線性系統(tǒng)理論課件

第四章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定4.1外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性一外部穩(wěn)定性1.定義：一個線性因果系統(tǒng)，如果對應于一個有界的輸入u(t),即滿足條件注意：討論外部穩(wěn)定，必須假定系統(tǒng)初始條件為零。2結論1：時變系統(tǒng)對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，為其脈沖響應矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數k,使對于一切的每一個元均滿足關系式必要性：利用反讓法。再考慮多輸入—多輸出情況

有界個有界函數之和仍為有界，利用單輸入—單輸出情況的結論，可證得此結論。3結論2：（定常情況）對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，表初始時刻為其脈沖響應矩陣，為其傳遞函數矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數

的每一個元均滿足關系式：二內部穩(wěn)定性1定義：對于線性定常系統(tǒng)三內部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關系結論１：設線性定常系統(tǒng)（１）是內部穩(wěn)定的，則必是BIBO穩(wěn)定的。結論２：設線性定常系統(tǒng)（１）是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)發(fā)必是漸近穩(wěn)定的。結論３：如果線性定常系統(tǒng)（１）為能控和能觀測的，則其內部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性必是等價的。

一自治系統(tǒng)、受擾運動和平衡狀態(tài)設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為４.2李亞普諾夫意義下運動穩(wěn)定性的

一些基本概念

系統(tǒng)平衡狀態(tài)可以為零（），也可不為零（），但對任意總可引入一個新狀態(tài)，經一定的坐標變換，把它化到坐標原點（即零狀態(tài)）。對線性定常系統(tǒng)，有孤立平衡狀態(tài)：如果多個平衡狀態(tài)彼此是孤立的，則稱這樣的狀態(tài)為孤立平衡狀態(tài)，單個平衡狀態(tài)也是孤立平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性問題：是指系統(tǒng)的狀態(tài)解（常稱“運動”）是否能趨于平衡狀態(tài)解的問題。若系統(tǒng)的狀態(tài)解能回復到平衡狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)解雖然不能最終回復到平衡狀態(tài)，而是在平衡狀態(tài)的某一鄰域內呈現自激振蕩，而這種振蕩又為實際系統(tǒng)所允許，那么也應把這種系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定的。反之稱為不穩(wěn)定的。二穩(wěn)定性的基本定義1穩(wěn)定（李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定）1）定義：對于系統(tǒng)（2），如果給定任何一實數，都相應地存在另一實數，使由滿足不等式

2）幾何意義2漸近穩(wěn)定1）定義:對于系統(tǒng)(2),如果給定任意兩個實數和，都有相應地存在另兩個實數和，使由滿足不等式：

2）幾何意義

3）討論：

a)

如果和T均與無關，則稱此平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。

b)

漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域稱為引力域。3大范圍漸近穩(wěn)定1）定義：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且其引力域包括整個狀態(tài)空間，即有：則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。2)討論：

a)

大范圍內漸近穩(wěn)定的必要條件是整個狀態(tài)空間中只存在一個平衡狀態(tài)。

b)

對于線性系統(tǒng)，如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么它也一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。4不穩(wěn)定1）定義：如果給定任意實數且無論它們取得多么小，在由不等式

所確定的球域內，至少存在一個初態(tài)，由出發(fā)的，時的狀態(tài)x

不滿足下列不等式

則稱狀態(tài)是不穩(wěn)定的。2）幾何意義

李亞普諾夫第二方法是建立在這樣一個直觀的物理事實上的，任何一個系統(tǒng)或物體之所以有運動，無非是因為它具有能量的緣故。如果系統(tǒng)在運動過程中，其內部貯存的能量隨著時間的增加而逐漸減小，一直到運動平衡狀態(tài)處，系統(tǒng)的能量耗盡或變得最小，那么系統(tǒng)自然將在此平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。即有。由于實際系統(tǒng)很難找到一個統(tǒng)一的、簡便的用于完全描述上述過程的所謂能量函數，李氏認為在判斷一個系統(tǒng)的穩(wěn)定時，不一定非要找到系統(tǒng)的真正能量函數，可以根據不同的系統(tǒng)虛構一個廣義的能量函數，稱為李亞普諾夫函數（李氏函數）。李氏函數能滿足一定的條件，也就可根據它來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。李氏函數一般是狀態(tài)分量和時間t的標量函數，用表示。若與t無關，可用表示。在多數情況下，常取二次型函數作為李氏函數。4.3李亞普諾夫第二方法的主要定理定理1設系統(tǒng)狀態(tài)方程為定理2：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點的某鄰域內，存在一個標量函數對t具有連續(xù)的一階導數存在，對具有連續(xù)的一階偏導數存在，且滿足如下條件定理3：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點的某鄰域內，存在一個標量函數對t具有連續(xù)的一階導數存在，對具有連續(xù)的一階偏導數存在，且滿足如下條件定理4：系統(tǒng)如（3）所示，如果它在原點的某鄰域內，存在一個標量函數對t具有連續(xù)的一階導數存在，對具有連續(xù)的一階偏導數存在，且滿足如下條件例子：系統(tǒng)方程為試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例子：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

一線性定常系統(tǒng)的自由運動的穩(wěn)定性判據考察線性這下常自治系統(tǒng)是它的一個平衡狀態(tài)。判據1：（特征值判別據）對于線性定常系統(tǒng)（4），有（1）系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的充分必要條件為，A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，A的所有特征值均具有負實部。

4.4線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性的判據例給定線性定常自治系統(tǒng)判據2：（李亞普諾夫判據）線性定常系統(tǒng)（4）的零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件，是對任意給定的一個正定對稱矩陣Q，如下形式的李亞普諾夫矩陣方程

有唯一正定對稱矩陣解P。第五章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合系統(tǒng)的分析與綜合：分析問題：已知系統(tǒng)的結構和參數及已知外輸入作用，研究系統(tǒng)運動的定性行為（如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性）和定量的變化規(guī)律。綜合問題：已知系統(tǒng)的結構和參數，以及所期望的系統(tǒng)運動形式或某些特征，要確定的則是需要施加于系統(tǒng)的外輸入作用即控制作用的規(guī)律。一般控制作用規(guī)律常取反饋的形式。5.1引言綜合問題給定系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

A、B、C均為常陣且給定。再給出所期望的性能指標：1）對系統(tǒng)狀態(tài)運動期望形式所規(guī)定的某些特征量。2）對其運動過程所規(guī)定的某種期望形式或需取極?。ɑ驑O大）值的一個性能函數。綜合：尋找一個控制作用u，使得在其作用下，系統(tǒng)運動的行為滿足所給出的期望性能指標。一般u依賴于系統(tǒng)的實際響應。形式為：u=-kx+v狀態(tài)反饋控制（2）

u=-Fy+v

輸出反饋控制（3）其中：k為p×n常陣，狀態(tài)反饋矩陣。

F為p×q常陣，輸出反饋矩陣。

v—參考輸入向量。二性能指標的類型性能指標非優(yōu)化型性能指標：是一類不等式型的指標，即只要性能達到或好于期望指標就算實現了綜合目標。優(yōu)化型性能指標：是一類極值型指標，綜合的目的是要使性能指標在所有可能值中取為極?。ɑ驑O大）值。常用非優(yōu)化型性能指標：（1）以漸近穩(wěn)定性為性能指標，相應的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題。（2）以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標，相應的綜合問題為極點配置問題。系統(tǒng)運動的形態(tài)，即動態(tài)性能（如超調量）、過渡過程）主要由極點的位置所決定。（3）以使系統(tǒng)的輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號作為性能指標，相應的綜合問題為跟蹤問題。（4）以便一個多輸入—多輸出系統(tǒng)實現“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標，相應的綜合問題稱為解耦控制問題。優(yōu)化型性能指標常取一個相對于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標，其形式為：三研究綜合問題的思路1建立可綜合的條件：建立相對于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標，使相應的控制存在，并實現綜合目標所應滿足的條件。2建立起相應的用以綜合控制規(guī)律的算法。利用這些算法，對滿足可綜合條件的問題。確定出滿足要求的控制規(guī)律，即確定出相應的狀態(tài)反饋和輸出反饋矩陣。

一反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式1狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式1）基本結構形式

2）特點：采用對狀態(tài)向量的線性反饋規(guī)律來構成閉環(huán)系統(tǒng)。3）優(yōu)點：不引入新的狀態(tài)變量。4）狀態(tài)空間模型5.2狀態(tài)反饋和輸出反饋2輸出反饋控制系統(tǒng)的基本結構形式1）基本結構形式2）特點：采用輸出反饋。

3）模型受控系統(tǒng)二反饋控制系統(tǒng)的通用結構形式1帶有觀測器的狀態(tài)反饋（克服狀態(tài)向量x不可能測到，借助狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)重構）。1）結構圖2）觀測器系統(tǒng)是受控系統(tǒng)的狀態(tài)的重構狀態(tài)。是可直接量測的。與雖不等，但漸近相等。觀測器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。

3）閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與觀測器系統(tǒng)階次之和。2帶補償器的輸出反饋克服基本結構形式，不能隨心所欲地任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點，借助補償器來實現閉環(huán)系統(tǒng)的任意配置。1）結構圖2）補償器系統(tǒng)補償器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。3）閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與補償器系統(tǒng)階次之和。三狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性結論1：狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測性。證明：先證能控性。再證狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測性。舉例說明：

從而，表明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。結論2：輸出反饋的引入能同時不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性，即輸出反饋系統(tǒng)為能控（能觀測）的充分必要條件是受控系統(tǒng)為能控（能觀測）。證略。四狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較1狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較都是借助于一個線性反饋陣（K或H）來實現閉環(huán)控制，都具有不增加系統(tǒng)階次的優(yōu)點。2狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為（A-BK），其中K為狀態(tài)反饋陣。輸出反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為（A-BHC），其中H為輸出反饋陣，這里HC相當于狀態(tài)反饋陣中的

K陣，但K的選擇自由度大，而H的選擇自由度小，尤其是HC對系統(tǒng)的影響效果要比K小得多，所以輸出反饋對改善閉環(huán)系統(tǒng)的控制特性要比狀態(tài)反饋差一些。3狀態(tài)反饋和輸出反饋的基本結構形式均不太適用于工程實際問題。狀態(tài)反饋和輸出反饋的通用結構形式較適用于工程實際問題。帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，可解決系統(tǒng)狀態(tài)不能測量時的狀態(tài)重構問題；帶有補償器的輸出反饋系統(tǒng)，可解決輸出反饋基本結構形式不能任意配置極點的問題。4狀態(tài)反饋能保持原受控系統(tǒng)的能控性，但不一定能保持原受控系統(tǒng)的能觀測性。輸出反饋能同時保持原受控系統(tǒng)的能控性和能觀測性。

一狀態(tài)反饋的極點配置問題狀態(tài)反饋的極點配置問題：就是對給定的受控系統(tǒng)，確定狀態(tài)反饋律u=-Kx+v,v為參考輸入，即確定一個

的狀態(tài)反饋增益矩陣K，使所導出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點為{}，也就是成立解決上述極點配置問題，需要解決兩個問題：1）建立可配置條件問題，即利用狀態(tài)反饋而任意地配置其閉環(huán)極點所應遵循的條件。2）建立相應的算法，即用以確定滿足極點配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K的算法。5.3極點配置問題：可配置條件和算法二極點可配置條件〈一〉準備知識1循環(huán)矩陣定義：如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項式等同于其最小多項式，則稱為循環(huán)矩陣。2循環(huán)矩陣特性：1）A為循環(huán)矩陣，當且僅當它的約當規(guī)范形中相應于每一個不同的特征值僅有一個特征塊。2）如果A的所有特征值為兩兩相異，則對應于每一個特征值必僅有一個約當塊，因此A必定是循環(huán)的。3）若A為循環(huán)矩陣，則其循環(huán)性是指：必存在一個向量b，使向量組可張成一個n維空間，也即{A，b}為能控。

4）若{A，B}為能控，且A為循環(huán)，則對幾乎任意的實向量p,單輸入矩陣對{A，Bp}為能控。5）若A不是循環(huán)的，但{A，B}為能控，則對幾乎任意的常陣K，A-BK為循環(huán)?！炊蹬渲脳l件線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點的充分必要條件，是此系統(tǒng)為完全能控。證：必要性：已知可配置極點，欲證{A，B}為能控。利用反證法，假設{A，B}不完全能控，則必可分解為：

上式表明，狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置極點，與已知前提矛盾，故假設不成立。所以{A，B}為能控。充分性。已知{A，B}為能控，欲證可配置極點。分三步來證明：（1）使系統(tǒng)矩陣A為循環(huán)矩陣。若是即可。若A不是循環(huán)陣，則可予置一個狀態(tài)反饋，使得

（2）化多輸入系統(tǒng)的極點配置問題為等價的單輸入系統(tǒng)的極點配置問題。表明對任給{}都必可找到使上式成立，即可任意配置閉環(huán)極點。三算法1單輸入極點配置問題的算法給定能控矩陣對{A，b}和一組期望的閉環(huán)特征值{}，要確定的反饋增益矩陣k，使成立第一步：計算A的特征多項式，即第二步：計算由{}所決定的多項式，即第三步：計算第四步：計算變換陣第五步：求第六步：所求增益陣例：給定單輸入線性定常系統(tǒng)2多輸入極點配置問題的算法算法一：1）條件：給定能控矩陣對{A，B}和一組所期望的閉環(huán)特征值{}，要確定的反饋增益矩陣K，使

成立。2）算法：第一步：判斷A是否為循環(huán)矩陣。若否，選取一個常陣，使為循環(huán)，并表示為；若是，則。第二步：對循環(huán)陣，通過適當選取一個實常向量，表示為，且{}為能控。第三步：對于等價單輸入問題{}，利用單輸入極點配置問題的算法，求出增益向量k。

第四步：當A為循環(huán)時，所求的增益矩陣；當A為非循環(huán)時，所求的增益矩陣為。算法二：1）條件：同上。2）算法：第一步：把能控矩陣對{A，B}，化為龍伯格規(guī)范形。假設n=0,p=3.如：

第二步：把給定的期望閉環(huán)特征值{}按龍伯格規(guī)范形的對角線塊陣的維數，相應地計算第三步：取

由此可導出：

由給定的矩陣對{A，B}，計算出變換矩陣第五步：所求狀態(tài)反饋增益矩陣即為。算法三例：給定多輸入線性定常系統(tǒng)規(guī)范形方案2四狀態(tài)反饋對傳遞函數矩陣的零點的影響（一）單輸入—單輸出系統(tǒng)1分析給定完全能控線性定常系統(tǒng)

2結論：（1）比較（1）、（2）式，一般情況下，引入狀態(tài)反饋雖能使g(s)的極點移動位置，但卻不影響g(s)的零點。（2）設某些極點在狀態(tài)反饋引入后被移動到與g(s)的零點相重合，而構成對消的情況下，則此時狀態(tài)反饋也影響了g(s)的零點，并且造成了被對消掉的那些極點成為不可觀測。（二）多輸入—多輸出系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋可以影響受控系統(tǒng)的G(s)的元傳遞函數的零點。五輸出反饋的極點配置問題1一般地說，利用非動態(tài)輸出反饋(v為參考輸入），不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點。

2對于能控和能觀測的受控系統(tǒng){A，B，C}，令系統(tǒng)的維數為n，且

rankB=p,

rankC=g，則采用非動態(tài)線性輸出反饋，可對數目為

min{n,p+q-1}

個閉環(huán)極點進行“任意地接近”式配置，即可使它們任意地接近于指定的期望極點位置。3如果在引入輸出反饋的同時，附加引入補償器，那么通過適當選取和綜合補償器的結構和特性，將可對所導出的輸出反饋系統(tǒng)的全部極點進行任意地配置。

一能鎮(zhèn)定性定義：對線性定常系統(tǒng)，如果存在狀態(tài)反饋陣K（或輸出反饋陣H）使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)反饋（或輸出反饋）能鎮(zhèn)定的。推論：1）如果狀態(tài)完全能控，那么該系統(tǒng)必然是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。但逆命題不一定成立，即一個狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的系統(tǒng)，卻不一定是狀態(tài)完全能控的。2）如果是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，那么該系統(tǒng)必然是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。但逆命題不一定成立，即一個狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的系統(tǒng)，卻不一定是輸出反饋能鎮(zhèn)定的。5.4鎮(zhèn)定問題：可鎮(zhèn)定條件和算法二可鎮(zhèn)定的條件1狀態(tài)反饋：設有線性定常系統(tǒng)，當且僅當其不能控部分為漸近穩(wěn)定時，則該系統(tǒng)就是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。證明：（1）對不完全能控系統(tǒng)，可根據結構分解定理使之化為(2)根據非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性的性質，所以可研究來代替對（A，B，C）的研究。對可引入狀態(tài)反饋陣，于是有2輸出反饋設有線性定常系統(tǒng)，其輸出反饋能鎮(zhèn)定的充分必要條件為：1）其能控且能觀測部分是輸出反饋能鎮(zhèn)定的。2）其能控不能觀、不能控不能觀、不能控但能觀各部分的所有特征值都具有負實部。三算法給定{A，B}，且知其滿足可鎮(zhèn)定條件，則鎮(zhèn)定問題中綜合狀態(tài)反饋增益矩陣K

的計算步驟如下：1）對{A，B}按能控性進行結構分解，導出{}，并求出變換陣P。

2）對{}，求出約當規(guī)范形：

3）利用極點配置問題算法，計算的反饋增益陣，使均具有負實部。4）所求的鎮(zhèn)定反饋增益矩陣。一解耦的意義：所謂解耦控制問題：就是尋求適當的控制規(guī)律，使得多輸入多輸出閉環(huán)系統(tǒng)中的每個輸出僅由一個輸入所控制，這樣就把一個多輸入多輸出系統(tǒng)化成了多個獨立的單輸入單輸出系統(tǒng)，從而楞實現自治控制。二能解耦性定義：設有多輸入多輸出系統(tǒng)

引入如下假設條件：（1）p=q且p<=n即傳遞函數陣為嚴格真有理分式陣。5.5解耦控制問題：可解耦條件和算法

（2）控制規(guī)律采用輸入變換加狀態(tài)反饋的形式。即其中K為

狀態(tài)反饋陣。L為輸入變換陣。（3）

輸入變換陣L為非奇異，即有

此時可將閉環(huán)系統(tǒng)簡記為：且傳遞函數為：如果存在某個K、L陣，使閉環(huán)傳遞函數為如下形式的非奇異對角線陣

則稱這樣的受控系統(tǒng)是完全解耦的。實現完全解耦后：三傳遞函數矩陣的兩個特征量1定義：四可解耦條件：線性定常受控系統(tǒng)可采用狀態(tài)反饋和輸入變換即存在矩陣對{L，K}

進行解耦的充分必要條件，是如下常陣推論：1）受控系統(tǒng)能否可采用狀態(tài)反饋和輸入變換來實現解耦，唯一地決定于其傳遞函數矩陣G(s)的兩組特征向量和

。從表面上看，與系統(tǒng)的能控性和能鎮(zhèn)定性無關，但從解耦后的系統(tǒng)要能正常運行并具有

良好性能而言，仍要求受控系統(tǒng)是能控的，或至少是能鎮(zhèn)定的。2）為了判斷受控系統(tǒng)能否可采用狀態(tài)反饋和輸入變換來實現解耦，既可從系統(tǒng)的傳遞函數矩陣描述來組成判別矩陣E，也可從系統(tǒng)狀態(tài)空間描述來組成判別陣E。3）對于一個可解耦的受控系統(tǒng)，當選取{L，K}為：

時，必可使系統(tǒng)實現解耦，且解耦控制系統(tǒng)的傳遞函數矩陣為：五確定解耦控制矩陣對{L，K}的算法給定受控系統(tǒng)：

其中，dim(u)=dim(y)=p,{A,B}為能控。再規(guī)定以實現解耦為主要綜合目標，同時對解耦的每一個單輸入—單輸出控制系統(tǒng)要實現期望的極點配置。第一步：計算{}和{}。判斷是否為非奇異。若是可解耦。否則不能解耦，退出計算。第二步：計算第三步：取第四步：引入線性非奇異變換，把{}變換為如下的解耦規(guī)范形：

其中，虛線分塊化表示按能觀測性的結構分解形式，當{}為能觀測時，{}中不出現不能觀測部分。進而有：第五步：對解耦規(guī)范形{}。引入狀態(tài)反饋來實現解耦控制和解耦后的單輸入—單輸出控制系統(tǒng)的極點配置。狀態(tài)反饋增益矩陣取為如下形式的常陣。并且，由此可導出和表明：的結構形式保證了解耦控制的實現，而的元則由解耦后的第i個單輸入—單輸出控制系統(tǒng)的期望極點組所決定。第六步：對于所討論的受控系統(tǒng)，使其實現解耦和對解耦后各單輸入—單輸出系統(tǒng)進行期望的極點配置的{K，L}為完全能觀測例：給定雙輸入—雙輸出的線性定常受控系統(tǒng)為：

顯然{}為能觀測，且{}已處于解耦規(guī)范形，所以無需作進一步變換Q=I。

解耦后單輸入—單輸出系統(tǒng)的期望特征值為：六靜態(tài)解耦控制問題1定義：考慮輸出維數和輸入維數相等的線性定常受控系統(tǒng)2判據：存在{K，L}，可使受控系統(tǒng)（1）實現靜態(tài)解耦的充分必要條件是（I）受控系統(tǒng)是用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的；（II）受控系統(tǒng)的系數矩陣滿足秩關系式

其中：n為系統(tǒng)的維數，p為輸出（和輸入）的維數，且L為非奇異。3算法：第一步：判斷{A，B}是否能穩(wěn)定或能控，判斷系數矩陣的秩條件是否成立。第二步：對于滿足可靜態(tài)解耦條件的系統(tǒng)，按極點配置算法，確定一個狀態(tài)反饋增益矩陣K，使（A-BK）的特征值均具有負實部。

第三步：按照靜態(tài)解耦后各單輸入—單輸出自治系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益要求，確定

第四步：取輸入變換陣

一問題的提出在線性定?？刂葡到y(tǒng)中，狀態(tài)反饋具有任意配置極點的優(yōu)點，可使系統(tǒng)獲得一系列極為有用的重要性質，是一種廣泛采用的控制方法。但狀態(tài)反饋物理實現的基礎是系統(tǒng)的狀態(tài)向量的每一個分量勻均應能直接量測得到。然而在許多復雜的實際應用中，系統(tǒng)內部的每個狀態(tài)分量并不都能量測得到，這就給狀態(tài)反饋的物理實現造成困難。這就提出一個問題，能否通過原系統(tǒng)的輸出輸入加以改造來重新構造新的狀態(tài)向量，使得在時，能復現或近似復現原系統(tǒng)狀態(tài)向量？回答是肯定的，這就是所謂狀態(tài)重構問題。觀測器的含義：如果存在一個動態(tài)系統(tǒng)，它以原受控系統(tǒng)的輸出和輸入作為自身的輸入，且當時，的輸出逼近原控系統(tǒng)的狀態(tài)，則稱是的狀態(tài)觀測器。5.8狀態(tài)重構問題和狀態(tài)觀測器二狀態(tài)觀測器的定義1定義：設有線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不能直接量測的，若存在另一個動態(tài)系統(tǒng)，滿足如下條件：（1）以的輸出y和輸入u作為輸入量；（2）的輸出滿足為的狀態(tài)，則稱是的狀態(tài)觀測器。2構造觀測器的一般原則：（1）觀測器必須以原受控系統(tǒng)的輸出y和輸入u作為輸入。（2）為使觀測器滿足（1）式，則要求原受控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的，或其不能觀部分是漸近穩(wěn)定的。（3）觀測器的輸出應有足夠快的逼近的的速度，因此要求應有足夠的頻帶。（4）觀測器應有較好的抗干擾性。（5）觀測器的結構應盡可能簡單，即的維數應盡可能低。三觀測器的結構形式1觀測器的種類全維觀測器：觀測器的維數等于受控系統(tǒng)的維數。降維觀測器：觀測器的維數小于受控系統(tǒng)的維數。2觀測器的結構形式A全維觀測器的結構形式一般結構形式（1）

結構圖：重構系統(tǒng)是以原系統(tǒng)的可量測變量

u和y為輸入的一個

n維線性定常系統(tǒng)。結構形式（2）結構圖：B

降維觀測器的結構形式一般結構形式四全維狀態(tài)觀測器1全維狀態(tài)觀測器進行任意極點配置的條件結論：n維線性定常系統(tǒng)是能觀測的，即若（A，C）為能觀測，則必可采用全維觀測器來重構其狀態(tài)，并且必可通過選擇增益陣L而任意配置（A-LC）的全部特征值。2算法：給定被估計系統(tǒng)，設{A，C}為能觀測，再對所要設計的全維觀測器指定一組期望極點{}，則設計全維狀態(tài)觀測器的步驟為：第