數(shù)學(xué)-天津市塘沽一中2025屆高三上學(xué)期第二次月考試題和答案

第1頁(yè)/共5頁(yè)塘沽一中2025屆高三畢業(yè)班第二次月考1.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3}，B={xx2-3x＜0}，則A∩B=()2.“a3+a9=2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B.必要不充分條件.C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3，10)后，下列說(shuō)法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)r變小C.變量x，y負(fù)相關(guān)B.殘差平方和變小D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變?nèi)醯?頁(yè)/共5頁(yè)4.已知直線a，b，平面α,β,Y，下列命題正確的是()A.若α∩β=a，b//a，則b//αC.若α丄β,α∩β=a，b//αD.若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，則a//b//c6.函數(shù)f的圖象大致為()A.B.C.D.7.關(guān)于函數(shù)f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四個(gè)結(jié)論：①最大值為·;②把函數(shù)2sin2x-1的圖象向右平移個(gè)單位后可得到函數(shù)第3頁(yè)/共5頁(yè)f(x)=2(sinx-cosx)cosx的圖象；③單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；④圖象的對(duì)稱中心為，k∈Z.其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.如圖甲是一水晶飾品，其對(duì)應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八角星體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個(gè)有共同中心的正四面體交叉組合而成且所有面都是全等的小正三角形，如圖乙所示．若一星形八面體中兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)均為2，則該星形八面體體積為()9.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1的直線與雙曲線C分別在第一、二象限交于A,B兩點(diǎn)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，若|B|=2a，r=則雙曲線C的離心率10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為.11.在的展開式中，x3的系數(shù)為.12.盒子里裝有同樣大小的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，甲先從中取2球（不放回之后乙再?gòu)暮凶又腥?個(gè)球.第4頁(yè)/共5頁(yè)（1）則甲所取的2個(gè)球?yàn)橥虻母怕蕿?）設(shè)事件M為“甲所取的2個(gè)球?yàn)橥颉?，N事件為“乙所取的球與甲所取的球不同色”，則在事件M發(fā)生的條件下，求事件N發(fā)生的概率14.已知圓C:x2+y2=8，MN為圓C的動(dòng)弦，且滿足MN=4，G為弦MN的中點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P,Q在直線l:y=x-4上，且PQ=4，MN運(yùn)動(dòng)時(shí)，-.->0恒成立，則線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是.________15.已知函數(shù)1-2,x>1，若函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.（1）求sinA的值；（i）求a的值；（ii）求sin(2A+C)的值.17.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF丄平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P為棱DF的中點(diǎn).（1）求證：BF//平面APC；第5頁(yè)/共5頁(yè)（2）求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)F到平面ACP的距離. 18.已知橢圓的離心率為，（1）若原點(diǎn)到直線x+y-b=0的距離為·,求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45o的直線l和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，①當(dāng)AB=時(shí)，求b的值；②對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)求實(shí)數(shù)λ、μ滿足的關(guān)系式.19.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*，都有S2n=kSn（k為非零常數(shù)則稱數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”，其中k為和公比.若{bn}是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且{bn}是“和等比數(shù)列”，令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.（1）求{bn}的和公比；（2）求Tn；（3）若不等式nm-2對(duì)任意的n∈N*恒成立，求m的取值范圍.20.已知函數(shù)f(x)=x2lnx.（1）求函數(shù)f(x)的極值；（2）證明：對(duì)任意的x∈(0,+∞)，有f(x)≥x-1；（3）若x1,x2∈(0,1)，證明：f(x1)-f(x2)≤x1-x2.第1頁(yè)/共20頁(yè)塘沽一中2025屆高三畢業(yè)班第二次月考1.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3}，B={xx2-3x＜0}，則A∩B=()【答案】B【解析】【分析】求出集合B后可求A∩B故選：B.2.“a3+a9=2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分條件與必要條件的證明即可得出答案.第2頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有a3+a9=2a6，6成立，不一定有數(shù)列{an}是等差數(shù)列，故選：B.3.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3，10)后，下列說(shuō)法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)r變小B.殘差平方和變小C.變量x，y負(fù)相關(guān)D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布以及相關(guān)性的相關(guān)定義，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A,去掉D(3，10)后，相關(guān)性變強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r變大，對(duì)于B,殘差平方和變小，故B正確，對(duì)于C，散點(diǎn)的分布是從左下到右上，故變量x，y正相關(guān)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故D錯(cuò)誤，故選：B4.已知直線a，b，平面α,β,Y，下列命題正確的是()A.若α∩β=a，b//a，則b//αC.若α丄β,α∩β=a，b//αD.若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，則a//b//c【答案】B【解析】【分析】A，b與α平行或bCα;B，由線面垂直的判定定理可得；C，a,b平行或異面；D，a,b,c三條第3頁(yè)/共20頁(yè)直線或相交或平行.【詳解】對(duì)A，若α∩β=a，b//a，則b與α平行或bCα,故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若α丄Y，β丄Y，α∩β=a，則由線面垂直的判定定理可得a丄Y，故B正確；對(duì)C，若α丄β,α∩β=a，b//α,則a,b平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，則a,b,c三條直線或相交或平行，故D錯(cuò)誤.故選：B.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)運(yùn)算即可.0故選：D.6.函數(shù)f的圖象大致為()A.第4頁(yè)/共20頁(yè)B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得,x∈R，由此可得f(x)為奇函數(shù)，故排除C，D；再判斷函數(shù)在時(shí)的正負(fù)情況即可得答案.由f,x∈R，易知f為奇函數(shù)，故排除C，D；當(dāng)時(shí)，f(x)>0，故只有A滿足，排除B.故選：A.7.關(guān)于函數(shù)f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四個(gè)結(jié)論：①最大值為·;②把函數(shù)2sin2x-1的圖象向右平移個(gè)單位后可得到函數(shù)f(x)=2(sinx-cosx)cosx的圖象；③單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；④圖象的對(duì)稱中心為，k∈Z.其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B【解析】第5頁(yè)/共20頁(yè)【分析】把f(x)化為Asin(①x+φ)+b的形式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=2(sinxcosx)cosx=sin2x(1+cos2x)=·i2sin(2x)1.對(duì)于①,f(x)最大值為·i21，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②,把函數(shù)2sin2x1的圖象向右平移個(gè)單位后可得到函數(shù)為，k∈Z，故④正確，所以正確的有2個(gè).故選：B.8.如圖甲是一水晶飾品，其對(duì)應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八角星體，是一種二復(fù)合四面體，它是由兩個(gè)有共同中心的正四面體交叉組合而成且所有面都是全等的小正三角形，如圖乙所示．若一星形八面體中兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)均為2，則該星形八面體體積為()【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及正四面體的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知星行八面體體積為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的大正四面體與四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體的體積之和，.故選：A.229.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1的直線與雙曲線C分別在第第6頁(yè)/共20頁(yè)一、二象限交于A,B兩點(diǎn)，△ABF2內(nèi)切圓的半徑為r，若|B|=2a，r=則雙曲線C的離心率A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,上F1AF2=，進(jìn)一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R，所以AP=AR,BP=BQ,F2Q=F2R，:點(diǎn)A在雙曲線上，:AF1-AF2=2a，又:BF1=2a,:AB=AF2，:BP=F2R，:BQ=QF2，:點(diǎn)B在雙曲線上，:lBF2l=4a，設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接IQ,IF2，如圖所示，:上QF2I=，第7頁(yè)/共20頁(yè)π2,:△ABF2為等邊三角形，:AF=6aAF=4aπ2,在△AF1F2由余弦定理得：F1F22=AF12+AF22-2AF1AF2cos上F1AF2，即：4c2=36a2+16a2-24a2=28a2，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,上F1AF2=，由此即可順利得解.10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為.【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算.11.在的展開式中，x3的系數(shù)為.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式即可求解.的二項(xiàng)展開式為Tr+1=Cx4-rrx4-故答案為：6.第8頁(yè)/共20頁(yè)12.盒子里裝有同樣大小的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，甲先從中取2球（不放回之后乙再?gòu)暮凶又腥?個(gè)球.（1）則甲所取的2個(gè)球?yàn)橥虻母怕蕿?）設(shè)事件M為“甲所取的2個(gè)球?yàn)橥颉保琋事件為“乙所取的球與甲所取的球不同色”，則在事件M發(fā)生的條件下，求事件N發(fā)生的概率P(NM)=.【答案】①.；②..【解析】【分析】（1）利用超幾何分布求概率即可；（2）利用條件概公式求解即可.【詳解】解1）設(shè)事件A為“甲所取的2個(gè)球?yàn)橥颉彼怨蚀鸢笧椤敬鸢浮竣?②.-【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，可得λD--=(λ,-λ),0≤λ≤1，表示出M(λ,1-λ)，【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，第9頁(yè)/共20頁(yè)∵P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且，可得P因?yàn)辄c(diǎn)M為線段BD（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)D--=λD--=(λ,-λ),0≤λ≤1,故M(λ,1-λ)，-λ,λ-1)，故MP.MB=(5故MP.MB=(5-λ,λ-5).(1-λ,λ-1)=2λ2-3λ+1=2(λ-4)2-8，由于0≤λ≤1，所以λ=取到最小值-，-，故答案為：-；-14.已知圓C:x2+y2=8，MN為圓C的動(dòng)弦，且滿足MN=4，G為弦MN的中點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P,Q在直線l:y=x-4上，且PQ=4，MN運(yùn)動(dòng)時(shí)，-.->0恒成立，則線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是.________【答案】(-∞,0)U(4,+∞)【解析】【分析】由題得出OG=2，設(shè)PQ的中點(diǎn)E(a,a-4)，由-.->0恒成立，可得以O(shè)為圓心，2為半徑的圓與E外離，列出不等式求解即可.【詳解】由題意，圓C:x2+y2=8的圓心為C(0,0)，半徑r=2，第10頁(yè)/共20頁(yè)所以點(diǎn)G在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，又由兩動(dòng)點(diǎn)P,Q在直線l:y=x-4上，且PQ=4，設(shè)PQ的中點(diǎn)E(a,a-4)，則P,Q在以E(a,a-4)為圓心，半徑為2的圓上，所以線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,0)U(4,+∞)，故答案為：(-∞,0)U(4,+∞).15.已知函數(shù)1-2,x>1，若函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，分析y=f(x)與y=kx+2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍即可.【詳解】由題意，函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2有三個(gè)零點(diǎn)即f(x)-kx+2=0有三個(gè)解，即y=f(x)與y=kx+2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.第11頁(yè)/共20頁(yè)作出y=f(x)與y=kx+2的圖象，易得當(dāng)k≤0時(shí)不成立，故k>0.當(dāng)x<-2時(shí)y=f(x)與y=kx+2必有一個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)x>-2有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x>-2時(shí)，因?yàn)閥=kx+2=k(x+2)恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0)，此時(shí)y=k(x+2)(k>0)與y=ex+1,x≤1或y=-x2+3x-2,x>1有2個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)y=k(x+2)(k>0)與y=ex+1,x≤1有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，考慮臨界條件，當(dāng)y=k(x+2)(k>0)與y=ex+1,x≤1相切時(shí)，y’=ex+1.設(shè)切點(diǎn)，則=ex0+1，解得x0=-1，此時(shí)切點(diǎn)(-1,1)，k=1；故1<k≤e23②當(dāng)y=k(x+2)(k>0)與y=-x2+3x-2,x>1有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，考慮臨界條件，當(dāng)y=k(x+2)(k>0)與y=-x2+3x-2,x>1相切時(shí)，k(x+2)=-x2+3x-2，即x2+(k-3)x+2k+2=0，此時(shí)=0，即k2-14k+1=0，解得k=7±4由圖可得k<1，故k=7-4此時(shí)第12頁(yè)/共20頁(yè)綜上故答案為16.已知VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4a=c，cosC=（1）求sinA的值；（2）若b=11，（i）求a的值；（ii）求sin(2A+C)的值. 【解析】【分析】（1）利用同角基本關(guān)系式與正弦定理的邊角變換即可得解；（2i）利用余弦定理運(yùn)算即可得解；(ⅱ)根據(jù)三角恒等變換運(yùn)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?a=c，由正弦定理得4sinA=sinC，【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得cosC=即a2+6a-55=0，解得a=5或a=-11（舍去第13頁(yè)/共20頁(yè)17.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF丄平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P為棱DF的中點(diǎn).（1）求證：BF//平面APC；（2）求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)F到平面ACP的距離.【答案】（1）證明見解析；【解析】【分析】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，由中位線定理和線面平行判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，求得平面BCF與平面APC的法向量，利用空間向量法即可求出結(jié)果.（3）由（2）中信息，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，由P，O分別為DF和DB的中點(diǎn)，得BF//PO，而POC平面APC，BF丈平面APC，所以BF//平面APC.第14頁(yè)/共20頁(yè)【小問(wèn)2詳解】由直線AF丄平面ABCD，AB,AD平面ABCD，得AF丄AB,AF丄AD，由矩形ABCD，得AD丄AB，以A為原點(diǎn)，直線AB,AD,AF分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1),P(0,1,)，所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為|cos【小問(wèn)3詳解】––所以點(diǎn)F到平面ACP的距離. 18.已知橢圓的離心率為，（2）設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45o的直線l和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，第15頁(yè)/共20頁(yè)λ、μ滿足的關(guān)系式.【解析】【分析】（1）由條件列式解得a2、b2、c2后求解，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出b；②由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得M坐標(biāo)后代入橢圓方程求解.【小問(wèn)1詳解】22【小問(wèn)2詳解】故橢圓的方程可化為x2+3y2=3b24(32b)23b24(32b)2所以AB所以(x2:b=1.可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量OM，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ,使得等OM=λ第16頁(yè)/共20頁(yè)設(shè)M(x,y)，:(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)，:x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，2222x222222點(diǎn)M在橢圓上，所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，所以λ2x+2λμx1x2+μ2x+3(λ2y+2λμy1y2+μ2y)=3b2，即λ2x+μ2x+3λ2y+3μ2y=3b2，2，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1、x2,y2)；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ;（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1x2的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*，都有S2n=kSn（k為非零常數(shù)則稱數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”，其中k為和公比.若{bn}是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且{bn}是“和等比數(shù)列”，令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.（1）求{bn}的和公比；（2）求Tn；（3）若不等式nm一2對(duì)任意的n∈N*恒成第17頁(yè)/共20頁(yè)n1【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，前n項(xiàng)和為An，由{bn}是“和等比數(shù)列”，所以A2n=kAn，化簡(jiǎn)可得k的值；（2）由（1）可知cn=2一1，由一>0，再分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求解可得m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，前n項(xiàng)和為An，因?yàn)閧bn}是“和等比數(shù)列”，所以，解得所以{bn}的和公比為4.【小問(wèn)2詳解】，22.【小問(wèn)3詳解】第18頁(yè)/共20頁(yè)n+1n922n+1922n-14n.n+1n922n+1