專題01 實(shí)數(shù)精講精練（解析版）

第01講實(shí)數(shù)

1.理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸表示有理數(shù)

2.借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)的絕對(duì)值的方法，知道a的含義

3.掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算

4.理解乘方的意義

5.理解有理數(shù)的運(yùn)算律

6.了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根

7.了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的立方根

8.了解乘方與開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)的平方根

9.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)

10.能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值

11.能估計(jì)無理數(shù)的大致范圍

12.了解近似數(shù)的概念

★簡單；★★易錯(cuò)；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

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考點(diǎn)1：實(shí)數(shù)的分類..............................................................3

考點(diǎn)2：數(shù)軸的相關(guān)計(jì)算.........................................................10

考點(diǎn)3：相反數(shù).................................................................16

考點(diǎn)4：絕對(duì)值.................................................................20

考點(diǎn)5：科學(xué)記數(shù)法.............................................................27

考點(diǎn)6：近似數(shù).................................................................31

考點(diǎn)7：實(shí)數(shù)的大小比較.........................................................37

考點(diǎn)8：平方根、算術(shù)平方根、立方根.............................................41

考點(diǎn)9：實(shí)數(shù)的運(yùn)算.............................................................48

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖............................................................54

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固........................................................55

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考點(diǎn)1：實(shí)數(shù)的分類

①實(shí)數(shù)分類

②無理數(shù)幾種常見類型：

1.開不盡的數(shù)型：如5，8等開方開不盡的數(shù)；

2.構(gòu)造型：如0.1010010001…；

3.π及含π的數(shù)：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的計(jì)算，估算無理數(shù)的大小.

4.三角函數(shù)

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【例題精析1】｛無理數(shù)-判斷★｝在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是()

1

A．sin45B．C．0.3D．tan45

3

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．

21

【解答】解：A．sin45，是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不

23

合題意；C．0.3是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；D．tan451，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，

故本選項(xiàng)不合題意；故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，2等；開方開不盡的數(shù)；

以及像0.1010010001，等有這樣規(guī)律的數(shù)．

【例題精析2】｛實(shí)數(shù)概念綜合★｝下列說法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；②無理數(shù)都是帶根

號(hào)的數(shù)；③負(fù)數(shù)沒有立方根；④64的平方根是8．其中正確的有()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【分析】直接利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系以及無理數(shù)的定義、立方根、平方根的定義分別分析得出答案．

【解答】解：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，符合題意；②無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，原說法不合題

意；③負(fù)數(shù)也有立方根，原說法不合題意；④648的平方根是22，原說法不合題意．故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系以及無理數(shù)的定義、立方根、平方根的定義，正確掌握相關(guān)定

義是解題關(guān)鍵．

【例題精析3】｛實(shí)數(shù)分類★｝下列說法正確的是()

A．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)B．正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

C．正數(shù)、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D．整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是有理數(shù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及其分類求解可得．

【解答】解：A．正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B．正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)，

說法正確，故本選項(xiàng)符合題意；C．正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

D．整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是有理數(shù)，說法錯(cuò)誤，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，掌握有理數(shù)的相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．

【例題精析4】｛無理數(shù)-程序圖★★｝（涼山州·中考真題）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的x

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為64時(shí)，輸出的y是()

A．22B．32C．23D．8

【分析】把x64代入數(shù)值轉(zhuǎn)換器中計(jì)算確定出y即可．

【解答】解：由題中所給的程序可知：把64取算術(shù)平方根，結(jié)果為8，8是有理數(shù)，結(jié)果8為無理數(shù)，

y822．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)，弄清數(shù)值轉(zhuǎn)換器中的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．

【例題精析5】｛實(shí)數(shù)概念綜合★｝（河北·中考真題）如圖為張小亮的答卷，他的得分應(yīng)是()

A．100分B．80分C．60分D．40分

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、倒數(shù)、相反數(shù)、立方根以及平均數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．

1

【解答】解：1的絕對(duì)值為1，2的倒數(shù)為，2的相反數(shù)為2，1的立方根為1，1和7的平均數(shù)為3，

2

故小亮得了80分，故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，掌握絕對(duì)值、倒數(shù)、相反數(shù)、立方根以及平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

【例題精析6】｛實(shí)數(shù)-新定義★★｝（2020?長沙）2020年3月14日，是人類第一個(gè)“國際數(shù)學(xué)日”．這

個(gè)節(jié)日的昵稱是“(Day)”．國際數(shù)學(xué)日之所以定在3月14日，是因?yàn)椤?.14”是與圓周率數(shù)值最接

近的數(shù)字．在古代，一個(gè)國家所算得的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個(gè)國家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)與科技發(fā)

展水平的一個(gè)主要標(biāo)志．我國南北朝時(shí)的祖沖之是世界上最早把圓周率的精確值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第7

位的科學(xué)巨匠，該成果領(lǐng)先世界一千多年．以下對(duì)于圓周率的四個(gè)表述：

①圓周率是一個(gè)有理數(shù)；

②圓周率是一個(gè)無理數(shù)；

③圓周率是一個(gè)與圓的大小無關(guān)的常數(shù)，它等于該圓的周長與直徑的比；

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④圓周率是一個(gè)與圓的大小有關(guān)的常數(shù)，它等于該圓的周長與半徑的比．

其中表述正確的序號(hào)是()

A．②③B．①③C．①④D．②④

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類和的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案．

【解答】解：因?yàn)閳A周率是一個(gè)無理數(shù)，是一個(gè)與圓的大小無關(guān)的常數(shù)，它等于該圓的周長與直徑的比，

所以表述正確的序號(hào)是②③；故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類和“”的意義是解題的關(guān)鍵．

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1

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛無理數(shù)-判斷★｝（2020?遂寧）下列各數(shù)3.1415926，9，1.212212221，，2，

7

2020，34中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有3個(gè)．

【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)，找出無理數(shù)的

個(gè)數(shù)．

【解答】解：在所列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有1.212212221，2，34這3個(gè)，故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)的知識(shí)，解答本題的掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡得到的無限不循環(huán)

小數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含或由構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)．

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛實(shí)數(shù)概念綜合★★｝下列說法：①0.25的平方根是0.5；②任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，

因而任何數(shù)的平方根也是非負(fù)數(shù)；③任何一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根都不大于這個(gè)數(shù)；④平方根等于本身的

數(shù)是0．其中正確的是()

A．④B．①②C．②③D．③

【分析】根據(jù)平方根的定義即可求出答案．

【解答】解：①負(fù)數(shù)沒有平方根，故①不符合題意．②一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，故②不

1111

符合題意．③的平方根為，此時(shí)的平方根大于，故③不符合題意．④平方根等于本身的數(shù)是0，

4244

故④符合題意．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛實(shí)數(shù)分類★｝下列說法中，正確的是()

【知識(shí)拓展】（自然數(shù)：。）

A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)B．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

C．零不是自然數(shù)，但它是有理數(shù)D．正分?jǐn)?shù)、零、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得答案．

【解答】解：A、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故A錯(cuò)誤；B、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故A正確；

C、零是自然數(shù)，是有理數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)，利用了有理數(shù)的意義．

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛實(shí)數(shù)-新定義★★★｝（2021?隨州）2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研

制出可編程超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)“祖沖之”號(hào)的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，

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22355

他是第一個(gè)將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的人，他給出的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密

7113

率）．同時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：

bdbd

設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有x，其中a，b，c，d為正整數(shù)），

acac

bd15722

則是x的更為精確的近似值．例如：已知，則利用一次“調(diào)日法”后可得到的一

ac507

1572217917917922

個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：；由于3.1404，再由，可以再次使用

5075757577

73

“調(diào)日法”得到的更為精確的近似分?jǐn)?shù)現(xiàn)已知2，則使用兩次“調(diào)日法”可得到2的近

52

似分?jǐn)?shù)為．

【分析】根據(jù)“調(diào)日法”逐次進(jìn)行計(jì)算求解．

737310

【解答】解：2，利用一次“調(diào)日法”后可得到2的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：，

52527

10100100710

且2，2再次使用“調(diào)日法”得到2的更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：

7494957

7101717

．故答案為：．

571212

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的推理與證明，根據(jù)“調(diào)日法”的定義進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題，考

查了計(jì)算能力．

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22

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?永州）在0，，0.101001，，38中無理數(shù)的個(gè)數(shù)是1個(gè)．

7

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．

22

【解答】解：0，382，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；0.101001是有限小數(shù)，屬于有

7

理數(shù)；無理數(shù)有，共1個(gè)．故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了無理數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理

數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，2，0.8080080008（每兩個(gè)8之間依次多1個(gè)0)等形式．

31

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（通遼·中考真題）實(shí)數(shù)tan45，38，0，，9，，sin60，0.3131131113

53

（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1)，其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A．4B．2C．1D．3

【分析】掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)，結(jié)合題意判斷

即可．

31

【解答】解：在實(shí)數(shù)tan45，38，0，，9，，sin60，0.3131131113（相鄰兩個(gè)3之間依次

53

3

多一個(gè)1)中，無理數(shù)有：，sin60，0.3131131113（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1)，共3個(gè)，

5

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，熟記無理數(shù)的三種形式，①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，

③含有的數(shù)是解題的關(guān)鍵．

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考點(diǎn)2：數(shù)軸的相關(guān)計(jì)算

（1）三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度

（2）特征：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；數(shù)軸右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大

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【例題精析1】｛數(shù)軸的幾何意義★★｝（泰安·中考真題）如圖，四個(gè)實(shí)數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若nq0，則m，n，p，q四個(gè)實(shí)數(shù)中，絕對(duì)值最大的一個(gè)是()

A．pB．qC．mD．n

【分析】根據(jù)nq0可以得到n、q的關(guān)系，從而可以判定原點(diǎn)的位置，從而可以得到哪個(gè)數(shù)的絕對(duì)值最

大，本題得以解決．

【解答】解：nq0，n和q互為相反數(shù)，0在線段NQ的中點(diǎn)處，絕對(duì)值最大的點(diǎn)P表示的數(shù)p，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

【例題精析2】｛實(shí)數(shù)的幾何意義★｝如圖，數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)是()

A．13B．22C．3.6D．3.7

【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)得到OA3，利用基本作圖得到AB2，再利用勾股定理計(jì)算出OB，從而得到OC

的長，然后利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到C點(diǎn)表示的數(shù)．

【解答】解：OA3，AB312，OB13，OCOB13，

點(diǎn)C表示的數(shù)是13，故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；以及勾股定理的基本計(jì)算．也考查

了基本作圖．

【例題精析3】｛數(shù)軸的計(jì)算★｝（2021?福州模擬）若實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖

所示，則①a4；②bd0；③|a|c2；④cd的結(jié)論中，正確的是()

A．①②B．①④C．②③D．③④

【分析】①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大即可判斷；②根據(jù)異號(hào)兩數(shù)的加法法則判斷；

③注意到c是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，所以c21，而|a|3，從而作出判斷；④先判斷c2與d的大小，再開方即可．

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【解答】解：①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大可知：a4，符合題意；

②異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，取d的符號(hào)正號(hào)，所以bd0，不符合題意；

③|a|3，c21，|a|c2，不符合題意；④c21，d2，c2d，cd，符合題意；故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是注意到c是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，所以c21．

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛實(shí)數(shù)的幾何意義★｝（成都中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．

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【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜邊長即可得出A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．

【解答】解：由圖形可得：1到A的距離為12225，則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是：51．

故答案為：51．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出1到A的距離是解題關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛數(shù)軸的計(jì)算★｝（2019?北京）在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a，2，

將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C，若COBO，則a的值為()

A．3B．2C．1D．1

【分析】根據(jù)COBO可得點(diǎn)C表示的數(shù)為2，據(jù)此可得a213．

【解答】解：點(diǎn)C在原點(diǎn)的左側(cè)，且COBO，點(diǎn)C表示的數(shù)為2，a213．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛數(shù)軸的計(jì)算★★★｝有一題目：點(diǎn)P、Q、M分別表示數(shù)1、1、5，三點(diǎn)在數(shù)軸上同

時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)方向是向左，運(yùn)動(dòng)速度是2/s；點(diǎn)Q、M的運(yùn)動(dòng)方向是向右，運(yùn)動(dòng)速度分別1/s、

3/s，如圖，在運(yùn)動(dòng)過程中，甲、乙兩位同學(xué)提出不同的看法：

甲：3PM5PQ的值不變；

乙：5QM3PQ的值不變；

下列選項(xiàng)中，正確的是()

A．甲、乙均正確B．甲正確、乙錯(cuò)誤

C．甲錯(cuò)誤、乙正確D．甲、乙均錯(cuò)誤

【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，用含t的代數(shù)式表示PM、PQ、QM，代入3PM5PQ和5QM3PQ計(jì)算即

可得到答案．

【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)P、Q、M分別表示數(shù)1、1、5，

P運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是12t，Q運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是1t，M運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是53t，

PM(53t)(12t)5t6，PQ(1t)(12t)3t2，QM(53t)(1t)2t4，

3PM5PQ3(5t6)5(3t2)8，5QM3PQ5(2t4)3(3t2)t2，

3PM5PQ的值不變，5QM3PQ的值隨t的增大而增大，甲正確、乙錯(cuò)誤，故選：B．

第13頁共75頁.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)后表示的數(shù)的規(guī)律：左減右加．

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?廣州）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且ab0，若AB6，則

點(diǎn)A表示的數(shù)為()

第14頁共75頁.

A．3B．0C．3D．6

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，由ab0，AB6得a0，b0，ba，故ABb(a)6．進(jìn)而推

斷出a3．

【解答】解：ab0，ab，即a與b互為相反數(shù)．又AB6，ba6．2b6．b3．

a3，即點(diǎn)A表示的數(shù)為3．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相反數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2019?福建）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是4和2，點(diǎn)C是線段AB的中

點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是．

【分析】根據(jù)A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為4和2，利用中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)即可．

1

【解答】解：數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是4和2，線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)(42)1．

2

即點(diǎn)C所表示的數(shù)是1．故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．

第15頁共75頁.

考點(diǎn)3：相反數(shù)

（1）概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)

（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)a+b=0

（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等

第16頁共75頁.

【例題精析1】｛相反數(shù)的定義★｝下列兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)的是()

189

A．0.5和B．()和()C．和3.14D．20和(20)

298

【分析】將每組中的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算，根據(jù)結(jié)果和互為相反數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可．

11

【解答】解：因?yàn)?.50，所以0.5與是互為相反數(shù)，因此選項(xiàng)A符合題意；

22

8989

因?yàn)?)()0，因此()和()不是互為相反數(shù)，因此選項(xiàng)B不符合題意；

9898

因?yàn)?.140.0015926，因此選項(xiàng)C不符合題意；因?yàn)?0(20)202040，因此20和(20)

不是互為相反數(shù)，所以選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互為相反數(shù)，掌握互為相反數(shù)的意義是正確判斷的前提．

【例題精析2】｛相反數(shù)的定義★★｝下列說法正確的是()

A．符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)B．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)

C．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比這個(gè)數(shù)本身小D．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)等于原數(shù)

【分析】利用相反數(shù)的意義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行辨別，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)可以舉出反例，選出正確選項(xiàng)．

【解答】解：相反數(shù)是只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，零的相反數(shù)仍舊是零．

3和5的符號(hào)相反，但3和5不是相反數(shù)，

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；5的相反數(shù)是5，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；2的相反數(shù)是2，22，

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身，D選項(xiàng)正確；故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相反數(shù)的意義，熟記相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

【例題精析3】｛相反數(shù)的代數(shù)意義★｝若3a4與2b6互為相反數(shù)，則4b6a的值為4．

【分析】直接利用相反數(shù)的性質(zhì)得出3a42b60，進(jìn)而得出答案．

【解答】解：3a4與2b6互為相反數(shù)，

3a42b60，3a2b2，4b6a2(2b3a)4．故答案為：4．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

【例題精析4】｛相反數(shù)-符號(hào)化簡★｝下列化簡正確的是()

A．(2)2B．(3)3C．(3)3D．(2)2

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．

【解答】解：A、(2)2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、(3)3，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；

C、(3)3，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

第17頁共75頁.

D、(2)2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)

數(shù)叫做互為相反數(shù)．

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛相反數(shù)的定義★｝若一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)一定是()

第18頁共75頁.

【知識(shí)拓展】（倒數(shù)等于它本身：；絕對(duì)值等于它本身：。）

1

A．0B．1C．1D．

2

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答．

【解答】解：0的相反數(shù)是0，如果一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛相反數(shù)的定義★｝已知a與b互為相反數(shù)，則下列式子：①ab0；②ab；③ab；

a

④0，其中一定成立的是()

b

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．

a

【解答】解：a與b互為相反數(shù)，①ab0，正確；②ab，正確；③ab錯(cuò)誤；④0(a0)，

b

原式錯(cuò)誤，故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛相反數(shù)的代數(shù)意義★｝如果a和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，那么10cdab10

【分析】直接利用相反數(shù)和倒數(shù)的定義得出ab0，cd1，進(jìn)而得出答案．

【解答】解：a和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，

ab0，cd1，10cdab10(ab)10．故答案為：10．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)和倒數(shù)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．

b4

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛相反數(shù)的代數(shù)意義★｝若3a4b與a5b互為相反數(shù)，則的值為．

a9

【分析】直接利用相反數(shù)的定義進(jìn)而得出等式，進(jìn)而得出a，b的關(guān)系．

b44

【解答】解：3a4b與a5b互為相反數(shù)，3a4ba5b0，則4a9b0，故．故答案為：．

a99

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?煙臺(tái)）若x的相反數(shù)是3，則x的值是()

1

A．3B．C．3D．3

3

第19頁共75頁.

【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．

【解答】解：3的相反數(shù)是3，x3．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

1

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?深圳）的相反數(shù)()

2021

11

A．2021B．C．2021D．

20212021

【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“”號(hào)，求解即可．

1111

【解答】解：()，則的相反數(shù)是．故選：B．

2021202120212021

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“”號(hào)：一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，

一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆．

考點(diǎn)4：絕對(duì)值

（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

（2）運(yùn)算性質(zhì)：

a,a0ab,ab

aab

a,a0ba,ab

第20頁共75頁.

（3）非負(fù)性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0

【例題精析1】｛絕對(duì)值的定義★｝下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

①絕對(duì)值是它本身的數(shù)有兩個(gè)，是0和1②一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值必為正數(shù)

③0.5的倒數(shù)的絕對(duì)值是2④任何有理數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)．

A．0B．1C．2D．3

第21頁共75頁.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，可得答案．

【解答】解：①絕對(duì)值是它本身的數(shù)有非負(fù)數(shù)，故①說法錯(cuò)誤；

②0的絕對(duì)值等于0，故②說法錯(cuò)誤；③0.5的倒數(shù)是2，2的絕對(duì)值是2，故③說法正確；

④任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，故④說法正確；故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，根據(jù)絕對(duì)值的定義求解是解題關(guān)鍵，注意選錯(cuò)誤的．

y

【例題精析2】｛運(yùn)算性質(zhì)★★｝若|x1|3，|y|5，0，那么xy的值是()

x

A．2或0B．2或0C．1或3D．7或9

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、有理數(shù)的除法法則、有理數(shù)的減法解決此題．

yy

【解答】解：|x1|3，|y|5，x13，y5．x4或2，y5．又0，0．

xx

x與y異號(hào)．當(dāng)x4時(shí)，y5，此時(shí)xy4(5)9；當(dāng)x2時(shí)，y5，此時(shí)xy257．綜

上：xy9或7．故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值、有理數(shù)的除法、有理數(shù)的減法，熟練掌握絕對(duì)值、有理數(shù)的除法法則、有

理數(shù)的減法法則是解決本題的關(guān)鍵．

【例題精析3】｛運(yùn)算性質(zhì)★｝若2a3時(shí)，化簡|a2||a3|()

A．1B．2a5C．1D．52a

【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡求出答案．

【解答】解：2a3，|a2||a3|a23a1．故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，正確利用a的取值范圍化簡是解題關(guān)鍵．

【例題精析4】｛運(yùn)算性質(zhì)★★｝若實(shí)數(shù)a、b、c滿足|ab|1，|ac|7，則|bc|的值為()

A．6B．7C．6或8D．6或7

【分析】根據(jù)條件得：ab1，ac7，然后分四種情況分別計(jì)算即可．

【解答】解：|ab|1，|ac|7，ab1，ac7，

當(dāng)ab1，ac7時(shí)，bcac(ab)716，原式6；

當(dāng)ab1，ac7時(shí)，bcac(ab)716，原式6；

當(dāng)ab1，ac7時(shí)，bcac(ab)718，原式8；

當(dāng)ab1，ac7時(shí)，bcac(ab)718，原式8；故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的定義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類做到不重不漏是解題的關(guān)鍵．

|a||b|c

【例題精析5】｛運(yùn)算性質(zhì)★★｝若abc0，則的值為()

ab|c|

第22頁共75頁.

A．3或1B．3或0或1C．3或0D．0或1

【分析】分4種情況分別計(jì)算，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡即可得出答案．

【解答】解：若a，b，c都是正數(shù)，那么原式1113；若a，b，c中有1個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a是負(fù)數(shù)，

那么原式1111；若a，b，c中有2個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a，b是負(fù)數(shù)，那么原式1(1)11；

若a，b，c都是負(fù)數(shù)，那么原式1(1)(1)3；故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的

絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0是解題的關(guān)鍵．

【例題精析6】｛絕對(duì)值-非負(fù)性★｝若|m2||n7|0，則|mn|()

A．2B．7C．8D．9

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出m、n，然后代入計(jì)算即可得解．

【解答】解：由題意得，m20，n70，解得m2，n7，所以，|mn||27|9．故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一

個(gè)加數(shù)也必為零．

【例題精析7】｛幾何意義★★★｝|x4||x2|的最小值是6．

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義解決此題．

【解答】解：|x4|表示x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，|x2||2x|表示2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

的距離，|x4||x2|表示x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和．

|x4||x2|的最小值是2(4)6．故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的定義，熟練掌握絕對(duì)值的定義是解決本題的關(guān)鍵．

【例題精析8】｛幾何意義★★★｝式子|x3||x4|有最小值，其最小值是7．

【分析】|x3||x4|表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)3與表示數(shù)4的距離之和，因此當(dāng)x在3與4

之間時(shí)，這個(gè)距離之和最小，最小值為3與4之間的距離7．

【解答】解：|x3||x4|表示在數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)3與表示數(shù)4的距離之和，

因此當(dāng)4?x?3時(shí)，這個(gè)距離之和最小，最小值就是3與4之間的距離，為7，

當(dāng)4?x?3時(shí)，|x3||x4|有最小值，最小值是7．故答案為：7．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)

距離的計(jì)算方法是正確計(jì)算的前提．

第23頁共75頁.

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛運(yùn)算性質(zhì)★｝下列各式的結(jié)論成立的是()

A．若|m||n|，則mnB．若|m||n|，則mn

C．若mn，則|m||n|D．若mn0，則|m||n|

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)逐一判斷即可．

【解答】解：A．若|m||n|，則mn或mn，故原說法錯(cuò)誤，選項(xiàng)不符合題意；

第24頁共75頁.

B．若|m||n|，則mnm，，故原說法錯(cuò)誤，選項(xiàng)不符合題意；

C．若mnm，則|m||n|，故原說法錯(cuò)誤，選項(xiàng)不符合題意；

D．若mn0，則|m||n|，正確，選項(xiàng)符合題意；故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛運(yùn)算性質(zhì)★｝若|x|5，|y|2且x0，y0，則xy()

A．7B．7C．3D．3

【分析】由絕對(duì)值的定義，得x5，y2，再根據(jù)x0，y0，確定x、y的具體對(duì)應(yīng)值，最后代入

計(jì)算xy的值．

【解答】解：|x|5，|y|2，x5，y2，

x0，y0，x5，y2，xy3．故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了絕對(duì)值的運(yùn)算，先確定絕對(duì)值符號(hào)中x、y的取值再去計(jì)算結(jié)果．注意絕對(duì)值等于一個(gè)

正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。?/p>

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛運(yùn)算性質(zhì)★｝已知|a|3，|b|2，|ab|ba，則ab1或5．

【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，求出a、b的值，然后代值求解即可．

【解答】解：|a|3，|b|2，a3，b2；又因?yàn)閨ab|ba，當(dāng)a3，b2時(shí)，ab5；

當(dāng)a3，b2時(shí)，ab1．故ab的值為1或5．故答案為：1或5．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)：絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是

它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛絕對(duì)值符號(hào)化簡★★｝已知1x2，則|x3||1x|2．

【分析】結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡求解即可．

【解答】解：1x2，x30，1x0，|x3||1x|(x3)|1x|3x(1x)2．

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)．

【對(duì)點(diǎn)精練5】｛運(yùn)算性質(zhì)★｝已知3y2，化簡|y2||y3|5．

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，然后化簡即可．

【解答】解：3y2，|y2||y3|2yy35．故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減、絕對(duì)值的意義，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練6】｛絕對(duì)值-非負(fù)性★｝若|a1||b3|0，則ab3．

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性解決此題．

第25頁共75頁.

【解答】解：|a1|?0，|b3|?0，當(dāng)|a1||b3|0時(shí)，a10，b30．

a1，b3．a(chǎn)b3．故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)精練7】｛絕對(duì)值-非負(fù)性★｝|2x4||x2y8|0，則(xy)20211．

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出二元一次方程組，求解得到x、y的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

2x40①

【解答】解：根據(jù)題意得，，

x2y80②

由①得，x2，把x2代入②得，22y80，解得y3，(xy)2021(23)20211．故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組的方法，

能夠正確利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0求出x、y的值．

【對(duì)點(diǎn)精練8】｛幾何意義★★★｝適合|a5||a3|8的整數(shù)a的值有()

A．4個(gè)B．5個(gè)C．7個(gè)D．9個(gè)

【分析】此方程可理解為a到5和3的距離的和，由此可得出a的值，繼而可得出答案．

【解答】解：|a5|表示a到5點(diǎn)的距離，|a3|表示a到3點(diǎn)的距離，由5到3點(diǎn)的距離為8，

故5到3之間的所有點(diǎn)均滿足條件，即5?a?3，又由a為整數(shù)，

故滿足條件的a有：5，4，3，2，1，0，1，2，3共9個(gè)，故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程，難度較大，關(guān)鍵是利用數(shù)軸進(jìn)行解答．

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?阿壩州）|3|的絕對(duì)值為()

A．3B．0C．3D．3

【分析】利用絕對(duì)值的意義解答即可．

【解答】解：|3|3，|3|3．故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟記負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．

第26頁共75頁.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?大慶）下列說法正確的是()

A．|x|