湖南省婁底市2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題

湖南省婁底市2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題(本大題共12道小題，共36分1．下列函數(shù)是y關于x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝1x+1 B．y＝1x2 C．y＝﹣12．已知xyA．5x=3y B．3x=5y C．5y=33．方程x2A．x=0 B．x=±1 C．x1=0，x24．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，則cosB的值是（）A．12 B．32 C．555．關于反比例函數(shù)y=?6x的圖象和性質，下列說法A．函數(shù)圖象經過點(?3，2)C．比例系數(shù)是?6 D．當x>0時，y隨x的增大而減小6．一個學習小組有x人，春節(jié)期間，每兩人互送賀卡一張，若全組共送出賀卡56張，則（）A．12x(x?1)=56 C．x(x?1)=56 D．x(x+1)=567．在三角形ABO中，已知點A(?6，3)，B(?6，?4)，以原點O為位似中心，相似比為13，把△ABO縮小，則點AA．(?2，1) B．(?8，4)C．(?8，4)或(8，?4) D．(?2，1)8．如圖所示（圖像在第二象限），若點A在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像上，AM⊥x軸于點M，△AMO的面積為3A．6 B．3 C．?3 D．?69．《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.A．5 B．4 C．3 D．210．西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表，如圖是一個根據(jù)北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱AC高為a，已知，冬至時北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即A．asin26.5° B．acos26.5°11．如圖，直線y=x+2與反比例函y=kx的圖像在第一象限交于點P．若OP=20A．6 B．8 C．10 D．1212．如圖，已知頂點為（﹣3，﹣6）的拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，﹣4），則下列結論中錯誤的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若點（﹣2，m），（﹣5，n）在拋物線上，則m＞nD．關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的兩根為﹣5和﹣1二、填空題(本大題共6道小題，共18分13．從1000個零件中任意抽取100個檢測，有2個不合格，估計這1000個零件中合格的零件約有個．14．若y=(m+1)xm2?m+3x是y關于15．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(AP>PB)，如果AB的長度為8cm，那么AP的長度為cm．16．如圖，有一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻（墻長為15m），另外三邊用長為16m的籬笆圍成，則這個苗圃園面積的最大值為．17．定義：在平面直角坐標系中，點M(x0，y0)到直線l：y=kx+b的距離d=|k18．如圖，在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝．三、解答題（共66分，第19、20題各6分；第21、22題各8分；第23、24題各9分；第25、26題各10分）19．計算：4320．已知關于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范圍；（2）若兩實數(shù)根分別為x1和x2，且x121．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是邊BC上的一點（不與B、C重合），DF⊥AE，垂足為F．（1）求證：△ABE∽△DFA；（2）若S△DFA=122．人口自然增長率（人口自然增長率=人口出生率-人口死亡率）是反映人口自然增長的趨勢和速度的指標．根據(jù)對多年的人口出生率和死亡率的數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析，形成了如下統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖．指標2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年人口出生率(‰)11.9913.5712.6410.8610.48.527.526.77人口死亡率(‰)7.077.047.067.087.097.077.187.37（1）求2022年的人口自然增長率．（2）從2015年—2022年，年的人口自然增長率最大．（3）下列推斷合理的是．（只填序號）①2015年—2016年，人口出生率呈上升趨勢；2016年—2022年，人口出生率呈下降趨勢；②人口自然增長率從2016年起持續(xù)呈下降趨勢，是因為人口死亡率持續(xù)呈上升趨勢；③優(yōu)化三孩生育政策有利于應對我國人口減少問題．23．為積極響應新舊動能轉換．提高公司經濟效益．某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發(fā)現(xiàn)，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺．假定該設備的年銷售量y(單位∶臺)和銷售單價x(單位∶萬元)成一次函數(shù)關系．（1）求年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)相關規(guī)定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤．則該設備的銷售單價應是多少萬元？24．構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的體現(xiàn)，在計算tan15°時，如圖1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB使BD=AB，連接AD，得∠D=15°，所以（1）類比這種方法，求得tan22.5°=（2）如圖2，銳角∠ABC=α，已知tanα=m，求證：tanα25．如圖，一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=kx的圖像相交于點A(2，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）過點B作BC⊥x軸于C，求S△ABC（3）過點B作BC⊥x軸于C，問：是否在y軸上存在一點D，使得BD+CD的值最小，若存在，求出D的坐標；若不存在，說明理由．26．如圖，在平面直角坐標系中，點A(1，2)，B(5，0)，拋物線y=ax2?2ax(a>0（1）求點C的坐標和直線AB的表達式；（2）設拋物線y=ax2?2ax(a>0)分別交邊BA，①若△CDB與△BOA相似，求拋物線表達式；②若△OAE是等腰三角形，則a的值為▲（請直接寫出答案即可）．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A、∵y＝1x+1是y與（x+1）的反比例函數(shù)，∴A不符合題意；

B、∵y＝1x2是y與x2的反比例函數(shù)，∴B不符合題意；

C、∵y＝-12x是y與x的反比例函數(shù)，∴C符合題意；

D、∵y＝-x2是y與-2．【答案】B【解析】【解答】A、∵5x=3y，∴xy=35，∴A正確，不符合題意；

B、∵3x=5y，∴xy=53，∴B不正確，符合題意；

C、∵5y=3x，∴xy=35，3．【答案】C【解析】【解答】∵x2=x，

∴x（x-1）=0，

解得：x1=0，x24．【答案】C【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=2，BC=1，

∴AB=AC2+BC2=5，

∴5．【答案】D【解析】【解答】A、將點x=-3代入y=?6x可得：y=-6-3=2，∴函數(shù)圖象經過點(?3，2)，∴A正確，不符合題意；

B、∵反比例函數(shù)的解析式為y=?6x，∴函數(shù)圖象在第二、四象限，∴B正確，不符合題意；

C、∵反比例函數(shù)的解析式為y=?6x，∴比例系數(shù)是?6，∴C正確，不符合題意；

D、∵反比例函數(shù)的解析式為y=?6．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)題意可得：x(x?1)=56，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)“全組共送出賀卡56張”列出方程x(x?1)=56即可.7．【答案】D【解析】【解答】∵點A的坐標為（-6，3），以原點O為位似中心，相似比為13，把△ABO縮小，

∴點A'的坐標為（-2，1）或（2，-1），

故答案為：D.

8．【答案】D【解析】【解答】∵AM⊥x軸于點M，△AMO的面積為3，

∴|k|=2S△AMO=2×3=6，

∴k=±6，

∵反比例函數(shù)的圖象在第二象限，

∴k<0，

∴k=-6，

故答案為：D.

【分析】利用反比例函數(shù)k的幾何意義可得|k|=2S△AMO=2×3=6，再利用反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系求出k的值即可.9．【答案】C【解析】【解答】∵AC=1.6，AE=0.4，

∴CE=AC-AE=1.6-0.4=1.2，

∵∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED，

∴△ABE∽△CDE，

∴ABDC=AECE，

∴1CD=0.41.2，10．【答案】D【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ABC=26.5°，AC=a，

∵tan∠ABC=ACBC，

∴BC=ACtan∠ABC=atan26.5°11．【答案】B【解析】【解答】設點P的坐標為（m，m+2），

∵OP=20，

∴m2+m+22=20，

解得：m1=2，m2=-4（舍），

∴點P的坐標為（2，4），

將點P（2，4）代入y=kx，

12．【答案】C【解析】【解答】解：A、圖象與x軸有兩個交點，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A選項正確；B、拋物線的開口向上，函數(shù)有最小值，因為拋物線的最小值為﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B選項正確；C、拋物線的對稱軸為直線x=﹣3，因為﹣5離對稱軸的距離大于﹣2離對稱軸的距離，所以m＜n，故C選項錯誤；D、根據(jù)拋物線的對稱性可知，（﹣1，﹣4）關于對稱軸的對稱點為（﹣5，﹣4），所以關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的兩根為﹣5和﹣1，故D選項正確．故選C．

【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系可得a、b、c的正負，再利用二次函數(shù)的性質逐項判斷即可。13．【答案】980【解析】【解答】設這1000個零件中合格的零件約有x個，

根據(jù)題意可得：x1000=100-2100，

解得：x=980，

∴這1000個零件中合格的零件約有980個，

故答案為：980.14．【答案】2【解析】【解答】∵y=(m+1)xm2?m+3x是y關于x的二次函數(shù)，

∴m+1≠0m2-m=2，15．【答案】4【解析】【解答】∵點P為AB的黃金分割點(AP>PB)，

∴AP=5-12AB=5-12×8=4516．【答案】32【解析】【解答】設垂直于墻面的長為xm，則平行于墻面的長為（16-2x）m，苗圃園面積為y，

根據(jù)題意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），

∵墻長為15m，

∴16-2x≤15，

解得：0.5≤x<8，

∴當x=4時，y有最大值為32，

故答案為：32.

【分析】設垂直于墻面的長為xm，則平行于墻面的長為（16-2x）m，苗圃園面積為y，再利用矩形的面積公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函數(shù)的性質分析求解即可.17．【答案】4【解析】【解答】根據(jù)題意可得：點(?2，3))到y(tǒng)=34x?1218．【答案】2【解析】【解答】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，∴AD=AE∴sin（α+β）=AEAD=2a故答案為：27

【分析】連接DE，先求出∠CDE=∠CED=30°=∠α．再求出∠AED=∠AEC+∠CED=90°，設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，利用勾股定理求出AD的長，最后利用正弦的定義求出sin（α+β）=AEAD=2a19．【答案】解：4=4=6?1+1=6【解析】【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，再計算即可.20．【答案】（1）解：∵關于x的一元二次方程x2∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）解：∵x1和x2是方程x2∵x1+x2=2，x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=6，∴22+2m=6，解得：m=1．【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式列出不等式求解即可；

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x2=2，x1x2=﹣m，再結合x12+21．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA∴(AE∴AEAD=3∴AE=3∴BE=A∴BE的長為23【解析】【分析】（1）利用平行線的性質可得∠AEB=∠DAF，再結合∠B=∠DFA即可證出△ABE∽△DFA；

（2）利用相似三角形的性質可得(AEAD)22．【答案】（1）解：6.答：2022年的人口自然增長率是?0.（2）2016（3）①③【解析】【解答】（2）根據(jù)統(tǒng)計表和統(tǒng)計可以看出2016人口出生率最大，人口死亡率最低，

∴2016年的人口自然增長率最大，

故答案為：2016；

（3）①∵2015年-2016年，人口出生率呈上升趨勢，2016年-2022年，人口出生率呈下降趨勢，∴①合理；

②∵人口自然增長率從2016年起持續(xù)呈下降趨勢，∴②不符合題意；

③∵由于人口出生率下降，∴優(yōu)化三孩生育政策有利于應對我國人口減少問題，∴③合理，

故答案為：①③.

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出算式求解即可；

（2）根據(jù)統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖分析求解即可；

（3）根據(jù)統(tǒng)計表和折線統(tǒng)計圖分析求解即可.23．【答案】（1）解：設年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關系式為y=kx+b（k≠0），將（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：40k+b=60045k+b=550解得：k=?10b=1000∴年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關系式為y=﹣10x+1000．（2）解：設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數(shù)量為（﹣10x+1000）臺，根據(jù)題意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此設備的銷售單價不得高于70萬元，∴x=50．答：該設備的銷售單價應是50萬元/臺．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數(shù)量為（﹣10x+1000）臺，再根據(jù)“該公司想獲得10000萬元的年利潤”列出方程（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，再求解即可.24．【答案】（1）2（2）證明：延長CB使BD=AB，連接AD，得∠D=α設BC=1，∵tanα=m，∴AC=m，AB=m∴CD=∴tanα【解析】【解答】解：（1）作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°，延長CB到D，使BD=AB，連接AD，設AC=x，則BC=x，AB=2x，tan22故答案為：2?1

【分析】（1）延長CB到D，使BD=AB，連接AD，設AC=x，則BC=x，AB=2x，CD=(1+2)x，再利用正切的定義可得tan22.5°=tan∠D=ACCD=x(1+2)x=25．【答案】（1）解：∵反比例函數(shù)y=kx過點∴y=2×3=6，∴反比例函數(shù)的關系式為y=6（2）解：∵一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=6x的圖像相交于點A(2，∴y=x+1解得：x1=?3y∴B(?3，又∵BC⊥x軸，∴點C(?3，設xA、xC分別為點A、C的橫坐標，yB、yC分別為