2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題04 基本不等式（九大題型+模擬精練）（解析版）

專(zhuān)題04基本不等式（九大題型+模擬精練）目錄：01基本不等式的內(nèi)容辨析02利用基本不等式比較大小03利用基本不等式求最值04條件等式求最值05基本不等式“1”的妙用06對(duì)勾函數(shù)、類(lèi)對(duì)勾函數(shù)求最值07基本不等式在其他模塊的應(yīng)用08高考新考法—以生活情境、傳統(tǒng)文化等為背景考查基本不等式09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題01基本不等式的內(nèi)容辨析1．（21-22高一下·廣東深圳·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值判斷A、C，利用重要不等式判斷B，作差可判斷D；【解析】解：對(duì)于A：若、時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若、時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：D2．（2022高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，且，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對(duì)于A，利用基本不等式判斷，對(duì)于B，由已知結(jié)合完全平方式判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，利用基本不等式判斷【解析】對(duì)于A，由基本不等式可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，且，所以，，所以且，所以D正確，故選：C3．（22-23高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】B【分析】利用重要不等式判斷A、B、利用特殊值判斷C，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：B02利用基本不等式比較大小4．（2023·河南開(kāi)封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用基本不等式求解，注意等號(hào)成立條件.【解析】，∵，∴等號(hào)不成立，故；，∵，∴等號(hào)不成立，故，綜上，.故選：A.5．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，則下列不等式中正確的有.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；

②③；

④.【答案】①【分析】解方程得到，，，再利用作差法和基本不等式得解.【解析】因?yàn)?，所以或，所以或，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，所以，，對(duì)于①②，，所以，所以①正確，②錯(cuò)誤.對(duì)于③④，，因?yàn)?,所以或者.所以③④錯(cuò)誤.故答案為：①03利用基本不等式求最值6．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可得解.【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值是.故選：D.7．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】用基本不等式求解即可.【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；故選：B8．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【解析】由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選:D04條件等式求最值9．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式直接計(jì)算即可.【解析】由題意得，，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C10．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解析】，，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A05基本不等式“1”的妙用11．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【解析】易知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故選：B12．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【解析】實(shí)數(shù)，，由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B06對(duì)勾函數(shù)、類(lèi)對(duì)勾函數(shù)求最值13．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.【解析】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.14．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為．【答案】＋1【分析】先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求出有最小值.【解析】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數(shù)f（x）的最小值為；故答案為：.15．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)取值的集合為．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求得的最大值，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【解析】，∴，，令，，當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，∴，解得或（舍去），∴的取值集合．故答案為：.07基本不等式在其他模塊的應(yīng)用16．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】設(shè)出公比，先由得到，利用基本不等式可得，得到“”是“”的充分條件，再通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的必要條件，故得結(jié)論.【解析】因數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，則，由可得，故，而，由知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故，此時(shí)，故“”是“”的充分條件；由可得，則，而，故不一定能得到.如時(shí)，滿(mǎn)足，但是，故“”不是“”的必要條件.即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.17．（22-23高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)且時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的最小值為4C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】對(duì)AD，舉反例判斷即可；對(duì)B，根據(jù)基本不等式成立的條件判斷即可；對(duì)C，根據(jù)基本不等式判斷即可.【解析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，但當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：C18．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式，將等式左邊轉(zhuǎn)化為因式表示，求解即可.【解析】因?yàn)?，得：（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），即得：，則，得：，所以的最小值為，故選：A.19．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明，然后證明對(duì)總存在相應(yīng)的使得，即可說(shuō)明的取值范圍是.【解析】一方面有，及.另一方面，對(duì)，存在滿(mǎn)足，，.所以的取值范圍是.故選：C.20．（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】，．可得．代入，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解析】，．．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．，即三角形面積的最大值為．故選：A．21．（2023·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式可得，運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為16.故選：C.22．（2023·江蘇常州·一模）設(shè)為復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則復(fù)數(shù)的模的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，易知，則，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【解析】由題意知，設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則，若，則，等式不成立，所以，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以的取值范圍為.故選：B.23．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線T于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線T的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，如圖，根據(jù)拋物線的定義和梯形的中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用即可求解.【解析】設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，過(guò)點(diǎn)A，B分別作，垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)G，W，

由拋物線的定義可知，，由梯形的中位線可知．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以所以，故的最大值為．故選：B24．（20-21高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）在中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則的周長(zhǎng)為（

）A．17 B．18 C．19 D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)【答案】C【分析】利用基本不等式可得，從而可求三角形的周長(zhǎng).【解析】注意到，結(jié)合均值不等式，可得且，因此的周長(zhǎng)為．故選：C.25．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【分析】是的邊長(zhǎng)，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【解析】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：.26．（2023·上海靜安·二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】利用偶函數(shù)的定義求出，則，設(shè)，利用基本不等式，即可求出結(jié)果．【解析】函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?7．（22-23高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知，直線與互相垂直，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)，由兩直線垂直的充要條件，可得，所以，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解析】根據(jù)，直線與直線互相垂直，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．則ab的最小值等于，故答案為:.28．（2024·湖南·二模）若銳角滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值.【解析】.于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.故選：D.29．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的體積為．【答案】【分析】根據(jù)棱錐體積公式及基本不等式可得體積最大，然后利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)及球的體積公式即得.【解析】由題可知三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐外接球的直徑為，則，因此，三棱錐外接球的體積為.故答案為：.30．（20-21高三下·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)，是該拋物線上的點(diǎn)，，，線段的中點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為，則的最大值為．【答案】【分析】設(shè)，由勾股定理可得，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，再利用基本不等式可得，即可求出的最大值；【解析】解：如圖所示，設(shè)，，則，而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得結(jié)合平方平均值與算術(shù)平均值的關(guān)系式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，，所以，即的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．08高考新考法—以生活情境、傳統(tǒng)文化等為背景考查基本不等式31．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【分析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，則寬為米，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C32．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為m元和n元，甲、乙兩人購(gòu)買(mǎi)該商品的方式不同，甲每周購(gòu)買(mǎi)100元的該商品，乙每周購(gòu)買(mǎi)20件該商品，若甲、乙兩次購(gòu)買(mǎi)平均單價(jià)分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無(wú)法確定【答案】B【分析】由題意求出的表達(dá)式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【解析】由題意得，，因?yàn)?，故，，即，故選：B33．（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（

）A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039【答案】C【分析】根據(jù)給定的信息，求出的近似值，進(jìn)而求出的近似值.【解析】依題意，，則.故選：C34．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得結(jié)論．【解析】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.35．（2023·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）年米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢龅挠腥?wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長(zhǎng)即可見(jiàn)角最大后人將其稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”，是載入數(shù)學(xué)史上的第一個(gè)極值問(wèn)題我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段或直線上兩點(diǎn)，，則上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)模型：如圖，一條直線垂直于一個(gè)平面，直線有兩點(diǎn)，位于平面的同側(cè)，求平面上一點(diǎn)，使得最大建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)最大時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到結(jié)果.【解析】由題意可知是銳角，且，而，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)槭卿J角，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大.故選：09高考新考法—新定義基本不等式壓軸題36．（23-24高二下·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義曲線在點(diǎn)處的曲率計(jì)算公式為，其中．(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；(2)已知函數(shù)，求曲線的曲率的最大值；(3)已知函數(shù)，若曲率為0時(shí)x的最小值分別為，求證：．【答案】(1)1(2)(3)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)平均曲率的定義，代入計(jì)算可得結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入曲率計(jì)算公式并化簡(jiǎn)變形利用基本不等式可求得曲線的曲率的最大值為；（3）根據(jù)曲率為0可求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可知的兩解分別為，且，令可得，對(duì)整理變形并構(gòu)造函數(shù)可得出證明.【解析】（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，根據(jù)定義可得平均曲率（2）由可得，又可得；所以，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；所以，即曲線的曲率的最大值為.（3）由可得，記，則；同理由可得，記，則，若曲率為0時(shí)，即，可得，化簡(jiǎn)可得；令，則，由可得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，且；則的圖象如下圖所示：又，結(jié)合的圖象可得有兩解，設(shè)這兩解分別為，且，又，因?yàn)樽钚。虼?，由，可設(shè)，故，化簡(jiǎn)可得，則，要證，即證，即，也即，即證，令，則，所以在在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于證明不等式時(shí)，利用雙變量消元技巧找出的關(guān)系式，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)判斷出其單調(diào)性，并求得其最值即可證明得出結(jié)論.一、單選題1．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【解析】由題意知，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)于AB，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于CD，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，結(jié)合基本不等式即可判斷.【解析】因?yàn)椋?，?duì)于A，易得，所以，故A成立.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B成立.對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然等號(hào)不成立，所以，故C不成立.對(duì)于D，因?yàn)榍遥裕蔇成立.故選：C.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則有（

）A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值【答案】C【分析】由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，即，方法一：,則利用基本不等式計(jì)算即可，方法二：利用基本不等式計(jì)算即可.【解析】方法一：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．方法二

因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：C．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則有最小值4B．若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則C．的最小值為D．若，則【答案】D【分析】對(duì)于A，利用即可證明，再給出取等的情況即可得到A正確；對(duì)于B，利用即可證明，得到B正確；對(duì)于C，利用換元法與對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性判斷；對(duì)于D，驗(yàn)證當(dāng)，時(shí)不等式不成立，得到D錯(cuò)誤.【解析】對(duì)于A，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，而當(dāng)時(shí)，有，，從而的最小值是，故A正確；對(duì)于B，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得最小值是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，有，但，故D錯(cuò)誤.故選：D.5．（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，利用基本不等式求解.【解析】由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.所以的最小值為.故選：A.6．（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求周長(zhǎng)的最大值.【解析】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足，如圖，

設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，故，因，為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故四邊形周長(zhǎng)的最大值為，故選：A.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于，兩點(diǎn)．設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】由中點(diǎn)和三等分點(diǎn)得到，結(jié)合，，得到，由三點(diǎn)共線得到，利用均值不等式中“1的代換”求得的最小值.【解析】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，又，，則，而，，三點(diǎn)共線，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故選：B．8．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為6，雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求，再由雙曲線的性質(zhì)，基本不等式計(jì)算即可.【解析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)，易知，，即，而雙曲線的一條漸近線為，易知，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故選：A二、多選題9．（2024·河南信陽(yáng)·一模）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】選項(xiàng)A，將等式應(yīng)用基本不等式求解即可；選項(xiàng)B、C，檢驗(yàn)特殊情況時(shí)的結(jié)果即可判斷；選項(xiàng)D，原不等式等價(jià)于，應(yīng)用基本不等式可得.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，應(yīng)用重要不等式得：（時(shí)取得等號(hào)），接選項(xiàng)A中，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，（當(dāng)時(shí)能取得等號(hào)），即的最小值為，與矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，則，其中，當(dāng)取得等號(hào)，則，即的最小值為，且，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，且，得：，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故D正確；故選：AD．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)不等式，結(jié)合已知等式變形可判斷A，C，D；由可得，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷B.【解析】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，A正確；因?yàn)?，所以，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C錯(cuò)誤；由整理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D正確．故選：AD．11．（2024·浙江·二模）已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿(mǎn)足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進(jìn)而得到只需即可，再依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】要滿(mǎn)足，只需滿(mǎn)足，其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，A選項(xiàng)，，，時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，時(shí)，，B正確；C選項(xiàng)，，，時(shí)，，C正確；D選項(xiàng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.【解析】因?yàn)楦鱾€(gè)個(gè)體的值是有小到大排列的，所以，又總體平均值為，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.故答案為：13．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問(wèn)題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為.【答案】19【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到結(jié)果.【解析】由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：14．（2024·江西上饒·一模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為．【答案】【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即時(shí)，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，故答案為：.四、解答題15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）將已知條件利用兩角和差公式與正弦定理即可計(jì)算出結(jié)果；（2）利用第一問(wèn)的結(jié)果代入的余弦定理表達(dá)式，再利用基本不等式即可得到結(jié)果.【解析】（1）已知，由正弦定理得：，整理得：，……①因?yàn)椤冖诖擘儆校海儆烧叶ɡ淼茫?）由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換計(jì)算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面積公式及基本不等式計(jì)算即可.【解析】（1）由已知可得：，∴，∴，根據(jù)正弦定理可知：，∴．又．（2）∵外接圓的半徑為，∴，解得．又由（1）得，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴，∴的面積最大值為．17．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)A、B在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由兩直線的斜率之商為2以及離心率公式，代入計(jì)算，即可求得從而得道結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線，直線其中一條直線斜率不存在與直線，直線的斜率均存在討論，然后聯(lián)立方程，由三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【解析】（1）設(shè)，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

當(dāng)直線，直線其中一條直線斜率不存在時(shí)，不妨令，此時(shí)面積為；

當(dāng)直線，直線的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程可得，所以，聯(lián)立方程可得，所以，所以，因?yàn)?，又，所以，又，所以面積的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類(lèi)討論以及結(jié)合基本不等式計(jì)算.18．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）利用雙曲線定義證明：方程表示的曲線是焦點(diǎn)在直線上的雙曲線，記為曲線；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，在曲線上，且滿(mǎn)足，求方程；（3）點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的直線與的漸近線交于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)設(shè)，分和兩種情況，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意將代入曲線即可；（3）設(shè)，求的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)可得，代入方程可得，進(jìn)而可求的面積.【解析】（1）設(shè)，顯然在直線上，則，同理可得，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則，，可得；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，可得，則，，可得；綜上所述：，所以方程表示的曲線是焦點(diǎn)在直線上的雙曲線；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，則，又因?yàn)?，可得，所以方程為；?）令，可得，即曲線的漸近線為，由題意可知：直線的斜率可能不存在，但不為0，設(shè)，

聯(lián)立方程，解得