2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，，則（

）A． B．0 C．1 D．22．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．已知圓的方程是，則圓心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）A． B．1 C．2 D．45．我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，若，則對角線AC長度為（

）A．丈 B．丈C．丈 D．丈6．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．7．如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．如圖所示．用過點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．古代數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是．軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）A．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為10．如圖，已知正方體的棱長為，則下列選項中正確的有（

）

A．異面直線與的夾角的正弦值為B．二面角的平面角的正切值為C．四棱錐的外接球體積為D．三棱錐與三棱錐體積相等11．如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截切，截面分別與球，球切于點E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（

）A．橢圓C的中心不在直線上B．C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為D．橢圓C的離心率為三、填空題（本大題共3小題）12．如圖一直角三角形的“勾”“股”分別為6，8，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以，為焦點，且過點的雙曲線方程為．13．過點，，三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為14．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點分別為的中點，點為內(nèi)的一個動點（包括邊界），若平面，則點的軌跡的長度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點，.(1)求直線MN的一般式方程；(2)求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求（2）中的圓在點處的切線方程.16．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.(1)證明：直線平面；(2)求點到平面的距離.17．設(shè)向量，滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)若點，設(shè)斜率為且過的直線與（1）中的軌跡交于P，Q兩點，求的面積.18．如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點，，四邊形為矩形，線段交于點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.19．如圖，已知橢圓：（）的上頂點為A0,3，離心率為，若過點作圓：（）的兩條切線分別與橢圓相交于點，（不同于點）.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線和的斜率分別為，，求證:為定值；(3)求證：直線過定點.

答案1．【正確答案】B【詳解】∵，故選:B2．【正確答案】C【詳解】由已知直線的斜率不存在，即軸，傾斜角為，故選：C．3．【正確答案】A【詳解】圓的方程可化為，圓心的坐標(biāo)是.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以由拋物線可得，則焦點到其準(zhǔn)線的距離為2.故選：C5．【正確答案】A【分析】結(jié)合圖形的對稱性和切線的性質(zhì)，通過三角函數(shù)或勾股定理，由丈，，求出，可得對角線AC長度.【詳解】記OC與MN相交于E，過O作AB的垂線，與AB相交于F點，如圖所示，丈，丈，則丈，在中，，則，中，丈，中，丈，，則丈，所以丈.故選：A.6．【正確答案】C【詳解】依題意，設(shè)橢圓的長軸長為2a，半焦距為c，則，則，，于是，∴．故選：C7．【正確答案】B【詳解】取BD中點O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內(nèi)過點作，則，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當(dāng)時，，所以的最大值為.故選：B8．【正確答案】B【詳解】設(shè)交于，以過點且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，因為圓錐的高，是中點，且截面垂直于底面，所以，所以，又因為底面圓半徑，所以，，所以，設(shè)雙曲線方程為，將，代入雙曲線方程得，解得，則雙曲線的兩條漸近線方程為，由對稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為，所以雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為.故選：B.9．【正確答案】BD【詳解】由題可知在的同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，如下圖所示：則，解得，即.對于A，將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，即，故A錯誤；對于B，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，聯(lián)立兩直線方程解得，故B正確；對于C，將軍從河邊回軍營的路線所在直線為，又，所以直線的方程為，即，故C錯誤；對于D，總路程，所以“將軍飲馬”的總路程為，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】ACD【詳解】對于A：因為，在中，就是異面直線所成的角，且，則，故A正確；對于B：連接交于點O，連接，

因為平面ABCD，BD平面ABCD，則BD，又因為BD⊥AO，，平面，可得BD⊥平面，且平面，則BD⊥，可知為二面角的平面角，在中，，故B錯誤；對于C，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，因為正方體外接球的半徑，所以正方體的外接球體積為，故C正確；對于D，因為，三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，故三棱錐與三棱錐體積相等，故D正確.故選：ACD.11．【正確答案】ACD【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A正確；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B錯誤；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意得，則，，則，，所以雙曲線的方程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為圓過點，，三點，所以①，②，③，由①②得到④，由②③得到⑤，由④⑤解得，代入①，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為.14．【正確答案】/【詳解】由題知，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點為，連接，因為為正方形，為中點，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點的軌跡與交于點，由題知平面，因為是平面內(nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點的軌跡，因為，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因為，所以，解得，則，又所以，所以.故15．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）直線MN的斜率為，則直線MN的方程為，即.（2）由題意可知圓心C為線段MN的中點，即，半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面（2）設(shè)面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，由橢圓定義知：點到兩定點的距離之和為4，且，所以，，所以可得所以點的軌跡C的方程為.（2）因為，所以直線方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則所以點到直線PQ的距離所以18．【正確答案】（1）見解析；（2）；（3）在線段上存在一點滿足題意，且【詳解】（1）因為四邊形為矩形，所以為的中點.連接，在中，分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）易知兩兩垂直，如圖，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即解得令，得所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，據(jù)此可得

則平面的一個法向量為，，于是.故二面角的正弦值為.（3）設(shè)存在點滿足條件.由，設(shè)，整理得，則.因為直線與平面所成角的