初中數(shù)學(xué)幾何模型（原卷版）

初中數(shù)學(xué)幾何模型

數(shù)學(xué)模型-角平分線常見(jiàn)解題模型.............................................................................................................................2

模型一：角分線與圓周角和角的n等分線......................................................................................................3

模型二：角平分線與三角形（常見(jiàn)輔助線構(gòu)造全等三角形）......................................................................8

模型三：內(nèi)外角平分線的夾角........................................................................................................................16

模型四：角平分線在矩形中的應(yīng)用................................................................................................................25

模型五：角平分線在圓中的應(yīng)用....................................................................................................................27

模型六：內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理................................................................................................32

數(shù)學(xué)模型-倍長(zhǎng)中線模型...........................................................................................................................................34

數(shù)學(xué)模型-三垂直模型...............................................................................................................................................42

一，三垂直與勾股定理....................................................................................................................................42

二，三垂直與全等和相似................................................................................................................................46

三，三垂直與直角坐標(biāo)系................................................................................................................................51

四，三垂直與正方形........................................................................................................................................58

五，三垂直與圓................................................................................................................................................63

數(shù)學(xué)模型-----手拉手..................................................................................................................................................67

（一）有公共頂點(diǎn)的等邊三角形....................................................................................................................67

（二）有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形............................................................................................................70

（三）頂角相等的等腰三角形........................................................................................................................72

（四）有公共頂點(diǎn)的正方形............................................................................................................................75

（五）有公共頂點(diǎn)的直角三角形....................................................................................................................77

（六）有公共頂點(diǎn)的任意三角形....................................................................................................................80

數(shù)學(xué)模型-----半角模型..............................................................................................................................................83

（一）等邊三角形中120含60半角模型..................................................................................................83

（二）等腰直角三角形中90含45半角模型............................................................................................86

（三）正方形中90含45半角模型............................................................................................................89

（四）等邊三角形中60含30半角模型....................................................................................................92

數(shù)學(xué)模型-對(duì)角互補(bǔ)模型...........................................................................................................................................95

類型一（“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)）................................................................95

類型二（“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型)）................................................................97

類型三“等邊三角形對(duì)120°模型”．................................................................................................................98

類型四“120°等腰三角形對(duì)60°模型”..............................................................................................................98

類型五-全等型90°..........................................................................................................................................101

類型六-全等型120°........................................................................................................................................103

類型七-全等型α...............................................................................................................................................107

數(shù)學(xué)模型-----相似三角形模型................................................................................................................................109

（一）模型1：A字型...................................................................................................................................109

（二）模型2：8字型.....................................................................................................................................111

（三）模型3：k字型....................................................................................................................................116

（四）模型4：母子型...................................................................................................................................119

數(shù)學(xué)模型-線段求最值模型.....................................................................................................................................122

一、點(diǎn)到直線的所有線段中，垂線段最短．..............................................................................................122

二、利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，求線段最值..........................................................................................................123

三、利用兩點(diǎn)間線段最短求線段最值..........................................................................................................125

四：利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值..............................................................................................................130

第1頁(yè)共130頁(yè).

數(shù)學(xué)模型-角平分線常見(jiàn)解題模型

角平分線作為圖形最基礎(chǔ)的概念,在選擇題,填空題和幾何證明題中屢見(jiàn)不鮮,同學(xué)們除了掌握角

平分線的概念和性質(zhì)定理以外,還需要對(duì)常見(jiàn)的角平分線的模型進(jìn)行了解,在與平行線、三角形、

四邊形、圓等背景知識(shí)的基礎(chǔ)上,結(jié)合角平分線得到一些常見(jiàn)的結(jié)論并對(duì)此進(jìn)行整理記憶．

對(duì)此將角平分線的常見(jiàn)模型分為如下六個(gè)模塊,其中前五模塊為基礎(chǔ)模塊,需要同學(xué)們掌握其中結(jié)

論的證明步驟,第六模塊為補(bǔ)充模塊,只需要了并會(huì)運(yùn)用即可．

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模型一：角分線與圓周角和角的n等分線

①角分線與圓周角

模型分析：

如圖，直線AB、CD相較于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，11530，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.∠AOD與∠1互為補(bǔ)角B.∠1的余角等于7430

C.245D.DOF135

【解析】

解：A.∠AOD與∠1互為補(bǔ)角，說(shuō)法正確；

B.∠1的余角：9015307430，說(shuō)法正確；

C.∵OE⊥AB，

∴AOE90，

∵OF平分∠AOE，

∴245，說(shuō)法正確；

D.DOF18045153011930，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：D．

解題通法：掌握余角，補(bǔ)角，角平分線，垂線的性質(zhì)，通過(guò)加減運(yùn)算解決問(wèn)題

第3頁(yè)共130頁(yè).

模型精練：

1.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分AOC，ONOM，若AOM30，則CON

的度數(shù)為（）

A.30B.40C.60D.50

2.如圖，點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)，射線OC，OE分別平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，則∠BOE

＝_____．

3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠EOC：∠EOD=4：5，OA平分∠EOC，則

∠BOE=___________．

第4頁(yè)共130頁(yè).

②角的n等分線

模型分析：

如圖，已知射線OC平分∠AOB，射線OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，圖中等于∠BOE的角共有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】

解：∵射線OD，OE三等分∠AOB，

∴BOEEODDOA

∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，

1111

∴COFCOAFOAAOBDOA(AOBDOA)BOD

2222

又∵射線OD，OE三等分∠AOB，

1

∴BOEEODDOA=BOD

2

∴BOEEODDOA=COF，共3個(gè)

故選：C．

1n

解題通法：∠A的n等分線=A，結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行和差計(jì)算；當(dāng)角平分線累計(jì)平分時(shí)∠A=()．

n2n1

第5頁(yè)共130頁(yè).

模型精練：

4.如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，

則∠AOA4的大小為（）

A.1°B.2°C.4°D.8°

5.已知：直線AC//BD，點(diǎn)P是直線BD上不與點(diǎn)B重合的一點(diǎn)，連接AP，ABD120．

11

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí)，若BAMBAP，NACPAC，則MAN___________．

22

11

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線BE上時(shí)，若BAMBAP,NAPPAC，求MAN的度數(shù)；

33

11

（3）若點(diǎn)P是直線BD上不與點(diǎn)B重合的一點(diǎn)，當(dāng)ABD，BAMBAP，NACPAC

nn

時(shí)，請(qǐng)直接用含,n的代數(shù)式表示MAN的度數(shù)．

第6頁(yè)共130頁(yè).

6.如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：

（1）觀察“箭頭四角形”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

應(yīng)用：

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，

若A60，則ABXACX；

②如圖3，ABE、ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF相交于點(diǎn)F，若BAC60，BEC130，

求BFC的度數(shù)；

拓展：

（3）如圖4，BOi，COi分別是ABO、ACO的2020等分線（i1，2，3，，2018，2019），它們的交

點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，則BO1000C度．

第7頁(yè)共130頁(yè).

如圖，，是的平分線，是的平分線，是的平分

7.AOB60OCAOBOC1AOCOC2AOC1

線……OCn是AOCn1的平分線，則AOCn的度數(shù)為_(kāi)_______．

模型二：角平分線與三角形（常見(jiàn)輔助線構(gòu)造全等三角形）

①垂兩邊

模型分析：

BO是∠ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，則OE＝OF，BEO≌△BFO．

△

第8頁(yè)共130頁(yè).

解題通法：由角平分線的性質(zhì)定理，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造全等三角形．

模型精練：

8.如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．

9.已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射

線OB于點(diǎn)G．

（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請(qǐng)直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

第9頁(yè)共130頁(yè).

10.如圖，在OBC中，邊BC的垂直平分線交∠BOC的平分線于點(diǎn)D，連接DB，DC，過(guò)點(diǎn)D作

DF⊥OC于點(diǎn)△F.

(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度數(shù)；

(2)若∠BOC＝，則∠BDC＝；（直接寫出結(jié)果）

(3)直接寫出OB，OC，OF之間的數(shù)量關(guān)系.

第10頁(yè)共130頁(yè).

②截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形

模型分析：

在ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分線．

（截△長(zhǎng)法）在BC上取線段BE＝BA，連接OE，則BEO≌△BAO；

（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使BD＝BC，連接OD△，則BDO≌△BCO．

△

解題通法：遇到角平分線時(shí)，我們通常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向兩邊作垂線或在角平分線的兩端取相等的線段（截

長(zhǎng)或補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形．

模型精練：

11.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，設(shè)AD＝x，

BC＝y(tǒng)且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的長(zhǎng)．

第11頁(yè)共130頁(yè).

12.如圖，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于E.求證：AB+AC=2AE.

③角平分線+平行線=等腰三角形

模型分析：

由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．

解題通法：平行線與角分線組合在一起會(huì)得到等腰三角形．

模型精練：

（2017啟正單元考）

13.（2017啟正單元考）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、

F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．

第12頁(yè)共130頁(yè).

14.如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于

F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____m．

15.如圖，已知AB//CD，BE平分ABC，CDE150，則C（）

A.105°B.120°C.130°D.150°

16.如圖，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于E，∠A=60o，∠BDC=95o，

則∠BED的度數(shù)是（）

A.35°B.70°C.110°D.130°

17.如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC，

則△ADE的周長(zhǎng)等于________________．

第13頁(yè)共130頁(yè).

18.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、

F.

(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.

(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問(wèn)中EF

與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?

(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB

于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.

第14頁(yè)共130頁(yè).

19.如圖，在矩形ABCD中，AB8，BC6，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)P作PQ//AC交AB

邊于點(diǎn)Q，把線段PB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至PE（點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E落在線段PQ上，若AE恰好平分BAC，

則BP的長(zhǎng)為_(kāi)________．

④三線合一（中垂線）

模型分析：

BO是∠ABC的平分線，EF⊥BO，則BEO≌△BFO．

△

解題通法：角平分線，高線，中線其中兩者重合時(shí)也能得到另外的一條件，即此時(shí)三線合一，角平分線的所有性

質(zhì)均可使用．

第15頁(yè)共130頁(yè).

模型精練：

20.如圖，在ABO中，OAOB，AOB90，AD平分OAB，OEAD于E，交AB于F.求

證：（1）ODBF；（2）ADOF2DE.

21.如圖，如圖，AOB40，OC平分AOB，直尺與OC垂直，則∠1等于_________．

模型三：內(nèi)外角平分線的夾角

①兩內(nèi)角平分線的夾角

在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點(diǎn)G，則∠BGA和∠A之間的關(guān)系是：

1

BGC90A．

2

解題通法：三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的和．（當(dāng)兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角的角

分線夾角=90）

第16頁(yè)共130頁(yè).

模型精練：

22.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，則∠BOC=()

A.105°B.115°C.125°D.135°

23.如圖，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．點(diǎn)P到EF的距離為_(kāi)____．

24.如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC

于F，過(guò)點(diǎn)G作GDAC于D，下列四個(gè)結(jié)論：

①EFBECF；

1

②BGC90A；

2

③點(diǎn)G到ABC各邊的距離相等；

④設(shè)GDm，AEAFn，則S△AEFmn.

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

第17頁(yè)共130頁(yè).

②兩外角平分線的夾角

模型分析：

1

如圖，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分線，則∠O與∠A之間的關(guān)系為：O90A．

2

△△

解題通法：三角形兩外角的平分線的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的差．

模型精練：

25.如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝

_____．

第18頁(yè)共130頁(yè).

26.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.

探究1：如圖l，在ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)

1

∠BOC=90+∠A△,理由如下：

2

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

11

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB

22

111

∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A

222

11

∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A

22

11

(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與

22

∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)探究3：如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有

怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC

與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

第19頁(yè)共130頁(yè).

27.（1）如圖（a），BD平分ABC，CD平分ACB.

①當(dāng)A60時(shí)，求D的度數(shù).

②猜想A與D有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

（2）如圖（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，

請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過(guò)程）.

第20頁(yè)共130頁(yè).

28.(1)探究1:如圖1,P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點(diǎn),若∠A=70°，則

∠BPC=_______度；

(2)探究2:如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，求∠BPC與∠A

的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由．

(3)拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點(diǎn)，設(shè)∠A+∠D=α.,

直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；

第21頁(yè)共130頁(yè).

③一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角

模型分析：

如圖，在ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P，則∠P與∠A之間的關(guān)

△1

系是:PA．

2

解題通法：三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半．當(dāng)該條件累計(jì)平分時(shí)得到夾角

n

1

=A（n為累計(jì)平分的次數(shù)）

2

模型精練：

如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得；和

29.ABCAmABCACDA1A1A1BCA1CD

∠∠

的平分線交于點(diǎn)A2，得A2A2015BC和A2015CD的平分線交于點(diǎn)A2016，則A2016__________度．

如圖，，的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，

30.AABC,ACDP1P1BC,P1CDP2

P2BC，P2CD的平分線相交于點(diǎn)P3……以此類推，則Pn的度數(shù)是___________（用含n與的代

數(shù)式表示）．

第22頁(yè)共130頁(yè).

31.如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、

BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．

32.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．

1

（1）如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試證明∠BOC＝90°+∠A

2

（2）如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的

關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的

關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

第23頁(yè)共130頁(yè).

④內(nèi)角平分線與高線的夾角

模型分析：

1

如圖，在ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC，則∠EAD=|BC|（絕對(duì)值是因?yàn)椴淮_定AE與AD的位

2

置）△

解題通法：三角形同一頂點(diǎn)的角分線與高線的夾角=兩底角差的絕對(duì)值的一半．

模型精練：

33.如圖所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，BAC50，C70，

求DAC、BOA的度數(shù).

34.如圖，在ABC中，AD、AE分別是ABC的高和角平分線，B50，C60°，則

∠DAE__________度．

35.如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，那么∠DAE

=______度．

第24頁(yè)共130頁(yè).

模型四：角平分線在矩形中的應(yīng)用

①矩形的翻折

模型分析：

1.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿EF折疊，若AED＝40，則∠DEF的度數(shù)為（）

A.40B.50C.60D.70

【解析】

解：由翻折不變性可知：∠DEF=∠FED′，

∵AED40，

∴DED140，

1

∴DEFDED70，

2

故選D．

解題通法：矩形的翻折遵照著圖形對(duì)稱的原則，折痕就是對(duì)稱軸，即角平分線所在的直線；矩形的翻折中默認(rèn)存

在直角，這一結(jié)論在求角度時(shí)常結(jié)合兩銳角互余，當(dāng)在求邊的長(zhǎng)度是常結(jié)合勾股定理求解．

模型精練：

￠￠

36.長(zhǎng)方形如圖折疊，D點(diǎn)折疊到D的位置，已知∠DFC＝40°，則∠EFC＝（）

A.120°B.110°C.105°D.115°

37.如圖,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊(點(diǎn)F在BC上,不與B,C重合),使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形內(nèi)

部的點(diǎn)E處,若FH平分∠BFE,則∠GFH的度數(shù)是____.

第25頁(yè)共130頁(yè).

38.把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，得到如圖所示的圖形，AD平分∠B′AC，則

∠B′CD=______．

39.如圖折疊一張矩形紙片，已知∠1=70°，則∠2的度數(shù)是__．

40.如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的

∠CFE的度數(shù)是____________°．

41.如圖1，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，E點(diǎn)在邊AD上，F(xiàn)、G分別在邊AB、CD上，分別以EF、EG

為折痕進(jìn)行折疊并壓平，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A′和點(diǎn)D′，若ED′平分∠FEG，且ED'在AEF

內(nèi)部，如圖2，設(shè)∠A′ED'=n°，則∠FED′的度數(shù)為_(kāi)__________(用含n的代數(shù)式表示)．

第26頁(yè)共130頁(yè).

模型五：角平分線在圓中的應(yīng)用

①圓外一點(diǎn)的切線（切線長(zhǎng)定理）

模型分析：

如圖，P為圓外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，則PA=PB．

解題通法：用HL證明直角三角形的全等，由全等的性質(zhì)得到角平分線，這一過(guò)程也說(shuō)明角平分線上的點(diǎn)到角兩

邊的距離相等．

模型精練:

42.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝20°，求∠P的度數(shù)．

43.已知：PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E三點(diǎn)，PA＝6．求：

（1）PCD的周長(zhǎng)；

（2）若△∠P＝50°，求∠COD的度數(shù)．

44.如圖，AB是O直徑，BD,CD分別過(guò)O上點(diǎn)B,C的切線，且BDC110，連接AC．求A

的度數(shù).

第27頁(yè)共130頁(yè).

45.如圖，在ABC中，C90，點(diǎn)O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的O與AB相

切于點(diǎn)D，AEBO交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．證明：∠AOE＝∠BAE．

②內(nèi)心（內(nèi)角平分線）與面積

模型分析：

(ABBCAC)

圓O是三角形ABC的內(nèi)接三角形，此時(shí)稱點(diǎn)O是三角形ABC的內(nèi)心，則SABC

2

解題通法：三角形的內(nèi)心通常結(jié)合三角形的面積與周長(zhǎng)一起考查，常常通過(guò)角平分先性質(zhì)定理得到半徑相等作為

突破口，結(jié)合面積公式求解．

模型精練：

47.已知：如圖，PA、PB是O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，Q為AB上一點(diǎn)，過(guò)Q點(diǎn)作O的切

線，交PA、PB于E、F點(diǎn)，已知PA12cm，求PEF的周長(zhǎng)．

第28頁(yè)共130頁(yè).

48.我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如

圖1，O與ABC的三邊AB,BC,AC分別相切于點(diǎn)D,E,F,則ABC叫做O的外切三角形.以此類

推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，O與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分

別相切于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形ABCD叫做O的外切四邊形．

（1）如圖2，試探究圓外切四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：

ABCDADBC(橫線上填“>”，“<”或“=”)；

（2）利用圖2證明你的猜想(寫出已知，求證，證明過(guò)程)；

（3）用文字?jǐn)⑹錾厦孀C明的結(jié)論：；

（4）若圓外切四邊形的周長(zhǎng)為32,相鄰的三條邊的比為2:5:6，求此四邊形各邊的長(zhǎng)．

第29頁(yè)共130頁(yè).

49.已知：如圖，PA,PB,DC分別切圓C于點(diǎn)A,B點(diǎn)．

（1）若P=40，求COD；

（2）若PA=10cm，求△PCD的周長(zhǎng)．

50.已知PA，PB分別切⊙O于A，B，E為劣弧AB上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)的切線交PA于C，交PB于D.

(1)若PA＝6，求PCD的周長(zhǎng)；

(2)若∠P＝50°，△求∠DOC.

第30頁(yè)共130頁(yè).

51.如圖，已知ABC的周長(zhǎng)是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，

ABC的面積是_△____．

△

52.如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．

（1）求BF的長(zhǎng)；

（2）求⊙O的半徑r．

第31頁(yè)共130頁(yè).

53.如圖，ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC邊上有一點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），I為APC的

內(nèi)心，若∠A△IC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，則m+n＝_____．△

模型六：內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理

①內(nèi)角平分線定理

模型分析：

在ABC中，若AD是∠BAC的平分線，

求證△：AB:ACBD:CD

證明：分別以AB、AC為底計(jì)算ABD的面積與ACD的面積

由于高相等（角平分線上任意一點(diǎn)△到角的兩邊距離△相等）

因此＝

SABD:SACDAB:AC

又因?yàn)椋剑ǚ謩e以、為底，高相同）．

SABD:SACDBD:CDBDCD

所以AB:AC=BD:CD

第32頁(yè)共130頁(yè).

解題通法：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例．

模型精練：

54.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分線，CE⊥BD，垂足是E，BA

和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

（1）在圖中找出與△ABD全等的三角形，并說(shuō)出全等的理由；

（2）說(shuō)明BD=2EC；

（3）如果AB=5，直接寫出AD的長(zhǎng)為．

②外角平分線定理

模型分析：

△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

求證：BD:CDAB:AC．

證明：過(guò)C作AD的平行線交AB于點(diǎn)E．

∵EC//AD

∴BD:CDAB:AE，∠1=∠3，∠2=∠4

∵AD為∠BAC的外角平分線

∴∠1=∠2

∴∠3=∠1=∠2=∠4

∴AE=AC

∴BD:CDAB:AC

解題通法：三角形兩邊之比等于其夾角的外角平分線外分對(duì)邊之比．

第33頁(yè)共130頁(yè).

數(shù)學(xué)模型-倍長(zhǎng)中線模型

模型分析：倍長(zhǎng)中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過(guò)程中，給出中線，

通過(guò)延長(zhǎng)輔助線的方法證明三角形全等及其他，達(dá)到解題的目的．

其主要的圖形特征和證明方法如下圖：

已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點(diǎn)，

輔助線：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使AO=DO，

結(jié)論：△AOB≌△DOC

證明：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使AO=DO，

由中點(diǎn)可知，OB=OC，

在△AOB和△DOC中

OAOD

AOBDOC

OBOC

∴△AOB≌△DOC

同理在下圖中仍能得到△AOB≌△DOC

規(guī)律總結(jié)：由倍長(zhǎng)中線法證明三角形全等的過(guò)程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長(zhǎng)線后

出現(xiàn)的對(duì)頂角決定的．

補(bǔ)充：關(guān)于倍長(zhǎng)中線的其他模型

①向中線做垂直，易證△BEO≌△CDO

第34頁(yè)共130頁(yè).

步驟：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B，C分別向AD作垂線，垂足為E，D，

易證△BEO≌△CDO(AAS)

②過(guò)中線做任意三角形證明全等，易證△BDO≌△CEO

步驟：在AC上任意選取一點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使EO=DO，連接BD，

易證△BDO≌△CEO(SAS)

實(shí)例精練：

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD2AD8，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.BF4B.ABC2ABF

C.EDBCEBD.S四邊形DEBC2SVEFB

第35頁(yè)共130頁(yè).

2.如圖，ABCD，BCD90，AB1,BCCD2,E為AD上的中點(diǎn)，則BE＝______．

3.如圖，ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AC于F，BEAC，且BF9，

CF6，那么AF的長(zhǎng)度為_(kāi)_．

1

4.如圖，平行四邊形ABCD中，CEAD于E，點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)，ADCD，CEF40，則

2

AFE_________

5.已知：如圖所示，AD平分BAC，M是BC的中點(diǎn)，MF//AD，分別交CA延長(zhǎng)線，AB于F、E．

求證：BE=CF．

第36頁(yè)共130頁(yè).

6.如圖所示，在ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

交AB于點(diǎn)G，若BGCF，求證：AD為BAC的平分線.

7.已知：如圖所示，在ABC中，AD為中線，BF交AD,AC分別于E,F，如果BEAC，求證：

AFEF．

8.如圖所示，AD為ABC的角平分線，E,F分別在BD,AD上，DCDE，若EF∥AB．

求證：EFAC．

9.如圖所示，在ABC中，AD為中線，BAD90,AB2AD，求DAC的度數(shù)．

第37頁(yè)共130頁(yè).

10.已知：如圖，在ABC中，C90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且EDFD

于D.求證：AE2BF2EF2.

11.閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖，AD為△ABC

中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．

經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：

思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可

以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．

思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝

∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．

完成下面問(wèn)題：

（1）①思路一的輔助線的作法是：；

②思路二的輔助線的作法是：．

（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，

不需要寫出證明過(guò)程）．

第38頁(yè)共130頁(yè).

12.閱讀

（1）閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

解決此問(wèn)題可△以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE（或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)180°得到EBD），把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三邊的△關(guān)系即可判斷．

中線AD的取△值范圍是________；△

（2）問(wèn)題解決：

如圖②，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，

連接EF，求△證：BE+CF＞EF；

（3）問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角

的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)