2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)21第十一章立體幾何11.4.2平面與平面垂直含解析新人教B版必修第四冊(cè)

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)21平面與平面垂直時(shí)間：45分鐘eq\a\vs4\al(一、選擇題每小題5分，共40分)1．兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直線在另一個(gè)平面內(nèi)解析：有如圖所示三種狀況．2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面BDC解析：如圖，已知AD⊥BC，BD⊥AD，且BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.3．已知l?β，m⊥α，有下列四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是(D)A．②與④B．③與④C．①與②D．①與③解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,α∥β))?m⊥β)),,,l?β))?m⊥l，∴①正確，否定A、B，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(又\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,l∥m))?l⊥α)),,,l?β))?β⊥α，∴③正確，否定C，故選D.4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(C)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正確．5．在四面體A-BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C為直二面角，E是CD的中點(diǎn)，則∠AED等于(A)A．90°B．45°C．60°D．30°解析：如圖，設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中點(diǎn)F，連接AF，CF.由題意可得AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD為正三角形．∵E是CD的中點(diǎn)，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故選A.6．三個(gè)平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)O，點(diǎn)P到三個(gè)面的距離分別是3,4,5，則OP的長(zhǎng)為(B)A．5eq\r(3)B．5eq\r(2)C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)解析：∵三個(gè)平面兩兩垂直，∴可以將P與各面的垂足連接并補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，∴OP即為對(duì)角線，∴OP＝eq\r(32＋42＋52)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).7．已知二面角α-l-β為60°，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在平面α，β內(nèi)，P到β的距離為eq\r(3)，Q到α的距離為2eq\r(3)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為(C)A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4解析：如圖，分別作QA⊥α于點(diǎn)A，AC⊥l于點(diǎn)C，PB⊥β于點(diǎn)B，PD⊥l于點(diǎn)D，連接CQ，BD，則∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2eq\r(3)，BP＝eq\r(3)，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(12＋AP2)≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)AP＝0，即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值．故選C.8．如圖(1)所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體A-BCD(如圖(2)所示)，則在四面體A-BCD中，下列說法正確的是(D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.又∵∠BCD＝45°，AB＝AD，AD∥BC，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.而平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ADC.eq\a\vs4\al(二、填空題每小題6分，共18分)9．若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則肯定相互垂直的平面有7對(duì)．解析：如圖，平面PAD，PBD，PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小為45°.解析：∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1-AB-C的平面角，大小為45°.11．假如規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則x＝z，叫作x，y，z關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個(gè)平面α，β，γ關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是平行．解析：由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．三、解答題寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，12、13、15題各12分，14題6分，共42分12．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點(diǎn)．(1)求證：直線A1B1∥平面ABD；(2)求證：平面ABD⊥平面BCC1B1.證明：(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1，得A1B1∥AB.因?yàn)锳1B1?平面ABD，AB?平面ABD，所以直線A1B1∥平面ABD.(2)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因?yàn)锳B⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锳B?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d.解：(1)證明：證法一：連接AC，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又∵AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.證法二：∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，∴EF⊥BD.又∵EF⊥D1D，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)設(shè)EF與BD交于點(diǎn)G，連接B1G，如圖所示，在對(duì)角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H.∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d＝D1H.解法一：在Rt△D1HB1中，D1H＝D1B1·sin∠D1B1H.∵D1B1＝eq\r(2)A1B1＝eq\r(2)·2eq\r(2)＝4，sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝eq\f(B1B,GB1)＝eq\f(4,\r(42＋12))＝eq\f(4,\r(17))，∴d＝D1H＝4·eq\f(4,\r(17))＝eq\f(16\r(17),17).解法二：∵△D1HB1∽△B1BG，∴eq\f(D1H,B1B)＝eq\f(D1B1,B1G).∴d＝D1H＝eq\f(B1B·D1B1,B1G)＝eq\f(42,\r(42＋12))＝eq\f(16\r(17),17).解法三：連接D1G，如圖，則△D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半，則eq\f(1,2)·B1G·d＝eq\f(1,2)B1B·D1B1，∴d＝D1H＝eq\f(B1B·D1B1,B1G)＝eq\f(16\r(17),17).——素養(yǎng)提升——14．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿意DM⊥PC(或BM⊥PC等)時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：由題意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD.∴平面MBD⊥平面PCD.15．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵