2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.2習(xí)題課2習(xí)題含解析北師大版選修2-1

習(xí)題課(2)限時：45分鐘總分：100分一、選擇題(每小題5分，共40分)1．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點的距離是a(a>eq\f(p,2))，則點M的橫坐標(biāo)是(B)A．a(chǎn)＋eq\f(p,2) B．a(chǎn)－eq\f(p,2)C．a(chǎn)＋p D．a(chǎn)－p解析：由拋物線的定義知：點M到焦點的距離a等于點M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的距離，所以點M的橫坐標(biāo)，即點M到y(tǒng)軸的距離為a－eq\f(p,2).2．若拋物線y2＝4x上一點P到焦點F的距離為10，則P點坐標(biāo)為(B)A．(9,6)B．(9，±6)C．(6,9)D．(6，±9)解析：拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1.∵P到F的距離為10，設(shè)P為(x，y)，∴x＋1＝10，∴x＝9.又P在拋物線上，∴y2＝36，y＝±6，∴P點坐標(biāo)為(9，±6)．3．動圓M經(jīng)過點A(8,0)且與直線l：x＝－8相切，則動圓圓心M的軌跡方程是(A)A．y2＝32x B．y2＝8xC．y2＝－8x D．y2＝9x解析：由拋物線的定義知，動點M的軌跡是以A為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，因此p＝16，故拋物線方程為y2＝32x.4．到定點(3,5)與定直線2x＋3y－21＝0的距離相等的點的軌跡是(D)A．圓 B．拋物線C．線段 D．直線解析：∵點(3,5)在直線2x＋3y－21＝0上，∴符合條件的點的軌跡是過點(3,5)且與直線2x＋3y－21＝0垂直的直線．5．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(C)A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：設(shè)圓的半徑為r，因為F(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－2，由圓與準(zhǔn)線相交知4<r.因為點M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，所以xeq\o\al(2,0)＝8y0，又點M(x0，y0)在圓x2＋(y－2)2＝r2上，所以xeq\o\al(2,0)＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即yeq\o\al(2,0)＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6，又因為y0≥0，所以y0>2，故選C.6．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若點A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為(C)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，如圖．∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.7．如圖，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是(A)A.eq\f(|BF|－1,|AF|－1)B.eq\f(|BF|2－1,|AF|2－1)C.eq\f(|BF|＋1,|AF|＋1)D.eq\f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)解析：由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.如圖所示，過A作AA2⊥y軸于點A2，過B作BB2⊥y軸于點B2，則eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB2|,|AA2|)＝eq\f(|BF|－1,|AF|－1).8．已知點P為拋物線y2＝2px(p>0)上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與x軸平行，若同時與直線l、直線PF、x軸相切且位于直線PF左側(cè)的圓與x軸的切點為點Q，則點Q(B)A．位于原點的左側(cè)B．與原點重合C．位于原點的右側(cè)D．以上均有可能解析：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸、直線l分別交于點D，C，圓與直線l、直線PF分別切于點A，B，如圖．由拋物線的定義知|PC|＝|PF|，由切線性質(zhì)知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DQ|，|BF|＝|FQ|，所以|DQ|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以O(shè)，Q重合，故選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．若拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－1.解析：因為拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－1.10．拋物線y2＝2x上的兩點A，B到焦點的距離之和是5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2.解析：拋物線y2＝2x的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點的橫坐標(biāo)為2，故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2.11．平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過點P(－1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．解析：依題意可知，機(jī)器人行進(jìn)的軌跡方程為y2＝4x.由題意知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)斜率為k，則直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.由Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，得k2>1，解得k<－1或k>1.12．已知AB為拋物線y＝x2上的動弦，且|AB|＝a(a為常數(shù)且a≥1)，則弦AB的中點M離x軸的最近距離為eq\f(1,4)(2a－1)．解析：如圖所示，設(shè)A，M，B點的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，A，M，B三點在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A′，M′，B′.由拋物線的定義，|AF|＝|AA′|＝y(tǒng)1＋eq\f(1,4)，|BF|＝|BB′|＝y(tǒng)3＋eq\f(1,4).所以y1＝|AF|－eq\f(1,4)，y3＝|BF|－eq\f(1,4).又M是線段AB的中點，所以y2＝eq\f(1,2)(y1＋y3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AF|＋|BF|－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AB|－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)(2a－1)，等號成立的條件是A，F(xiàn)，B三點共線，即AB為焦點弦．又|AB|＝a≥1，所以AB可以取為焦點弦，即等號可以成立，所以中點M到x軸的最近距離為eq\f(1,4)(2a－1)．三、解答題(共40分，寫出必要的文字說明、計算過程或演算步驟)13．(12分)已知動圓M與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，則由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等．由拋物線的定義可知：動圓圓心M的軌跡是以C(0，－3)為焦點，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y.14．(13分)已知拋物線y2＝2x.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)，0)，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,0)，求拋物線上的點到點A的距離的最小值d，并寫出d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式．解：(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＝(x－eq\f(2,3))2＋y2＝(x－eq\f(2,3))2＋2x＝(x＋eq\f(1,3))2＋eq\f(1,3).因為x≥0，且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x＝0時，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距離點A最近的點P的坐標(biāo)為(0,0)，最短距離是eq\f(2,3).(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．當(dāng)a－1≥0，即a≥1時，deq\o\al(2,min)＝2a－1，解得dmin＝eq\r(2a－1)，此時x＝a－1；當(dāng)a－1<0，即a<1時，deq\o\al(2,min)＝a2，解得dmin＝|a|，此時x＝0.所以d＝f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2a－1)，a≥1，,|a|，a<1.))15．(15分)A、B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，并滿意OA⊥OB，求證：A、B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積，分別都是一個定值．證明：因為AB斜率不為0，設(shè)直線AB方程為my＝x＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(my＝x＋b,y2＝2px))消去x，得