高等數(shù)學教程（第4版）課件：微分中值定理及其應用

微分中值定理及其應用定理4.1(費馬引理)

4.1費馬引理與函數(shù)最值

設在點

的某鄰域內有定義，并且在處可導,如果對于任意證不妨設有所以,由函數(shù)在可導及極限的保號性,有推論4.1(最值的必要條件)的點稱為函數(shù)的駐點.

設如果存在,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要條件,最大、最小值點只可能是駐點、不可導點或區(qū)間的端點.求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點和不可導點;2.求出區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,3.在實際問題的應用中,問題本身可以保證目標是最小值;比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就種思想求應用問題的最值.函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這例4.1

求函數(shù)在[-1,4]上的最大值解計算與最小值.(-1,4)內駐點比較得,最大值最小值解駐點:可能是不可導點.與最小值.練習

求函數(shù)在的最大值比較得,最大值最小值例4.2欲建造一個糧倉,糧倉內下部為圓柱形,頂部解則建造糧倉所需材料的總價為為半球形.設用于建造圓柱形部分的材料的單價為由題意有用于建造半球形部分的材料單價為如果糧食只能儲存在圓柱形部分,且規(guī)定糧倉儲藏量為問如何選取圓柱形的尺寸才能使造價最低？故代入上式得求導得令得駐點

所求問題的最小值一定存在,故駐點就是問題的最小值點,唯一駐點,即當時,

造價最低.例4.3在一個半徑為R的廣場中心安裝一燈塔,解則問燈塔多高時才能使廣場周圍的路上最亮？由物理知識有,照度.

求導得

所求問題的最大值一定存在,故駐點就是問題的最大值點,當燈塔的高度為時,

能使廣場周圍的路上最亮.令得唯一駐點例4.4鐵路線上段的距離為工廠距處為垂直于(見圖).為了運輸需要,要在線上選定一點向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每公里貨運的費用與公路上每公里的費用之比為3:5.為了使貨物從供應站運到工廠的運費最少,問點應選在何處？則解則設鐵路上每公里貨運的費用為,公路上每公里的費用,從點到點的總運費為,故時,求導得令得唯一駐點

所求問題的最小值一定存在,故駐點就是問題的最小值點,總運費最少.定理4.2(羅爾定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導;(3)使得4.2

羅爾定理及其應用證如果函數(shù)f(x)滿足:必有最大值M和最小值m.由費馬引理

推論4.2可微函數(shù)的任意兩個零點之間至少(1)若有的一個零點．例4.5

證明是方程的唯一實根.證令矛盾.由羅爾定理,原命題得證.使得例4.6若在上有三階導數(shù),且證由羅爾定理,使得則在內至少有一點,使得而故使得故使得原命題得證.練習

設常數(shù)滿足:試證方程分析：注意到在(0,1)內存在一個實根.證設且

由羅爾定理即在(0,1)內可導,兩種常用的構造輔助函數(shù)的方法：

1.常數(shù)k法基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k，通過恒等變形將含有k的式子寫成的形式，

然后用羅爾定理則就是需要的輔助函數(shù),進行證明.例4.7設分析證令整理得羅爾定理,使得故即例4.8設分析證令整理得羅爾定理,使得故即2.因子法如果待證等式為

如果作輔助函數(shù)且只要因此,另一因子可通過確定.(f(x)是一個因子)則例4.9設分析:問題轉化為證使得證明：對任意的正整數(shù)n,證設輔助函數(shù)在[0,1]上用羅爾定理,使得即于是即例4.10設分析:問題轉化為證使得證明：證設輔助函數(shù)在[a,b]上用羅爾定理,使得即于是即練習

若分析:問題轉化為證輔助函數(shù)F(x)證明:存在證設輔助函數(shù)命題得證即4.3.1拉格朗日中值定理定理4.3(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導;使得4.3

拉格朗日中值定理及其應用如果函數(shù)f(x)滿足:幾何解釋:分析:則

在曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線平行于弦AB.令證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或記則有取在之間用拉格朗日中值定理,有限增量公式例4.11證明證令故證命題得證.練習證明當推論4.3設證例4.12證明當證而故例4.13設證即推論4.4設函數(shù)單調遞增;單調遞減.4.3.2函數(shù)的單調性在(a,b)內可導.證(1)由拉格朗日中值定理在[a,b]上在[a,b]上解注1:

推論4.4對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注2:區(qū)間內個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,例4.14證明函數(shù)在內單調遞增.

且函數(shù)的單調區(qū)間求法:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的,然后判定區(qū)間內導數(shù)的符號.則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.駐點和不可導點,可能是單調區(qū)間的分界點．解定義域為例4.16討論函數(shù)的單調性.

導數(shù)不存在;由介值定理：例4.17討論方程在內的實根解原方程在內至少有一實根.綜上所述,原方程在內有且僅有一個實根.因此,原方程在內至多有一實根.的個數(shù).證令則只須證明單調增加.而單調增加.從而練習證明由拉格朗日中值定理4.4

極值與凹凸性4.4.1函數(shù)的極值定義4.1

的一個極大值(或極小值),

如果在x0的

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)設在x0

附近有定義,某個空心鄰域內,恒有注意:

極值的概念是一個局部性的概念,它僅涉取得極值的點x0稱為極值點.及函數(shù)在一點附近的性質.定理4.4

(極值的必要條件)注意:可導函數(shù)的極值點必定是駐點.例如,但駐點不一定是極值點.則必有設在點處可導,且在處取得極值,

另外:連續(xù)函數(shù)的不可導點,也可能是極值點.例如,設函數(shù)在x0

處連續(xù),定理4.5(極值的第一充分條件)在x0的某個空心鄰域內可導,則(1)如果時,且

時,則在處取得極大值;(2)如果時,且時,則在處取得極小值;(3)如果在的左、右兩側同號,則在處無極值.是極值點情形不是極值點情形證(1)在x0的某個空心鄰域內,有單調遞減,故由故在處取得極大值.由故有單調遞增,在該空心鄰域內,有求函數(shù)極值的基本步驟:(3)求出各極值點處的函數(shù)值,得到相應的極值.和駐點;是否變號,確定該點是否為極值點.

如果是極值點,進一步確定是極大值點還是(1)求出

的所有可能的極值點,即不可導點(2)對(1)中求得的每個點,根據(jù)在其左、右極小值點;解例4.18求函數(shù)的極值點和極值.例4.19求函數(shù)的極值.解極大值極小值函數(shù)在其定義域內連續(xù).導數(shù)不存在;不存在無極值不存在定理4.6(極值的第二充分條件)

注意:則設

在

處具有二階導數(shù),且(1)當時,函數(shù)在處取得極大值;(2)當時,函數(shù)在處取得極小值.此時仍需用定理4.5.極大值極小值證(1)在x0的某個空心鄰域內,有有

在處取得極大值.所以,由二階導數(shù)的定義,并注意到由極限的保號性,由定理4.5,例4.20求函數(shù)的極值.解函數(shù)在其定義域內連續(xù).解得駐點4.4.2曲線的凹凸性及拐點

函數(shù)的單調增或減在幾何上就是曲線上升或下

左圖中的曲線弧是向下凸的,它具有兩個特征:

(1)連接曲線上任意兩點的弦(2)曲線切線的斜率單調遞增.

曲方向.

降(由左向右),除此之外,我們還需要了解曲線的彎上方;

總位于這兩點間的曲線弧的右圖中的曲線弧是向上凸的,它具有兩個特征:

(1)連接曲線上任意兩點的弦(2)曲線切線的斜率單調遞減.

有時把向下凸的弧稱為凹的,而把向上凸的弧下方;

總位于這兩點間的曲線弧的稱為凸的.曲線的這種性質稱作曲線的凹凸性.

如果單調遞增,

定義4.2設在區(qū)間I可導,如果單調遞減,

在區(qū)間I是向上凸的,或稱凸的.定理4.7

設且

有且

有現(xiàn)只說明

(1).連接曲線上點

和的弦的中點為

對應曲線上的點為

弦在曲線的上方即為

解例4.21判斷曲線的凹凸性.解例4.22判斷曲線的凹凸性.定義4.3連續(xù)曲線上凹凸性發(fā)生變化的點稱為曲線的拐點.定理4.8(拐點的第一充分條件)

設函數(shù)在x0的某鄰域內連續(xù)，在去心空心鄰域內存在,(1)(2)定理4.9(拐點的第二充分條件)

曲線的拐點.解例4.23求曲線的拐點及凹凸區(qū)間.

例4.24證明證令所以曲線在上是嚴格向下凸的.有即1.垂直漸近線

(垂直于x軸的漸近線)4.4.3函數(shù)圖形的描繪一條漸近線.移向無窮點時,如果點P到某定直線L的距離趨向于零,如果例如有兩條垂直漸近線:2.水平漸近線

(平行于x軸的漸近線)例如有兩條水平漸近線:如果3.斜漸近線如果即且注意:解如果定義域為練習

求的漸近線.不存在;不存在;可以斷定不存在斜漸近線.所以,是曲線的垂直漸近線.所以,是曲線的一條斜漸近線.因(1)確定函數(shù)的定義域、間斷點、奇偶性和周期性.和拐點.(2)確定曲線的漸近線,把握函數(shù)的變化趨勢.

確定曲線的凹凸性(4)適當計算曲線上一些點的坐標,如極值,拐點的坐標,注意曲線是否與坐標軸是否有交點.函數(shù)作圖的具體步驟可歸納如下:

(3)求出函數(shù)的單調性和極值,例4.25描繪函數(shù)的圖形.解函數(shù)非奇非偶.定義域為水平漸近線:垂直漸近線:無斜漸近線.極大值拐點列表確定函數(shù)單調區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:作圖拐點極大值補充點水平漸近線:垂直漸近線:極大值拐點4.5

單調性與不等式

本節(jié)重點介紹如何利用函數(shù)的單調性證明證1由上式得拉格朗日中值定理的條件,例4.26證明當不等式,其理論基礎仍然是拉格朗日中值定理.證2先證當又因即再證當證設則于是例4.27證明當例4.28證明當證設則即即(1)式成立.證原不等式等價于練習證明不等式設例4.29設證明:其中證(1)不妨設則于是

(1)得證;(2)由(1)有再由數(shù)學歸納法,(2)得證.

(2)式稱為詹生(Jensen)不等式.特別地,取

取即即“調和平均-幾何平均-算術平均”不等式.用可得證練習證明當設則即例4.30證明楊氏不等式證1即得

其中

因此

證2即得楊氏不等式.

于是原不等式等價于

等價于

注

令

由楊氏不等式得稱為Cauchy-Schwarz(柯西-許瓦茲)不等式.即上式稱為H?lder不等式.

或定理4.10(柯西中值定理)

使得4.6柯西中值定理與洛必達法則(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導,且4.6.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿足:由拉格朗日定理,分析使得再由已知令有整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理條件證即由羅爾定理,使得即由得練習設證使得即使得練習設函數(shù)證結論可變形為使得即存在一點則定理4.11如果滿足條件:證由不妨設設x是該鄰域內一點由定理的條件得在的某鄰域內連續(xù),故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是定理的條件,可繼續(xù)使用洛必達法則.說明:如果滿足即證畢例4.31求解例4.32求解練習求解注意:

洛必達法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結合使用,效果更好.定理4.12(洛必達法則)則

為了方便,我們把六種不同的極限方式都用表示,洛必達法則的一般形式如下.如果滿足條件:例4.33求解例4.34求解我們用“0”和“

”分別表示無窮小和無窮大.未定式包括以上七種形式的極限稱為未定式的極限.

其它五類未定型可化為方法:例4.35求解型例4.36求解型例4.37求解方法:型例4.38求解設則例4.39求解例4.40驗證極限存在,但不能用洛必達法則求得.

解不滿足洛必達法則的條件,故不能應用洛必達法則.不存在,也不是無窮大.

由于數(shù)列沒有導數(shù),所以不能直接用洛必達法則求數(shù)列的極限.數(shù)列未定式的極限有時可轉化為函數(shù)未定式求得.

例4.41求數(shù)列的極限如果則解令則由得4.7泰勒公式

在實際問題中,往往希望用一些簡單的函數(shù)來而多項式函數(shù)就是最簡單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點附近的多項式近似.設n是給定的正整數(shù),

我們考慮在點附近用n次即其中

近似代替復雜的函數(shù).多項式來近似函數(shù)在實際應用時,必須考慮這種近似的誤差.

我們用來表示,它是一種相對誤差.

如果存在,我們所能期待的最理想的結果是:

當n=1且存在時,滿足(4-2)式的一次多項式是存在的.

由有即滿足(4-2)式的一次多項式為于是有設存在,則注意到

定理4.13(帶有皮亞諾型余項的泰勒公式

)稱為在處的n階泰勒多項式.其中證令只需證則連續(xù)使用(n-1)次洛必達法則,有(4-3)式可寫成其中(4-3)式稱為帶皮亞諾型余項的n階泰勒公式,(4-3)式中的稱為皮亞諾型余項.例4.42設函數(shù)證明:當k為奇數(shù)時,不是的極值點;

當k為偶數(shù),且時,是的極

時,是的極大值點.小值點,證由泰勒公式有即因此當k為奇數(shù)時,不是的極值點;當k為偶數(shù),且時,是的極小點;是的極大點.定理4.14(帶有拉格朗日型余項泰勒公式

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項.現(xiàn)在考慮函數(shù)在區(qū)間上的多項式近似.

希望把函數(shù)在一個點的泰勒多項式作為這個函數(shù)在區(qū)

間上的一種近似表示.為此,

需要對誤差進一步分析.

證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.而誤差估計式為稱為f(x)的帶皮亞諾型余項的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n階麥克勞林公式.注意到解因例4.44

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.45

利用帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式,求于是解因練習計算

解練習

將

的多項式.而例4.46

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.47

近似計算的值，并估計誤差.在的麥克勞林公式中,

解其誤差取得到要使誤差不超過,只要,取,于是規(guī)定

4.8

曲率4.8.1弧長的微分

單調增函數(shù)弧長的微分（簡稱弧微分）.曲率是描述曲線局部性質(彎曲程度)的量.))弧段彎曲程度越大轉角相同弧段越短1.曲率的定義)轉角越大彎曲程度越大4.8.2曲率及其計算公式

設曲線C是光滑的,曲線的彎曲程度與轉角成正比,與弧長成反比.定義4.4

)yxo（則稱其極限值為曲線C在點M處的曲率.曲率

曲率的計算公式由曲率的計算公式得設曲線由參數(shù)方程給出,

因所以所以直線的曲率恒為零.證明：例4.48證明：直線的曲率恒為零.不妨設圓的參數(shù)方程為證明：例4.49證明：圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù).于是曲率為例4.50求拋物線上曲率最大的點.解顯然,當時,k最大.所以,拋物線在頂點處的曲率最大.定義4.5

使曲率中心,曲率半徑.設曲線

y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為k(k≠0).在點M處的曲線的法線上,在凹的一側取一點D,稱此圓為曲線在點M處的曲率圓.4.8.3曲率圓與曲率半徑以D為圓心,為半徑作圓(如圖).(1)曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的(2)曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處(3)曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點注曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).的曲率越小(曲線越平坦);附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).曲率互為倒數(shù),即第四章導數(shù)的應用分析：只要證存在證設函數(shù)例1若函數(shù)使得使得分析:只要證存在證設函數(shù)例2設函數(shù)使得使得證明在例3