一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)課件（1）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（1）復(fù)習(xí)引入在一元線性回歸模型中，表達(dá)式Y(jié)=bx+a+e刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，需要根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì).由模型的建立過程可知，參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.探究：利用散點(diǎn)圖8.2-1找出一條直線，使各散點(diǎn)在整體上與此直線盡可能接近.探究：最小二乘法在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線，如圖(2)所示.采用測(cè)量的方法，先畫出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置.然后測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，就可得到一條直線，如圖(1)所示.(1)方法一：(2)方法二：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距，如圖(3)所示.(2)方法三：上面這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.先進(jìn)一步明確我們面臨的任務(wù):從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”.通常，我們會(huì)想到利用點(diǎn)到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,

y1),(x2,

y2),???,(xn,

yn),由yi=bxi+a+ei(i=1,2,???,n)，得顯然|ei|越小，表示點(diǎn)(xi,

yi)與點(diǎn)(xi,

bxi+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小，如右圖所示.特別地，當(dāng)ei=0時(shí)，表示點(diǎn)(xi,

yi)在這條直線上.因此，可以用這n個(gè)豎直距離之和來刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)榻^對(duì)值使得計(jì)算不方便，所以人們通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和來刻畫“整體接近程度”.所以我們可以取使Q達(dá)到最小的a和b的值作為截距和斜率的估計(jì)值.要使Q取到最小值，則∴要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為綜上，當(dāng)a,b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘估計(jì)：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的

叫做b,a的最小二乘估計(jì).歸納總結(jié)易得:（1）經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn);（2）與相關(guān)系數(shù)r符號(hào)相同.這里的“二乘”是平方的意思.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182對(duì)于上表中的數(shù)據(jù)，利用公式(2)可以計(jì)算出

得到兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線如下圖所示.課本113頁對(duì)一元線性回歸模型參數(shù)a和b的估計(jì)中，有人認(rèn)為:“估計(jì)方法不止一種，根據(jù)不同的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)到直線‘整體接近程度’的定義，可以得到參數(shù)a和b不同的估計(jì)，只要‘整體接近程度’定義合理即可.”你覺得這個(gè)說法對(duì)嗎?解：這個(gè)說法是對(duì)的.選擇刻畫散點(diǎn)趨勢(shì)的直線可以有不同的標(biāo)準(zhǔn)，取決于“整體接近程度”的定義，定義不同，得到參數(shù)a和b的估計(jì)往往也不同.例如，我們可以用刻畫“整體接近程度”得到參數(shù)a和b的最小二乘估計(jì)，也可以用

刻畫“整體接近程度”得到參數(shù)a和b的估計(jì)，二者估計(jì)的結(jié)果一般不同.練習(xí)商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤(rùn)額y/百萬元23345例1：某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表:(1)畫出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖；(2)計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程.解：(1)散點(diǎn)圖如下:例題∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解法1：(2)商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤(rùn)額y/百萬元23345∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤(rùn)額y/百萬元23345解法2：(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟：反思?xì)w納x1234y1345

1.已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):(1)作出散點(diǎn)圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x,y的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解：(1)散點(diǎn)圖如下:練習(xí)∴所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解：(2)x1234y13452.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；解：散點(diǎn)圖如圖所示.樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解：列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.1.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357∴經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(1.5，4).故選D.隨堂檢測(cè)父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm1751751761771772.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)身高數(shù)據(jù)如下:則y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為()3.某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）解析：x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，表示負(fù)相關(guān)，排除B，D；由實(shí)際意義可知x＞0，y＞0，顯然C不滿足，故選A.解析：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，4.已知經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，且過定點(diǎn)(4,5)，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程是______________.5.某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計(jì)：經(jīng)驗(yàn)回