專題30 解直角三角形模型之12345模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題30解直角三角形模型之12345模型初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“12345”模型及衍生模型 1 3 13模型1.“12345”模型及衍生模型（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）。該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個等腰直角三角形。如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為；變式1：；變式2：。證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=1，在DC上取一點(diǎn)F使得DF=2，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易證：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°圖1證明：（模型變式1）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a，在DC上取一點(diǎn)F使得DF=b-a，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b，CF=a，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易證：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。注意：下面模型中，，2，3，，均為對應(yīng)角的正切值。 （1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；我們還可以得到上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。我們還可以得到切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可在短時間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的。例1．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】法1：先根據(jù)，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，從而可求出CD．法2：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】法1：∵，，∴根據(jù)12345模型知：∠BDC＝45°，∵，∴三角形BCD為等腰直角三角形，∵，∴CD=法2：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2024·吉林長春·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】法1：連接AE，由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=AD，BG=GF，易證Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，設(shè)DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GAE=45°，再利用12345模型的變式，求解即可?！驹斀狻拷猓悍?：如圖所示，連接AE，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90°∵G為BC的中點(diǎn)∴BG=GC=4由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=8，BG=GF=4，在Rt△ADE和Rt△AFE中，∵AE=AE，AF=AD=8，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）∴DE=EF設(shè)DE=EF=x，則EC=8-x在Rt△CEG中，GC2+EC2=GE2，即解得故選：C．法2：由法1知：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中點(diǎn)，∴，由12345模型變式知：，∵AD=8，∴DE，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的折疊問題，利用正方形的性質(zhì)證明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形中，，，，E是上一點(diǎn)，且，則的長度是（

）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【答案】B【分析】法1：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長線于F，利用12345模型變式求解即可。法2：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長線于F，CG⊥CD，交AB延長線于G，可證明四邊形ABCF是正方形，可得DF的長，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可證明△DCF≌△GCB，可得CD=CG，BG=DF，根據(jù)∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可證明△DCE≌△GCE，可得DE=GE，根據(jù)S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE列方程可求出AE的長，進(jìn)而求出GE的長即可得答案．【詳解】法1：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長線于F，∵，，，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴，由12345模型變式(即：)知：∵BC=4，∴BE，AE，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE，故選：B．法2：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長線于F，CG⊥CD，交AB延長線于G，∵，，，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，在△DCF和△GCB中，，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE，∴S△GCE=S△DCE，DE=GE，∴S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE，∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．例4．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，若，，則的長為．【答案】【分析】．法1：過點(diǎn)作AH//FM，交DC于點(diǎn)H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的變式，求解即可。法2：連接交于N，過點(diǎn)F作于H，由正方形的性質(zhì)得，，，，由勾股定理得，再證明，得，從而求得，，繼而求得，，，然后證明，得，即，從而求得，繼而求得，最后證明，得∴，即，從而可求得．【詳解】法1：過點(diǎn)作AH//FM，交DC于點(diǎn)H，∵正方形，∴，∴四邊形AFMH為平行四邊形?！?，∴∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，∴BE=AF=HM=2，∴，∵，由12345模型變式知：，∵AD=4，∴，∴，法2：連接交于N，過點(diǎn)F作于H，如圖，∵正方形，∴，，，，∴，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題詞考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，熟練掌握相似三角形判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為.【答案】【解析】根據(jù)AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，根據(jù)12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，再根據(jù)勾股定理求得：AF=，故答案為：例6．（23-24九年級上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為．【答案】【分析】法1：由12345模型求解；法2：構(gòu)造相似三角形，對的取值分析進(jìn)行討論，在時，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，而此時，，不合題意；故．由相似比求得邊的相應(yīng)關(guān)系．【詳解】法1：∵一次函數(shù)的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B?！郃（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠PAO=α，∠OPC=β，∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．法2：作，連接．則，,如圖，由可得．∴，∴．當(dāng)時，，所以，此時，故不合題意．∴．∵，∴，即，∴，

∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴，即解得．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．例7.（2023·龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________．【答案】【解析】∵E為BC的中點(diǎn)，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，根據(jù)12345模型知：tan∠GAD=，過點(diǎn)G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH設(shè)AH=4x，則GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x?！逜B=6，∴7x=6，x=，GH=，故答案為：。8．（2024九年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片的邊斜著向邊對折，使點(diǎn)落在上，記為，折痕為；再將邊斜向下對折，使點(diǎn)落在邊上，記為，折痕為，，．則矩形紙片的面積為．

AADBCEFD′B′【答案】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)和勾股定理求得和的長，或者利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出相應(yīng)線段長，再由勾股定理解方程，然后根據(jù)矩形的面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】解：方法1：由題意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．∵BE＝，∴tan∠BCE＝，由12345模型變式知∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．解：方法2：設(shè)，則，由題意可得，，，，，，，，，，，解得或，當(dāng)時，，，時不符合題意，舍去；當(dāng)時，，，矩形紙片的面積為，故答案為：；方法3：設(shè)，則，，，由題意可得△，，，，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），矩形紙片的面積為，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用翻折的性質(zhì)和矩形的面積公式解答．例9.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4【答案】A【簡證】易知，故【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，

矩形中，，，．由作圖過程可知，平分，四邊形是矩形，，又，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則，．【答案】2【簡證】易知，，接下來對△AME分析，如圖易知，過M作AE的垂線段，設(shè)EM=5x，則，，則【常規(guī)法思路】如圖，證明，得到，勾股定理求出的長，等積法求出的長，證明，相似比求出的長，證明，求出的長，證明，求出的長，再利用勾股定理求出的長．【常規(guī)法】解：∵正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，，∴，∴，∴，故點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，∴，∴1．（23-24廣東汕頭·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)．將沿對折至，延長交于點(diǎn)，則的長是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】法1：連接AE，根據(jù)正方形與軸對稱的性質(zhì)證明Rt△AFE≌Rt△ADE，得出EF＝DE，設(shè)DE＝FE＝x，在Rt△ECG中應(yīng)用勾股定理求出x，進(jìn)而求解．法2：先求出∠GAE=45°，再利用12345模型的變式，求解即可?！驹斀狻咳鐖D，連接AE，由題意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，，∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），∴EF＝DE，設(shè)DE＝FE＝x，則EC＝6﹣x，∵G為BC中點(diǎn)，BC＝6，∴CG＝3，在Rt△ECG中，由勾股定理，得：，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故選A．法2：由法1知：Rt△AFE≌Rt△ADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝GB，∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中點(diǎn)，∴BG=3，，由12345模型變式知：，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，證明Rt△AFE≌Rt△ADE是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，若E是AB中點(diǎn)，且∠ECF=45°，則CF的長為（

）

A．12 B．3 C．3 D．3【答案】C【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。法2：將△CDF逆時針旋轉(zhuǎn)到△CBM的位置，易證△CEF與△CEM全等，設(shè)，表示出EF，AF長度，解直角三角形即可求解，再通過勾股定理求算CF．【詳解】法1：∵BC=8，E是AB中點(diǎn)，∴BE=4，∴，∵∠ECF=45°，由12345模型變式知：，∵DC=9，∴DF=3，∴，故選：C．法2：將△CDF逆時針旋轉(zhuǎn)到△CBM∵∠ECF=45°，四邊形ABCD是正方形∴∴△CEF≌△CEM∴設(shè)，E是AB中點(diǎn)∴∴在直角三角形AEF中：解得：∴故答案選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形與旋轉(zhuǎn)、勾股定理綜合．轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段建立等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，則的長度是（

）A．8 B．7.4 C．7 D．6.8【答案】D【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。法2：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，作于，延長至，使，證明四邊形為正方形，得出，，，證明以及，得出，設(shè)，則，再由勾股定理計算即可得出答案．【詳解】法1：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD延長線于F，∵，，，∴四邊形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴，由12345模型變式(即：)知：∵BC=8，∴BE，AE，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE，故選：D．法2：解：如圖，作于，延長至，使，∵，，∴四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，∴，解得：，∴，故選：D．4．（23-24九年級上·貴州銅仁·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x＋m（m≠0）分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（3，0）．點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是．【答案】18【分析】法1：由12345模型求解；法2：構(gòu)造相似三角形△PCD∽△APB，對m的取值分析進(jìn)行討論，在m＜0時，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，而此時，∠APC＞∠OBA=45°，不合題意；故m＞0．由相似比求得邊的相應(yīng)關(guān)系．【詳解】法1：∵一次函數(shù)y＝﹣x＋m的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．法2：作OD=OC=3，連接CD．則∠PDC=45°，如圖，由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．當(dāng)m＜0時，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，∴△PCD∽△APB，

∴，即解得m=18．故答案是：18．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時，注意分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖3，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若，，，則線段的長為．【答案】【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。法2：作正方形，先說明，可求出，再由全等可知：，然后根據(jù)勾股定理求出答案.【詳解】根據(jù)翻折，易證：∠EAF=45°，∵，，，∴，∴，由12345模型變式(即：)知：∵，∴。法2：如圖中，在上取一點(diǎn)J，使得，過點(diǎn)J作于點(diǎn)T，交于點(diǎn)K，連接，得正方形，當(dāng)時，，，，，，，，（簡證）在和中，（ASA），∴，則，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）在正方形ABCD中，邊長為6，BE=2AE，連接DE，在AD、BC上分別存在點(diǎn)G、F，連接GF交DE于H點(diǎn)，且∠GHD=45°，求線段FG=_________．【答案】【分析解答】法1：觀察發(fā)現(xiàn)，且∠GHD=45°，條件已經(jīng)具備，考慮GF可動，平移GH，將α、β、45°匯于直角處，故，∵，∴CF=3，∴DF=．法2：作高（如圖所示求解）7.（2023·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．AADBCEF【答案】2【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．7.（23-24九年級·江蘇無錫·期末）如圖，在正方形ABCD中，P是BC的中點(diǎn)，把△PAB沿著PA翻折得到△PAE，過C作CF⊥DE于F，若CF=2，則DF=．【答案】6．【分析】法1：過A作AM⊥DF于M，再利用12345模型的變式，求解即可。法2：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AMD≌△DFC，則DM=FC=2，由折疊和正形的邊長相等得：AE=AD，根據(jù)等腰三角形三線合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，設(shè)∠MAD=α，則∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，則△PAH是等腰直角三角形，證明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，設(shè)PG=x，則AM=2x，根據(jù)AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解決問題；【詳解】法1：過A作AM⊥DF于M，∴∠ADF+∠MAD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∴∠FDC=∠MAD，由折疊的性質(zhì)易證：∠PAM=45°，∵P是BC的中點(diǎn)，∴由12345模型變式知：，∴，∵CF=2，∴DF=6．法2：過A作AM⊥DF于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∵∠ADF+∠MAD=90°，∴∠FDC=∠MAD，∵∠AMD=∠DFC=90°，∴△AMD≌△DFC，∴DM=FC=2，由折疊得：AB=AE，BP=PE，∵AB=AD，∴AE=AD，∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，∵P是BC的中點(diǎn)，∴PC=BC=AD=PE，設(shè)∠MAD=α，則∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，∴∠PAE+∠EAM=∠BAD=45°，過P作PH⊥AM于H，過E作EG⊥PH于G，∴△PAH是等腰直角三角形，∴∠APH=45°，∴∠HPE=α=∠MAD，∵∠PGE=∠AMD=90°，∴△PGE∽△AMD，∴∴∴GE=1，AM=2PG，設(shè)PG=x，則AM=2x，∴AH=2x﹣1，∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案為6.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等和相似的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，有難度，證明∠PAM=45°是關(guān)鍵，設(shè)未知數(shù)，并確定其等量關(guān)系列方程解決問題．8.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．【答案】3【解析】如圖所示，取點(diǎn)E，設(shè)∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=8∵根據(jù)外角定理：∠BOD=α+45°，根據(jù)12345模型知：tan∠BOD=3，故答案為：3。9.（2016甘肅天水中考真題）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為____________．【答案】（-，）【解析】設(shè)∠OAB=α，過點(diǎn)A’作A’H⊥AB.∵OB=，tan∠BOC=，∴OA=1，AB=2.根據(jù)翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=，A’B=AB=2.根據(jù)12345模型知：tan∠ABA’=，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=，BH=，A坐標(biāo)（-，）．

10.（2023.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG【答案】【解析】連接DF．由題意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．11．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE，過B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，則線段OF的長度為.【答案】【分析】先判斷出∠OBF=∠CAE，從而得出△AOG≌△BOF，即可判斷出△OFG是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理和射影定理求出BF，AF，AG，即可得出FG．【詳解】如圖，作OG⊥OF交AE于G，∴OA=OB,∠FOG=90°，∵AC，BD是正方形的對角線，∴∠AOB=90°，∴∠AOG=∠BOF，∵BF⊥AE，∴∠BAE+∠ABF=90°，∵∠BAE=∠BAC?∠CAE∴∠OBF=∠ABF?∠ABD=90°?∠BAE?∠ABD=90°?∠BAC+∠CAE?∠ABD=∠CAE，在△AOG和△BOF中，∴△AOG≌△BOF（ASA），∴OG=OF，∴△OFG是等腰直角三角形，∵CE=2BE,BC=，∴BE=，根據(jù)勾股定理得,AE=，在Rt△ABE中，根據(jù)射影定理得，BF=1，AF=3，∴AG=BF=1，GF=AF?BF=2，∴OF=.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定（ASA）與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定（ASA）與性質(zhì).12．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)A落在處，若的延長線恰好過點(diǎn)C，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理，銳角三角函數(shù)，充分利用勾股定理求出線段是解本題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出，進(jìn)而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：由折疊知，，，，，在中，，設(shè)，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，在中，，故答案為：．13．（23-24九年級·天津河西·期末）正方形ABCD的邊長AB＝2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF分別與DE，BD相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為．【答案】【分析】根據(jù)△BNF∽△DNA，可求出AN的長；再根據(jù)△AME∽△ABF，求出AM的長，利用MN＝AN﹣AM即可解決．【詳解】∵BF∥AD，∴△BNF∽△DNA，∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA，∴△AME∽△ABF，∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝，故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可利用已知線段求出未知線段的長度．14．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】/y=4+3x【分析】先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AF⊥AB，交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥x軸，垂足為E，然后由全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，即可求出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，∴令，則；令，則，∴點(diǎn)A為（2，0），點(diǎn)B為（0，4），∴，；過點(diǎn)A作AF⊥AB，交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥x軸，垂足為E，如圖，∴，∴，∴，∵，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=AB，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AO=FE，BO=AE，∴，，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）；設(shè)直線BC為，則，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定