2C．3D．4A[四棱柱的底面可以是隨意四邊形；而平行六面體的底面必需是平行四邊形，故①不正確；說(shuō)法③就是棱柱的定義，故③正確；對(duì)比定義，明顯②不正確；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故④不正確．]棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即視察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)相互平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即視察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見(jiàn)幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合，賜予解除．提示：推斷一個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤時(shí)，才用舉反例的方法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，當(dāng)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？假如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；假如是，指出底面及側(cè)棱．[解]截面BCFE右側(cè)部分是棱柱，滿意棱柱的定義，它是三棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是側(cè)棱．截面BCFE左側(cè)部分也是棱柱，它是四棱柱ABEA′-DCFD′，其中四邊形ABEA′和四邊形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD為側(cè)棱．多面體的表面綻開(kāi)圖【例2】某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面綻開(kāi)圖應(yīng)當(dāng)為()ABCDA[兩個(gè)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A．也可通過(guò)實(shí)物制作檢驗(yàn)來(lái)判定．]多面體綻開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略(1)繪制綻開(kāi)圖：繪制多面體的表面綻開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象實(shí)力或者是親自制作多面體模型．在解題過(guò)程中，經(jīng)常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面綻開(kāi)圖．(2)由綻開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面綻開(kāi)圖，來(lái)推斷是由哪一個(gè)多面體綻開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推．同一個(gè)幾何體的表面綻開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面綻開(kāi)圖．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．下列四個(gè)平面圖形中，每個(gè)小四邊形都是正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個(gè)正方體的是()ABCDC[將四個(gè)選項(xiàng)的平面圖形折疊，可知C中的圖可復(fù)原為正方體．]多面體或棱柱的計(jì)算問(wèn)題【例3】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過(guò)棱AA1)到達(dá)頂點(diǎn)C1，與AA1的交點(diǎn)記作M(1)三棱柱側(cè)面綻開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；(2)從B經(jīng)M到C1的最短路途長(zhǎng)及此時(shí)eq\f(A1M,AM)的值．[解]將正三棱柱的側(cè)面綻開(kāi)，得到一個(gè)矩形BB1B1′B′(如圖)．(1)∵矩形BB1B1′B′的長(zhǎng)BB′＝6，寬BB1＝2，∴三棱柱側(cè)面綻開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由側(cè)面綻開(kāi)圖可知：當(dāng)B，M，C1三點(diǎn)共線時(shí)，由B經(jīng)M到C1的路途最短，∴最短路途長(zhǎng)為BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，明顯Rt△ABM≌Rt△A1C1M，∴A1M＝AM，即eq\f(A1M,AM)＝1.求簡(jiǎn)潔幾何體表面上兩點(diǎn)間最短距離的步驟此類問(wèn)題一般將立體圖形(或其一部分)綻開(kāi)為平面，使立體幾何問(wèn)題平面化．其基本步驟是：(1)將立體圖形綻開(kāi)為平面圖形．(2)在平面圖形上找出表示最短距離的線段．(3)計(jì)算此線段的長(zhǎng)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．一個(gè)棱柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是三個(gè)全等的矩形，矩形的長(zhǎng)和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______cm2.72[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．]學(xué)問(wèn)：1．在理解的基礎(chǔ)上，牢記多面體與棱柱的有關(guān)概念，能依據(jù)定義推斷幾何體的形態(tài)．2．直棱柱的特征(1)側(cè)棱垂直于底面；(2)側(cè)面都是矩形；(3)側(cè)面垂直于底面；(4)側(cè)棱長(zhǎng)等于直棱柱的高；(5)側(cè)面綻開(kāi)圖是矩形，此矩形的面積即為棱柱的側(cè)面積；(6)兩底面與平行于底面的截面全等．正棱柱除了滿意直棱柱的特征，還具有的特征(1)側(cè)面都是全等的矩形；(2)底面是全等的正多邊形．3．幾種常見(jiàn)四棱柱的關(guān)系方法：1．直棱柱的側(cè)面積的求法直棱柱的側(cè)面綻開(kāi)圖是矩形，所以S直棱柱側(cè)面積＝ch(c為底面多邊形周長(zhǎng)，h為側(cè)棱長(zhǎng)(棱柱的高))．2．斜三棱柱的側(cè)面積的兩種求法(1)分別求各側(cè)面的面積，然后求和．在求各側(cè)面的面積時(shí)，首先要推斷出各側(cè)面的詳細(xì)形態(tài)及與面積有關(guān)的大小尺寸，然后求出它們的面積并求和．(2)作斜棱柱的直截面(與側(cè)棱垂直的截面)，則斜棱柱的側(cè)面積等于直截面的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積．3．棱柱的表面積(全面積)的求法S表面積＝S側(cè)面積＋2S底面(S底面為底面多邊形的面積)．1．下列說(shuō)法中正確的是()A．直四棱柱是直平行六面體B．直平行六面體是長(zhǎng)方體C．六個(gè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C[直四棱柱的底面不肯定是平行四邊形，故A錯(cuò)；直平行六面體的底面不肯定是矩形，故B錯(cuò)；C正確；底面是正方形的四棱柱不肯定是直四棱柱，故D錯(cuò)．]2．下列選項(xiàng)中的圖形經(jīng)過(guò)折疊不能圍成棱柱的是()D[視察所給的圖形，A，B，C選項(xiàng)均可圍成棱柱，D選項(xiàng)圍成的幾何體是棱柱缺少一個(gè)面，無(wú)法圍成棱柱．]3．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A．2B．4C．6D．8D[由已知得底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(6－2)＝2.∴