2023-2024學(xué)年江西省南昌一中朝陽校區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江西省南昌一中朝陽校區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x?3<1}，B={x|x+1?0}，則A∩B=(

)A.[?1,2) B.[?1,1) C.[?2,+∞) D.[?1,+∞)2.已知a，b∈R，則“a>b”是“a(a?b)>0”的(

)A.充要條件 B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件 D.必要不充分條件3.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇?2,2]，則函數(shù)F(x)=f(x+1)x的定義域?yàn)?

)A.[?1,3] B.[?3,1] C.[?1,0)∪(0,3] D.[?3,0)∪(0,1]4.已知命題“?x∈[1,3]，x2?mx?1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(?∞,0] B.(?∞,83] C.[0,+∞)5.設(shè)a=0.42，b=log0.43，c=40.3，則a，A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b6.若函數(shù)f(x)=ax2+x+1的值域?yàn)閇0,+∞)，則實(shí)數(shù)A.(0,14] B.{0}∪[14,+∞)7.已知函數(shù)f(x)滿足：f(x?1x)=x2+A.f(x)=x2+2 B.f(x)=x2

8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)F(x)=f(1+x)?(1+x)為偶函數(shù)，函數(shù)G(x)=f(2+3x)?1為奇函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,1) B.f(0)=?1

C.函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復(fù)雜的智力競技活動(dòng)之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑子、白子、空三種情況，因此整個(gè)棋盤上有3361種不同的情況，下面對(duì)于數(shù)字3361的判斷正確的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771)(

)A.3361的個(gè)位數(shù)是3 B.3361的個(gè)位數(shù)是1 C.3361是173位數(shù) D.310.已知a+2b=ab(a>0,b>0)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.ab的最小值為2 B.a+b的最小值為3+22

C.1a+1b的最大值為11.下列定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)中，滿足?x∈(0,+∞)，f(x)+f(1x)≥2f(1)的有A.f(x)=x B.f(x)=x1+x2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知1≤a+b≤4，?1≤a?b≤2，則4a?2b的取值范圍是______．13.已知函數(shù)f(x)=[(a+1)x2+ax]?(14.已知函數(shù)f(x)=log12(1?x),?1≤x≤n22?|x?1|?3,n<x≤m的值域是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)?f(x)=2x?1，且f(0)=2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若x∈[?1,2]時(shí)，y=f(x)的圖象恒在y=?x+a圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．16.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點(diǎn)，PE⊥AD．

(1)若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD．

(2)若AB⊥平面PED，求面PAB與面PCD夾角的余弦值．17.(本小題15分)

甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球．

(1)若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球，求這2個(gè)球顏色相同的概率；

(2)若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中，再從乙袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+3(a∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a=?12時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí)，若xf(x)>kx?k+2在x∈(1,+∞)19.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若存在常數(shù)λ(λ>0)，使得λan≥Sn+1對(duì)任意n∈N?都成立，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(λ)．

(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且S3=?9，S5=?25，求證：數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(3)；

(2)設(shè)數(shù)列參考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.BD

11.ACD

12.[?2,10]

13.?1

14.[1,2]

15.解：(1)由題意設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

由f(0)=2得c=2；

由f(x+1)?f(x)=2x?1得a(x+1)2+b(x+1)+c?ax2?bx?c=2x?1，

即2ax+a+b=2x?1恒成立，故2a=2a+b=?1，則a=1b=?2，

故f(x)=x2?2x+2；

(2)因?yàn)楫?dāng)x∈[?1,2]時(shí)，y=f(x)的圖象恒在y=?x+a圖象的上方，

所以當(dāng)x∈[?1,2]時(shí)，x2?2x+2>?x+a恒成立，

即當(dāng)x∈[?1,2]時(shí)，a<x2?x+2恒成立，

令g(x)=x2?x+216.(1)證明：如圖，設(shè)M為PD的中點(diǎn)，連接FM，CM，

因?yàn)镕是PE中點(diǎn)，所以FM//ED，且FM=12ED，

因?yàn)锳D//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，

所以四邊形ABCE為平行四邊形，BC/?/ED，且BC=12ED，

所以FM/?/BC，且FM=BC，

即四邊形BCMF為平行四邊形，

所以BF//CM，

因?yàn)锽F?平面PCD，CM?平面PCD，

所以BF/?/平面PCD．

(2)解：因?yàn)锳B⊥平面PED，

所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(1,?1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，

所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,?2)，CD=(?1,2,0)，

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?AB=x1=0m?AP=y1+217.解：(1)記這2個(gè)球顏色相同為事件A，

則P(A)=36×16+36×56=12；

(2)依題意X的可能取值為0、1、2X

0

1

2

P

19

293所以E(X)=0×193518.解：(Ⅰ)當(dāng)a=?12時(shí)，f(x)=lnx?12x2+3，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=1x?x=1?x2x，

令f′(x)>0，即0<x<1，f(x)單調(diào)遞增；

令f′(x)<0，即x>1，f(x)單調(diào)遞減；

所以f(x)在x=1處取得極大值即f(1)=52，無極小值．

(Ⅱ)f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，

①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0恒成立，

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時(shí)，

當(dāng)x∈(0,??2a2a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增；

當(dāng)x∈(??2a2a,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減．

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0,??2a2a)上單調(diào)遞增，在(??2a2a,+∞)上單調(diào)遞減．

(Ⅲ)xf(x)>kx?k+2在x∈(1,+∞)時(shí)恒成立，

即k<xlnx+3x?2x?1恒成立，

令F(x)=xlnx+3x?2x?1，則F′(x)=x?lnx?2(x?1)2．

令m(x)=x?lnx?2，

則m′(x)=1?1x=x?1x>0在x>1上恒成立，

所以m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且19.(1)證明：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且S3=?9，S5=?25，

所以3a1+3d=?9，5a1+10d=?25，

解得a1=?1，d=?2，

所以an=?1+(n?1)(?2)=?2n+1，Sn=(?1?2n+1)n2=?n2，

所以3an?Sn+1=3(?2n+1)