2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章小結(jié)學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE6-第一章本章小結(jié)

一、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程時(shí)，應(yīng)留意：(1)推斷點(diǎn)P(x0，y0)是否在曲線y＝f(x)上；(2)1°若點(diǎn)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線的斜率為f′(x0)，切線的方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2°若點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)，則設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．【例1】求函數(shù)y＝lneq\r(\f(1－sinx,1＋sinx))的導(dǎo)數(shù)．【分析】采納先化簡后求導(dǎo)的方法來求解．【解】∵y＝eq\f(1,2)[ln(1－sinx)－ln(1＋sinx)]，∴y′＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1－sinx)1－sinx′－\f(1,1＋sinx)1＋sinx′))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－cosx,1－sinx)－\f(cosx,1＋sinx)))＝eq\f(1,2)·eq\f(－cosx1＋sinx＋1－sinx,1－sin2x)＝－secx.【例2】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直線m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線；假如存在，求出k的值；假如不存在，說明理由．【分析】直線y＝kx＋9過定點(diǎn)(0,9)，可先求出過點(diǎn)(0,9)與y＝g(x)相切的直線方程，再考查所求直線是否也是曲線y＝f(x)的切線．【解】(1)因?yàn)閒′(x)＝3ax2＋6x－6a，又f∴3a－6－6a＝0，∴(2)存在．因?yàn)橹本€m恒過定點(diǎn)(0,9)，先求過點(diǎn)(0,9)與曲線y＝g(x)相切的直線方程．設(shè)切點(diǎn)為(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6.∴切線方程為y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將點(diǎn)(0,9)代入得9－3xeq\o\al(2,0)－6x0－12＝－6xeq\o\al(2,0)－6x0，∴3xeq\o\al(2,0)－3＝0，∴x0＝±1，當(dāng)x0＝1時(shí)，g′(1)＝12，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y＝12x＋9；當(dāng)x0＝－1時(shí)，g′(－1)＝0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,9)，所以切線方程為y＝9.下面求曲線y＝f(x)的斜率為12和0的切線方程：由(1)得f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝－11，此時(shí)切線方程為y＝12x－11；當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝2，此時(shí)切線方程為y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切線．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2.當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝－18，此時(shí)切線方程為y＝－18；當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝9，此時(shí)切線方程為y＝9.所以y＝9是公切線．綜上所述當(dāng)k＝0時(shí)，y＝9是兩曲線的公切線．二、函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號推斷函數(shù)的增減性，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在探討曲線改變規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．【例3】已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．【解】(1)因?yàn)閒′(x)＝eq\f(a,1＋x)＋2x－10，x＝3是極值點(diǎn)，所以f′(3)＝eq\f(a,4)＋6－10＝0，因此a＝16.(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(2x2－4x＋3,1＋x)，當(dāng)x∈(－1,1)∪(3，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－1,1)，(3，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，f′(x)＝0，所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln2－9，微小值為f(3)＝32ln2－21，因此f(16)＝16ln17＋162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直線y＝b和y＝f(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范圍為(32ln2－21,16ln2－9)．三、函數(shù)的極值與最值1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號．若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得微小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值．特殊地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或微小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．【例4】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3x＋y＝0平行．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)＝c在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【解】(1)因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn)，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.①當(dāng)0<t≤2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②當(dāng)2<t<3時(shí)，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)、f(x)的改變狀況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋3t2－6tf(x)2－2t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2.f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)時(shí)，g′(x)<0；在x∈(2,3]時(shí)，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0,g2<0,g3≥0))，解得－2<c≤0.四、微積分的應(yīng)用【例5】求定積分．【例6】某技術(shù)監(jiān)督局對一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測時(shí)，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律屬于變速直線運(yùn)動(dòng)，且速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)滿意函數(shù)關(guān)系式v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t20≤t≤10,4t＋6010≤t≤20,14020≤t≤60))，某公司擬購買一臺顆粒輸送儀，要求1min行駛的路程超過7673m，則這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入擬選擇的對象之一？【解】不能．由已知可得s＝eq\i\in(0,10,)t2dt＋eq\i\in(10,20,)(4t＋60)dt＋eq\i\in(20,60,)140dt＝eq\f(1,3)t3|eq\o\a