2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若直線l的斜率為，則l的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．273．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于（

）A． B．3 C．6 D．84．在中國(guó)古代，人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長(zhǎng)的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為（

）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺5．已知P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．為直線上一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最小值（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．0B．50C．100D．25258．直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上異于的點(diǎn)，，的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．焦距為5C．離心率為 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為410．?dāng)?shù)列滿足:，，，下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和11．已知直線，圓，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C上一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線l恒過定點(diǎn)B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則k=1C．若直線l與圓C相切，則D．當(dāng)k=1時(shí)，取y軸上一點(diǎn)，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．方程表示的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.13．已知數(shù)列滿足：，則.14．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是，過作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和16．已知拋物線的焦點(diǎn)為．過的直線與交于，兩點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求直線與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)證明：．17．已知數(shù)列滿足(1)求an.(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍；18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．(1)求圓O與圓C的外公切線的長(zhǎng)；(2)過圓C上的任意一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，設(shè)．①求的值；②求圓心C到直線AB的距離的取值范圍．19．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線軸，軸于點(diǎn)，求的值.

答案1．【正確答案】C【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率是，可得，又因?yàn)?，所以，即直線的傾斜角為.故選：C2．【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選C.3．【正確答案】B【分析】由拋物線方程直接得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可求解.【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于3.故選：B.4．【正確答案】A【分析】由題意可知，十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可求出，從而得到答案．【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長(zhǎng)為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．5．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義，得到點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)?，可得，則，由橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，可得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓，所以.故選：C.6．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線與圓相切或相離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過總能作圓的切線，可得直線與圓相切或相離，則滿足圓心到直線的距離，解得，即，所以的最小值為.故選：D.7．【正確答案】B【詳解】法一：由于①，則當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，即，易知，所以.又滿足，故，則，易知，所以.法二：由于①，則當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，即，又易知，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以，則，易知，所以.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)，顯然，由與，相減得，整理得，而，于是，所以，所以該橢圓的離心率為.故選：A9．【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，所以A正確，B、C不正確；又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點(diǎn)，不妨設(shè)右焦點(diǎn)，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以D正確.故選：AD.10．【正確答案】AB【詳解】數(shù)列滿足:，，，，，，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故A正確；，，故B正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；數(shù)列的前項(xiàng)和為:，的前項(xiàng)和，故D錯(cuò)誤．故選:AB11．【正確答案】ACD【詳解】解：對(duì)于A，直線l：k，即，令，則，解得，，所以直線|恒過定點(diǎn)，故A正確;對(duì)于B，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l過圓心，所以，解得，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，若直線與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑1，即，解得，故C正確;對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，即，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】方程，表示點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于10，而，所以方程表示的曲線是橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，所以，所以短半軸長(zhǎng)，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故13．【正確答案】【詳解】設(shè)，的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，所以，.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意可知：左、右頂點(diǎn)分別是A1（﹣a，0），A2（a，0），當(dāng)x＝c時(shí)，代入雙曲線方程，解得：y＝±，設(shè)B（c，），C（c，），則直線A1B的斜率k1，直線A2C的斜率k2，由A1B⊥A2C，則k1×k2＝﹣1，即1，則1，雙曲線的離心率e，故．15．【正確答案】(1)，，；(2)【詳解】（1），，成等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是等比數(shù)列，，則，得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（2），則前項(xiàng)和，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得．16．【正確答案】(1)(2)1個(gè)(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以．（2）直線的斜率為，所以直線的方程為，即，與聯(lián)立得，解得，所以直線與只有1個(gè)公共點(diǎn)．（3）證明：由（1）知，，所以，所以．17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又，上述兩式作差可得，即，不滿足，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以，數(shù)列從第二項(xiàng)開始為遞增數(shù)列，對(duì)任意的，恒成立.①若為正奇數(shù)，則，，則，可得；②若為正偶數(shù)，則，可得.綜上所述，.18．【正確答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）圓心，半徑為,圓心O0,0，半徑為，故，所以外公切線長(zhǎng)為．（2）①設(shè)點(diǎn)，則滿足，得，所以，而，得，所以．②設(shè)點(diǎn)，以為直徑的圓方程為，即，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為．圓心到直線AB的距離為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，，所以，設(shè)，且，由對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，得的最小值為，，,最大值為，所以的取值范圍為．19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)及求出可得答案；（2）直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程，令，可得，點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，，再做比值可得答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，易知，設(shè)，所以，，所以