《用高等數(shù)學(xué)知識解初等數(shù)學(xué)問題研究》5800字（論文）

用高等數(shù)學(xué)知識解初等數(shù)學(xué)問題研究1引言 11.1問題提出 11.2研究現(xiàn)狀 21.3研究目的及意義 21.4研究方法 22用高等數(shù)學(xué)知識解初等數(shù)學(xué)問題的相關(guān)概念 32.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)概念 32.2初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系 32.3數(shù)學(xué)解題概念 33初等數(shù)學(xué)知識解題出現(xiàn)的問題 43.1計算太過復(fù)雜 43.2思想多重轉(zhuǎn)化 53.3證明不夠嚴謹 74用高等數(shù)學(xué)知識解題的特點 104.1優(yōu)化計算過程 104.2思想無需轉(zhuǎn)化 114.3證明嚴謹 135研究結(jié)論與展望 155.1研究結(jié)論 155.2研究不足 155.3研究展望 15參考文獻 16摘要：高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著不可分割的關(guān)系，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的擴展和延伸。有了高等數(shù)學(xué)的知識，可以解決很多初等數(shù)學(xué)沒有辦法解決的問題[1].本文在開始提出了研究的問題，討論了高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)概念及相關(guān)的解題理論，在討論了用初等知識解題出現(xiàn)的計算繁瑣、證明不夠嚴謹?shù)葐栴}后，繼而討論了利用高等數(shù)學(xué)知識解題的特點，從而對今后的數(shù)學(xué)教育有了沿此方向改革的期望.關(guān)鍵字：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)；解題1引言1.1問題提出隨著科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)不僅僅在傳統(tǒng)的科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著作用，也在新興科技領(lǐng)域起著舉足輕重的作用，人們也越來越重視數(shù)學(xué).在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還比較簡單，但在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，往往認為與初等數(shù)學(xué)沒有太多的關(guān)聯(lián)，特別是師范類數(shù)學(xué)系學(xué)生，更存在著這樣一種疑惑：大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)似乎并沒有為以后的教育工作發(fā)揮作用，那學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)又有什么意義呢？高等數(shù)學(xué)的知識可以解決很多初等數(shù)學(xué)沒有辦法解決的問題嗎[2]？這是一個值得研究的課題.1.2研究現(xiàn)狀通過閱覽相關(guān)文獻，前人所做的研究已經(jīng)很多，菲利克斯?克萊因用高等數(shù)學(xué)的觀點去看初等數(shù)學(xué)的觀點對后來的數(shù)學(xué)教育影響巨大[3].龐征球、陳建華對高觀點指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)進行了初步探討[4].其他的文章有從一個知識點出發(fā)，從一個具體事例去展開研究探討，也有重點討論某一具體知識點在中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等化應(yīng)用舉例.此外，也有相當一部分文獻對高考真題進行剖析.而本人在文章中著重討論了用初等知識解題出現(xiàn)的計算繁瑣、證明不夠嚴謹?shù)葐栴}和利用高等數(shù)學(xué)知識解題的特點，從而期望今后的數(shù)學(xué)教育改革.1.3研究目的及意義高等數(shù)學(xué)相比較于初等數(shù)學(xué)，不僅在知識結(jié)構(gòu)上進行了擴充與深化，而且在能力與技巧上提出了更高的要求，高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)中的理解研究來說，有著顯而易見的積極意義，能夠讓學(xué)生對數(shù)學(xué)更感興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解.1.4研究方法本文所使用了文獻研究法.在撰寫論文前，本人在中國知網(wǎng)等文獻平臺搜索并下載了與之相關(guān)的文獻資料進行閱覽，另外，本人購買了相關(guān)書籍進行閱讀思考，為文章的研究提供了理論支撐與研究思路.而且使用了對比分析法，在文章中使用了同一題目，通過對比用高等知識和初等知識的解法，分析了高等數(shù)學(xué)解法的特點.2用高等數(shù)學(xué)知識解初等數(shù)學(xué)問題的相關(guān)概念2.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)概念初等數(shù)學(xué)：初等數(shù)學(xué)通常是指在大學(xué)以下階段所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，偶爾會涉及到一些很簡單的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容.高等數(shù)學(xué)：高等數(shù)學(xué)更加復(fù)雜，通常是指大學(xué)本科及以上所學(xué)課程內(nèi)容.2.2初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系區(qū)別：初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容和邏輯結(jié)構(gòu)有著明顯的不同，初等數(shù)學(xué)研究常量，是靜態(tài)的，且內(nèi)容相對簡單；高等數(shù)學(xué)研究變量，能夠體現(xiàn)變量與常量之間的關(guān)系；此外，高等數(shù)學(xué)中符號演算也占大部分，有著嚴密的邏輯結(jié)構(gòu).聯(lián)系：初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的發(fā)展.用高等數(shù)學(xué)的原理和方法去認識、理解和解決初等數(shù)學(xué)問題，有助于我們加深對問題實質(zhì)與知識間聯(lián)系的理解[5].2.3數(shù)學(xué)解題概念在現(xiàn)代社會中，公民要具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)解題在公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展中，都起著足輕重的作用.數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，是將現(xiàn)實世界抽象化的結(jié)果.人們將具體的事物使用數(shù)學(xué)符號來進行表示，然后根據(jù)相應(yīng)的規(guī)則進行數(shù)學(xué)推理、運算等，進而解決了問題，最后根據(jù)它來指導(dǎo)現(xiàn)實社會.因此，數(shù)學(xué)問題的前身就是實際問題.數(shù)學(xué)解題就是解出數(shù)學(xué)問題答案的過程[6].

3初等數(shù)學(xué)知識解題出現(xiàn)的問題在解決初等數(shù)學(xué)問題時，盡管能夠解決問題，其實對其中的有些概念和方法理解得不夠透徹，某些公理或定理也沒有嚴格證明便可以直接應(yīng)用于解題.用初等數(shù)學(xué)知識解題有很多優(yōu)點，很容易被人們接受，不需要具備高等數(shù)學(xué)的知識等，但也存在著不少問題.下面以幾個解題例子來探討這些問題.3.1計算太過復(fù)雜從小學(xué)到高中階段學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)時，必不可少的就是計算，毫不夸張的說，學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)時的大部分時間都是用來計算的，下述選用的兩個例題便可以證明這一點，計算太過繁瑣而讓人對數(shù)學(xué)解題失去興趣.例1若正數(shù)，滿足，求的最小值.解：設(shè)，，則，，.即有.當且僅當，取得最小值.的最小值為.分析：這道題目由于是有兩個未知數(shù)，是一個二元函數(shù)，首先根據(jù)題目等式進行了換元構(gòu)造，換元構(gòu)造后再利用乘1法計算，最后運用基本不等式來解決問題，在整個證明過程中，利用了許多基礎(chǔ)知識進行了計算，計算的過程相較而言還是很麻煩的，對于基礎(chǔ)知識不夠或者數(shù)學(xué)思想方法不夠了解的人來說，很難完整地解出這道題目.上述的題目是求函數(shù)值時運算步驟多導(dǎo)致的計算繁瑣，但這道題目本身就是考察計算能力的，而在其他的非計算題目中，有時需要的計算也很復(fù)雜，如下題例2.例2設(shè)，求證，，（1）的充要條件為，，（2）.證明：令，，，，則，即.，.則成立.同理，，.反之亦然.這道題目有兩個未知數(shù)的平方和等于1，讓不禁想到初等數(shù)學(xué)中常見的三角函數(shù)的基本公式，因而可采取換元的辦法，將轉(zhuǎn)化成正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，再根據(jù)已知條件進行等式的證明.但是一旦采用了三角函數(shù)，那么計算就變得比較麻煩，在其中用到了三角函數(shù)不同的誘導(dǎo)公式；而且需要證明的等式有三個，計算量也不小.3.2思想多重轉(zhuǎn)化在解初等數(shù)學(xué)題目時，對于簡單的題目來說人們都會有想法，也很容易解出答案，但對于中等及以上難度的題目來說，問題的解決就并不容易了，因為這些問題往往涉及到了不同的數(shù)學(xué)思想，不同方面的基礎(chǔ)知識，具有了綜合性，因而解題時會覺得復(fù)雜.例3假設(shè)，試證明：對所有都成立，求的取值范圍.證明：令,則，若要考慮的正負性，則要考慮.而的導(dǎo)數(shù).根據(jù)基本不等式可得.故.(當且僅當時，等號成立.)下面對進行分類討論：①當，當時，，在上為增函數(shù).時，，即.②當，方程的正根為.此時，若，則，故在該區(qū)域為減函數(shù)，所以，時，，即，與題設(shè)相矛盾.分析：在上述的題目中，先構(gòu)造函數(shù)，對進行求導(dǎo)后還不能完全解決問題，發(fā)現(xiàn)還需討論，于是依據(jù)基本不等死計算的最小值，根據(jù)的最值對又進行分類討論，經(jīng)過多次討論最終才解決了這個問題.像例3所討論的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中思維進行了多重轉(zhuǎn)化，在解題中，不僅僅在這一類問題上需要如此，在某些幾何證明題在解題時也是如此，如例4.例4如圖4.1所示的，是其中線上任意取的一點，連接、，延長交于，延長交于，連接.求證：∥.圖3.1例4題圖3.2例4解題證明：如圖3.2所示，延長到，使，連接、.是的中線，∴，，∴四邊形是平行四邊形.∥,即∥，，同理..∥.這道題目需要先構(gòu)造輔助線，延長到，然后證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行線分線段成比例，從而得到，，等量代換得到，再根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論最終證明了結(jié)論.3.3證明不夠嚴謹由于初等數(shù)學(xué)的特點，初等數(shù)學(xué)上的證明大多都是依賴于證明者使用的語言，這種證明大多是非形式化的證明，只是幫助人們進行理解，但并不是數(shù)理邏輯中的證明，不夠嚴謹.而初等數(shù)學(xué)中形式化的證明較少，由于剛剛接觸到形式化證明，對證明的過程等都不夠簡潔精煉.例5設(shè)，證明：.證明：如圖在半徑為1的單位圓中，設(shè)圓心角，圖3.3（例5題圖）則,，，即，即，則.這個不等式是高中階段在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時常用的不等式，但是在中學(xué)階段老師很少講它的證明，上述的證明是為了便于學(xué)生理解，設(shè)圓心角為，它所對弧度也為，但對于高中學(xué)生來說，弧度制才剛剛接觸，本身就不好理解，然后利用數(shù)形結(jié)合思想來進行證明，但是在這個過程中證明并不嚴謹.在上述所討論的初等數(shù)學(xué)問題，大多用定勢思維來解決問題的，解題比較機械化.部分學(xué)生機械套用數(shù)學(xué)公式，盲目地計算；學(xué)生的基礎(chǔ)知識不夠牢固，對于不同知識之間的銜接也不夠完美，解題錯誤率很高.實際上在某些數(shù)學(xué)題目中，使用初等數(shù)學(xué)的思想方法求解，除了需要大量的計算，還在解題過程中思緒難以理清，將題目變得更難，即使最終算出了結(jié)果，也浪費了大量寶貴的時間，很難保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.4用高等數(shù)學(xué)知識解題的特點用初等數(shù)學(xué)知識解題既然有這么多局限性，那么該如何解決呢？在這個時候，就要尋找新的研究方法，不能在用初等數(shù)學(xué)去研究問題.下面所討論的用高等數(shù)學(xué)解初等數(shù)學(xué)題，希望能夠?qū)忸}有新的幫助.4.1優(yōu)化計算過程正是由于在初等數(shù)學(xué)問題中出現(xiàn)的計算工作量大，耗費時間，也令人厭煩，因此人們才會找各式各樣簡單的辦法來優(yōu)化計算，利用高等數(shù)學(xué)知識解題便是其中之一.例1若正數(shù)，滿足，求的最小值.解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù).令，，.聯(lián)立上述三個方程解得：，，.從而，即為最小值.分析：在初等數(shù)學(xué)解題中進行了思想的三次轉(zhuǎn)化才得到答案，而在高等數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造了拉格朗日函數(shù)，利用拉格朗日乘數(shù)法聯(lián)立三個方程解出，，從而求得了函數(shù)的最小值，在思想變得簡單的同時也簡化了計算過程.在一些非計算題中，可以考慮代數(shù)中的行列式、矩陣、方程組等進行計算證明，如例2.例2設(shè)，求證，，（1）的充要條件為，，（2）.證明：構(gòu)造矩陣，則（1）成立的充要條件為，構(gòu)造矩陣，則（2）成立的充要條件為，又，，令，則要證明原結(jié)論成立只要證明，顯然成立，即得證.分析：這種證法構(gòu)造了矩陣，盡管構(gòu)造有些困難，但在解題過程中，只需計算矩陣和，二階矩陣的乘法也是足夠簡單計算的，之后便可根據(jù)計算結(jié)果來證明題目.4.2思想無需轉(zhuǎn)化初等數(shù)學(xué)問題中往往有一步解決不了問題的時候，可能可以解決某一步，但在想下一步的時候就毫無頭緒，這便要去尋求更快更簡單，能夠用最少步驟來解決問題.例3設(shè)，證明：對所有都成立，求的取值范圍.證明：當時，對任意的，有.當時，上述問題將會轉(zhuǎn)變?yōu)閷愠闪?令.由拉格朗日中值定理可知，在內(nèi)至少存在一點，使得.即.而.在上是增函數(shù)，當時，有.分析：用高等數(shù)學(xué)知識解題，只是根據(jù)做了兩個分類討論，時證明時顯然成立，時利用拉格朗日中值定理則可以省去很多不必要的思想轉(zhuǎn)化和計算，只需利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的增減性便能夠證明題目.像上述的例3只利用一個定理便容易可解決問題，在證明題中，幾何證明是相對困難的，但用高等數(shù)學(xué)知識也能輕松解決，如例4.例4如圖4.1所示的，是其中線上任意取的一點，連接、，延長交于，延長交于，連接.求證：∥.圖4.1例4題證明：如圖，作仿射變換，使得對應(yīng)正，由仿射變換的性質(zhì)可知:點、、、相應(yīng)地對應(yīng)、、、，且為正的中線.在正中，也是邊上的高，且、、與、、關(guān)于對稱，又、到的距離相等，則∥.由于平行性也是仿射性質(zhì)的一種[7]，因此，在中，∥.圖4.2例4解題4.3證明嚴謹初等數(shù)學(xué)的非形式化證明大多是幫助學(xué)生進行理解，但在初等知識體系內(nèi)，有些眾所周知的定理等或常用公式都沒有進行嚴格證明，便拿來使用，但在高等數(shù)學(xué)體系內(nèi)，便可以將它進行證明.例5設(shè)，證明：.證明：設(shè)函數(shù)，，則兩個函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo).由拉格朗日中值定理可得：,使，.分析：這種證法利用了數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日中值定理，得到了兩個不等式，利用中間值1進而證明了.解題過程變得更加簡單，最為重要的是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì).人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，更喜歡用初等知識解題，原因有以下幾點：首先由于高等數(shù)學(xué)的難度，大部分人對此一知半解，而初等數(shù)學(xué)知識相對簡單；其次，初等數(shù)學(xué)教學(xué)著重于強調(diào)學(xué)生對定義定理等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的深入理解、需要學(xué)生有著良好記憶和能夠進行靈活地應(yīng)用，而不太關(guān)心把這些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想和方法進行高度抽象和概括[8]，解題過程常常是對個別問題的解決，忽略了對其中求解題目的思考過程和深入研究，最后，初等數(shù)學(xué)解題方法的思維符合一般人類的邏輯和思維規(guī)律，大多數(shù)時候人們?nèi)菀桌斫夂驼莆掌渚唧w的運用和實際操作過程[9]，人們在腦海中更容易形成一個基礎(chǔ)的知識網(wǎng)絡(luò)框架.但實際上在深入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同時，也學(xué)習(xí)了很多新的數(shù)學(xué)思想方法，它同時也極大地鍛煉了人們數(shù)學(xué)思維的靈活性和敏捷性，提高了研究探索數(shù)學(xué)問題的能力.用高等數(shù)學(xué)分析初等數(shù)學(xué)問題，能讓人們從更高的層次去把握問題，可能更能理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對解題也會更有幫助.

5研究結(jié)論與展望5.1研究結(jié)論上文討論了用初等數(shù)學(xué)知識解題出現(xiàn)的問題，也用高等數(shù)學(xué)知識解決了不少問題，像初等數(shù)學(xué)中求最值時只能用一元函數(shù)解決，在高等數(shù)學(xué)中可用多元函數(shù)證明，還比如人們熟知的圓的面積公式，在初等數(shù)學(xué)階段只是給出了公式，但在高等數(shù)學(xué)中，可以利用積分將其證明；本人在這片文章中只是粗略地探討一下，其實初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有許多相似之處，它們之間的聯(lián)系密切，在初等數(shù)學(xué)中，完全可以融入高等數(shù)學(xué)中的一些思想方法去進行教學(xué)工作，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué).5.2研究不足在文章中所研究的有很多不足，首先，由于時間和本人精力的限制，沒有對這個問題進行更加深入地探討；同時也因本人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好而無法完全反映問題；其次，文章僅僅使用了常見的兩種研究方法：文獻綜述法、對比分析法，選取的文獻帶有作者明確的觀點以及文獻翻譯保存不夠完整；最后，在所選用得例題上，也不夠全面、完整.5.3研究展望有了