2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率本章知識體系學案含解析北師大版必修3

PAGE第三章概率本章學問體系專題一互斥事務(wù)與對立事務(wù)【例1】甲、乙兩人參與普法學問競賽，共有5個不同的題目．其中，選擇題3個，推斷題2個，甲、乙兩人各抽一題．(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【思路探究】用列舉法把全部可能的狀況列舉出來，或考慮互斥及對立事務(wù)的概率公式．【解答】把3個選擇題記為x1，x2，x3,2個推斷題記為p1，p2.總的事務(wù)數(shù)為20.“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的狀況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的狀況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的狀況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到推斷題”的狀況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．(1)“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到推斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙兩人都抽到推斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).【規(guī)律方法】“互斥事務(wù)”和“對立事務(wù)”都是就兩個事務(wù)而言的，互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)，而對立事務(wù)是其中必有一個要發(fā)生的互斥事務(wù)，因此，對立事務(wù)必需是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)．當一個事務(wù)包含幾種狀況時，可把事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事務(wù)的并事務(wù)，再利用概率的加法公式計算．求“至多”“至少”型的概率問題時，先理解題意，明確所求事務(wù)包含哪些事務(wù)，再利用互斥事務(wù)的概率加法公式或?qū)α⑹聞?wù)的概率公式解決．某服務(wù)電話，打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1；響第2聲時被接的概率是0.2；響第3聲時被接的概率是0.3；響第4聲時被接的概率是0.35.(1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少？(2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少？解：(1)設(shè)事務(wù)“電話響第k聲時被接”為Ak(k∈N)，那么事務(wù)Ak彼此互斥，設(shè)“打進的電話在響5聲之前被接”為事務(wù)A，依據(jù)互斥事務(wù)概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事務(wù)“打進的電話響4聲而不被接”是事務(wù)A“打進的電話在響5聲之前被接”的對立事務(wù)，記為eq\o(A,\s\up6(－)).依據(jù)對立事務(wù)的概率公式，得P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.專題二古典概型【例2】一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．(1)共有多少個基本領(lǐng)件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】可用枚舉法找出全部的等可能基本領(lǐng)件．【解答】(1)分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，從中摸出2只球，有如下基本領(lǐng)件(摸到1,2號球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10個基本領(lǐng)件．(2)如下圖所示上述10個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，且只有3個基本領(lǐng)件是摸到2只白球(記為事務(wù)A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝eq\f(3,10).【規(guī)律方法】解決古典概型問題的關(guān)鍵是首先明確基本領(lǐng)件是什么，然后分清基本領(lǐng)件總數(shù)n與事務(wù)A所含的基本領(lǐng)件數(shù)m，因此要留意以下幾個方面：①明確基本領(lǐng)件是什么；②試驗是否是等可能性的試驗；③基本領(lǐng)件總數(shù)是多少；④事務(wù)A包含多少個基本領(lǐng)件．一個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個，除顏色外完全相同，已知藍色球3個，若從袋子中隨機取出1個球，取到紅色球的概率是eq\f(1,6).(1)求紅色球的個數(shù)；(2)若將這三種顏色的球分別進行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙的大的概率．解：(1)設(shè)紅色球有x個，依題意得eq\f(x,24)＝eq\f(1,6)，解得x＝4，∴紅色球有4個．(2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事務(wù)A全部的基本領(lǐng)件有(紅1，白1)，(紅1，藍2)，(紅1，藍3)，(白1，紅1)，(白1，藍2)，(白1，藍3)，(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍2，藍3)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共12個．事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件有(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共5個，所以P(A)＝eq\f(5,12).專題三幾何概型【例3】設(shè)有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中每個最小等邊三角形的邊長都是4eq\r(3)cm【思路探究】當且僅當硬幣中心與格線的距離都大于半徑1，硬幣落下后與格線沒有公共點，在等邊三角形內(nèi)作與正三角形三邊距離為1的直線，構(gòu)成小等邊三角形，當硬幣中心在小等邊三角形內(nèi)時，硬幣與三邊都沒有公共點，所以硬幣與格線沒有公共點就轉(zhuǎn)化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問題．【解答】設(shè)A＝{硬幣落下后與格線沒有公共點}，如圖所示，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，則等邊三角形的邊長為4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由幾何概率公式得：P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)2\r(3)2,\f(\r(3),4)4\r(3)2)＝eq\f(1,4).【規(guī)律方法】幾何概型有兩大特征：基本領(lǐng)件的無限性和每個事務(wù)發(fā)生的等可能性．求解此類問題時，常把概率問題等價轉(zhuǎn)化為相應(yīng)問題的測度比問題．常見的測度比有：長度之比、面積之比、體積之比等等，正確區(qū)分幾何概型與古典概型是本章學習的一個難點．假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00至8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事務(wù)A)的概率是多少？解：設(shè)事務(wù)A“父親離開家前能得到報紙”．在平面直角坐標系內(nèi)，以x和y分別表示報紙送到和父親離開家的時間，則父親能得到報紙的充要條件是x≤y，而(x，y)的全部可能結(jié)果是邊長為1的正方形，而能得到報紙的全部可能結(jié)果由右圖中陰影部分表示，這是一個幾何概型問題，μA＝12－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8)，μΩ＝1，所以P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(7,8).專題四概率與統(tǒng)計的綜合問題【例4】某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，b)，(eq\x\to(a)，b)，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，b)其中a，eq\x\to(a)分別表示甲組研發(fā)勝利和失??；b，eq\x\to(b)分別表示乙組研發(fā)勝利和失?。?1)若某組勝利研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分，試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成果的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；(2)若該企業(yè)支配甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)勝利的概率．【思路探究】(1)依據(jù)已知條件分別列出甲、乙兩個小組的研發(fā)成果，利用平均數(shù)、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一組研發(fā)勝利的概率．【解答】(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成果為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均數(shù)為eq\x\to(x)甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3)；方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(2,3))2×10＋(0－eq\f(2,3))2×5]＝eq\f(2,9).乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成果為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為eq\x\to(x)乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)；方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(3,5))2×9＋(0－eq\f(3,5))2×6]＝eq\f(6,25).因為eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組．(2)記E＝{恰有一組研發(fā)勝利}．在所抽得的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)勝利的結(jié)果是(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，共7個．故事務(wù)E發(fā)生的頻率為eq\f(7,15)，將頻率視為概率，即得所求概率為P(E)＝eq\f(7,15).【規(guī)律方法】概率與統(tǒng)計相結(jié)合，是新課標數(shù)學試題的一個亮點，其中所涉及的統(tǒng)計學問是基礎(chǔ)學問，所涉及的概率是古典概型，雖然是綜合題，但是難度不大．某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐，對[25,55)歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6其次組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55)150.3(1)補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采納分層抽樣法抽取6人參與戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊，求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率．解：(1)其次組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為eq\f(0.3,5)＝0.06，頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f(120,0.6)＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由上面可知，其次組的頻率為0.3，所以其次組的人數(shù)為1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為6030＝21，所以采納分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人．設(shè)[40,45)歲中的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊的選法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8種．所以選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為eq\f(8,15).專題五數(shù)形結(jié)合思想【例5】設(shè)點(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按勻稱分布出現(xiàn)，試求方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實數(shù)的概率．【思路探究】試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形的面積，方程有兩個實根構(gòu)成的區(qū)域為圓的外部．【解答】基本領(lǐng)件總體的區(qū)域D的度量為正方形面積，即D的度量為S正方形＝62＝36，由方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實數(shù)，得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，∴p2＋q2≥1.∴當點(p，q)落在如圖所示的陰影部分時，方程的兩根均為實數(shù)，由圖可知，構(gòu)成的區(qū)域d的度量為S正方形－S圓＝36－π，∴原方程的兩根都是實數(shù)的概率為P＝eq\f(36－π,36).【