專題21 與圓有關(guān)的計(jì)算（6大考點(diǎn)）（解析版）

第五部分圓

專題21與圓有關(guān)的計(jì)算（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一弧長(zhǎng)與扇形面積的相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)二與扇形有關(guān)的陰影部分面積計(jì)算

核心考點(diǎn)三圓切線與陰影部分求面積結(jié)合

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)五圓與正多邊形的相關(guān)計(jì)算

核心考點(diǎn)六圓的其他計(jì)算問(wèn)題

新題速遞

核心考點(diǎn)一弧長(zhǎng)與扇形面積的相關(guān)計(jì)算

例1（2021·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB23，ACB60，連接

OA，OB，則AB的長(zhǎng)是（）

24

A．B．C．D．

333

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)O作ODAB于D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)圓周角定理求出AOB，根據(jù)正弦的定義

求出OA，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算求解．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作ODAB于D，

第1頁(yè)共86頁(yè).

1

則ADDBAB3，

2

由圓周角定理得：AOB2ACB120，

∠AOD60，

AD3

OA2

sinAOD3，

2

12024

l，

AB1803

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點(diǎn)D

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時(shí)，圖中陰影部分的面積是_____．

【答案】24﹣634π

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE＝DC＝43，由銳角三角函數(shù)可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，

分別求出扇形EDC和四邊形DCBE的面積，即可求解．

【詳解】解：∵將線段DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

∴DE＝DC＝43，

AD231

∵cos∠ADE，

DE432

∴∠ADE＝60°，

∴∠EDC＝30°，

3048

∴S扇形EDC4π，

360

∵AEDE2AD248126，

∴BE＝AB﹣AE＝436，

第2頁(yè)共86頁(yè).

4364323

∴S四邊形DCBE24﹣63，

2

∴陰影部分的面積＝24﹣634π，

故答案為：24﹣634π．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，BDCE于點(diǎn)D，BC

平分ABD．

(1)求證：直線CE是O的切線；

(2)若ABC30,O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

【答案】(1)見(jiàn)解析

4

(2)3

3

【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及BC平分ABD推導(dǎo)出OCBDCB，即可得出BD∥OC，

從而推出OCDE，即證明得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OFCB于F，利用S陰影S扇形OBCSVOBC即可得出答案．

【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，

∵OBOC，

∴OBCOCB，

∵BC平分ABD，

第3頁(yè)共86頁(yè).

∴OBCDCB，

∴OCBDCB，

∴BD∥OC，

∵BDCE于點(diǎn)D，

∴OCDE，

∴直線CE是O的切線；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OFCB于F，如圖，

∵ABC30，OB2，

∴OF1，BFOBcos303，

∴BC2BF23，

11

∴S△BCOF2313，

OBC22

∵BOF903060，

∴BOC2BOF120，

12024

∴S扇形2，

OBC3603

4

∴S陰影S扇形S3．

OBCOBC3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并

正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)一、弧長(zhǎng)及扇形的面積

設(shè)⊙O的半徑為R，n圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，

（一）弧長(zhǎng)的計(jì)算

第4頁(yè)共86頁(yè).

nR

（1）弧長(zhǎng)公式：l.

180

（2）公式推導(dǎo)：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C2R，所以1的圓心

角所

2RRnR

對(duì)的弧長(zhǎng)是,即,于是n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.

360180180

注意：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑R6cm，計(jì)算20的圓

心角

206

所對(duì)弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成lcm.

180

（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知，l,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

（二）扇形面積的計(jì)算

（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫作扇形。

2

（2）扇形的面積：nR1為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長(zhǎng)。

S扇形=lR,Rl

3602

（3）公式推導(dǎo)：

①在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積SR2，所以圓心角是1的扇

22

形面積是R于是圓心角為的扇形面積是nR

,nS扇形.

360360

21

②nRnR11即其中為扇形的弧長(zhǎng)，為半徑。

S扇形=RlR,S扇形lR,lR

360180222

1

點(diǎn)撥：（1）扇形面積公式SlR與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧

2

長(zhǎng)l看成底，半徑R看成高即可。

21

（2）在求扇形面積時(shí)，可根據(jù)已知條件來(lái)確定是使用公式nR還是

S扇形S扇形lR.

3602

（3）已知S扇形,l,R,n四個(gè)量中任意兩個(gè)，都可以求出另外兩個(gè)。

（4）公式中的“n”與弧長(zhǎng)公式中的“n”的意義是一樣的，表示“1”的圓心角的倍數(shù)，計(jì)算時(shí)不帶單

位。

【變式1】（2022·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為10，ABC為⊙O的內(nèi)接三

1

角形，ABAC，連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，若DBADAB，則劣弧BD的長(zhǎng)

3

度為（）

第5頁(yè)共86頁(yè).

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【分析】連接OB，設(shè)DBAx，則DAB3x，通過(guò)圓周角定理得ACB4x，根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)得CBD5x，再根據(jù)圓周勾股定理列出x的方程，便可求得BOD，進(jìn)而根據(jù)圓弧長(zhǎng)公式求得結(jié)果．

【詳解】解：連接OB，

設(shè)DBAx，則DAB3x，

∵DBAACD，DABDCB，

∴ACBDCADCB4x，

∵ABAC，

∴ABCACB4x，

∴DBCDBAABC5x，

∵CD是⊙O的直徑，

∴DBC90，

∴5x90，

∴x18，

∴DAB=3x54，

∵BOD2DAB108，

10810

∴BD6，

180

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角列出方程．

第6頁(yè)共86頁(yè).

【變式2】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上，點(diǎn)

C是以AB為直徑的圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，O為圓心，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，A，則圖中陰影部分的的面積

為（）（用含的式子表示）

2525525

A．B．C．D．

360720360180

【答案】B

【分析】先證明SBECSADOSDEO和SBCDSABD，得到SDCESBEO，從而得到

2

5225．

S陰影

2360720

【詳解】解：如下圖所示，連接OD，CB，CO，CO交BD于點(diǎn)E，

由題意可得AB32425，

∵A，

∴COB2，

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

∴ODAD，ADCD,

∵AB為直徑，

∴BCAC,

∴OD∥BC，

第7頁(yè)共86頁(yè).

1

∴ODBC，

2

1221111

∴SBCDCODAD，SODDCODAD，SODAD,

BCE233DEO236ADO2

∴SBECSADOSDEO，

∵SBCDSABD,

∴SDCESBEO,

2

∴5225，

S陰影

2360720

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和弧形的面積，解題的關(guān)鍵是證得SDCESBEO．

【變式3】1（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，DABABC80，AOB90，

AB4，則劣弧DC的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

52

【答案】π

9

【分析】連結(jié)OD，OC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得OA22，OABOBA45，再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得DOC50，然后利用弧長(zhǎng)公式求解即可．

【詳解】解：連結(jié)OD，OC，

∵OAOB，AOB90，

∴AOB是等腰直角三角形，

∴AB2=OA2+OB2=2OA2，OABOBA45，又AB4，

∴OAOD22，

∵DABABC80，

∴OBCOCBOADODA35，

∴BOCAOD110，

∴DOC36021109050，

第8頁(yè)共86頁(yè).

5022π52

∴劣弧DC的長(zhǎng)度為π．

1809

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式，掌握

等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

【變式4】（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的鐵皮正六邊形ABCDEF上，剪出一個(gè)扇形CAE．

(1)ACE的度數(shù)為_(kāi)_____．

(2)若將剪下來(lái)的扇形CAE圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)_____．

3

【答案】60##60度

3

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求出ABBC2，BBCD120，進(jìn)而求出陰影部分扇形的半徑AC

?

和圓心角的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐的底面半徑．

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BMAC于點(diǎn)M，

正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，

ABBC2，ABCBCD120，

BACBCA30，

，

BM1，AMCM3

AC23，ACE120303060，

第9頁(yè)共86頁(yè).

?602323

AE的長(zhǎng)為，

1803

設(shè)圓錐的底面半徑為r，

23

則2r，

3

3

即r，

3

3

故答案為：60，．

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形，求弧長(zhǎng)，求圓錐的底面半徑，掌握正六邊形的性質(zhì)以及正六邊形與圓的

相關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)D在O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在O上，AC平分

DAE，AECD于點(diǎn)E．

(1)求證：CD是O的切線．

(2)DF是O的切線，F(xiàn)為切點(diǎn)，若BD2，ADE30，求AF的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析

4

(2)

3

【分析】（1）連接OC，證明OC∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCCD，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；

（2）連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OFDF，根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)求出OF，根據(jù)弧長(zhǎng)公

式計(jì)算，得到答案．

【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示，

OAOC，

第10頁(yè)共86頁(yè).

OACOCA，

AC平分DAE，

OACEAC，

EACOCA，

OC∥AE，

QAECD，

OCCD，

OC為O的半徑，

CD是O的切線；

（2）解：連接OF，

CD是O的切線，DF是O的切線，ADE30，

ODF30，OFDF，

DOF60，OD2OF，

AOF120，

BD2，ODOBBDOF22OF，

OFOC2，

12024

∴AF的長(zhǎng)為：．

1803

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握切線的判定定理、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二與扇形有關(guān)的陰影部分面積計(jì)算

例1（2022·寧夏·中考真題）把量角器和含30角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長(zhǎng)直角邊重合，

移動(dòng)量角器使外圓弧與斜邊相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過(guò)量角器外沿刻度120處（即

OC2cm，BOF120）．則陰影部分的面積為（）

第11頁(yè)共86頁(yè).

2222

A．23cmB．83cm

33

8282

C．83cmD．163cm

33

【答案】C

【分析】先求出∠COF，進(jìn)而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進(jìn)而求出BE，最后用三角形的面積減去扇

形的面積，即可求出答案．

【詳解】在RtOCF中，COF180BOF60，

∴OFC90COF30，

OC2cm，

OF2OC4cm，

連接OE，則OEOF4cm，

∵外圓弧與斜邊相切，

∴∠BEO＝90°，

在Rt△BOE中，B30，

DOE60，OB2OE8cm，

根據(jù)勾股定理得，BEOB2OE243，

2

16041882

S陰影SBOES扇形DOEBEOE43483cm，

2360233

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，

求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．

例2（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰RtABC中，ABAC2，以A為圓心，以AB為半

?

徑作BDC﹔以BC為直徑作CAB．則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）

【答案】2

第12頁(yè)共86頁(yè).

【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積-△ABC的面積+扇形ABC的面積-△ABC的面積，

可根據(jù)各自的面積計(jì)算方法求出面積即可．

【詳解】解：∵等腰RtABC中，ABAC2

∴BC=2

902121

∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1），SABC22=1；

3602222

△

所以陰影部分的面積＝S半圓CAB-SABC+S扇形ACB-SABC112．

22

△△

故答案是：2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計(jì)算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的

和差．

例3（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，CABDBA，連

結(jié)BC，CD．

(1)求證：CD∥AB．

(2)若AB4，ACD30，求陰影部分的面積．

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

2

(2)

3

【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據(jù)∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，

進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）連結(jié)OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形COD的面積相等，繼而得到結(jié)論．

【詳解】（）證明：∵⌒⌒，

1AD=AD

∴∠ACD＝∠DBA，

又∠CAB＝∠DBA，

∴∠CAB＝∠ACD，

∴CD∥AB；

第13頁(yè)共86頁(yè).

（2）解：如圖，連結(jié)OC，OD．

∵∠ACD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAB＝30°，

∴∠AOD＝∠COB＝60°,

∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．

∵CD∥AB，

∴SDOC=SDBC，

△△

∴S陰影=S弓形COD+SDOC=S弓形COD+SDBC=S扇形COD，

△△

∵AB＝4，

∴OA＝2，

npr260創(chuàng)p222

∴S扇形COD===p．

3603603

2

∴S陰影=．

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對(duì)的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及公式是解題的

關(guān)鍵．

【變式1】（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，將半徑為4，圓心角為90的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B落在扇形BAC的弧AC的點(diǎn)B′處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，則陰影部分的面積為（）

243

A．23B．43C．3D．3

332

【答案】B

第14頁(yè)共86頁(yè).

【分析】連接BB，過(guò)A作AFBB于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形ABC和扇形ABC的面積相等，

ABABBCBB4，求出ABB是等邊三角形，求出ABF60，解直角三角形求出BF和AF，再

根據(jù)陰影部分的面積SS扇形ABCS扇形ABBSABB求出答案即可．

【詳解】解：連接BB，過(guò)A作AFBB于F，則AFB90，如圖，

將半徑為2，圓心角為90的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在扇形BAC的弧上的點(diǎn)B處，點(diǎn)C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，

扇形ABC和扇形ABC的面積相等，ABABBCBB4，

ABB是等邊三角形，

ABF60，

BAF30，

1

BFAB2，

2

由勾股定理得：AF＝422223，

陰影部分的面積SS扇形ABCS扇形ABBSABB

904260421

＝423

3603602

4

43

3

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)

點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：如果扇形的圓心角為n，

nr2

扇形的半徑為r,那么扇形的面積S．

360

【變式2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，ABC內(nèi)接于圓O，已知ACB90，ACBC，頂點(diǎn)A，B，

C恰好分別落在一組平行線中的三條直線上，若相鄰兩條平行線間的距離是1cm，則圖中陰影部分的面積

為（）

第15頁(yè)共86頁(yè).

2550252525502525

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

2442

【答案】C

【分析】利用半圓的面積減去ABC的面積，即可得解．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作平行線的垂線，交過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的兩條平行線分別于點(diǎn)E，F(xiàn)，

則：AECCFB90，

∵ACB90，

∴ACEFBC90FCB，

又∵ACBC，

∴△AEC≌△CFBAAS，

∴AECF，

∵相鄰兩條平行線間的距離是1cm，

∴CE3cm，AECF4cm，

∴ACBCAE2CE25cm，

∵ACB90，

∴ABAC2BC252cm，

2

15212550

∴2．

S陰影55(cm)

2224

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求陰影部分的面積．解題的關(guān)鍵是證明三角形全

第16頁(yè)共86頁(yè).

等，求出三角形的邊長(zhǎng)和圓的半徑．

【變式3】（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以AB為直徑作半圓O，C為AB的中點(diǎn)，連接BC，以O(shè)B

為直徑作半圓P，交BC于點(diǎn)D．若AB4，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．

【答案】1##1π

【分析】如圖，連接OC，根據(jù)S陰影S扇形AOCS△CDO求解即可．

【詳解】解：如圖，連接OC，

∵以AB為直徑作半圓O，C為AB的中點(diǎn)，

∴ACBC，OCAB，

∵OB是小圓的直徑，

∴ODB90，

∴ODBC，

∴CDBD，

∵AB4，

∴OAOBOC2，

∴BCOB2OC2222222，

∴ODCDBD2，

90221

∴S陰影S扇形S△221，

AOCCDO3602

∴圖中陰影部分的面積為1．

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算，垂徑定理，垂徑定理的推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理

第17頁(yè)共86頁(yè).

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求面積．垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一

條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備

上述5條中任意2條，則其他3條成立．

【變式4】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，曲線AMNB和MON是兩個(gè)半圓，MN∥AB，大半圓半徑

為4，則陰影部分的面積是______．

【答案】8π8

【分析】連接OM、ON，則OMON，陰影部分面積為扇形MON的面積半圓MON的面積三角形MON

的面積．

【詳解】解：如圖，連接OM、ON，

MN是半圓MON的直徑，

OMON，且OMON4，

11

，22，

SMONOMON448MN4442

22

1290

，2，

S半圓MON=π4224πS扇形MON=π44π

2360

S陰影S扇形MONS半圓MONSMON4π4π88π8，

故答案為：8π8．

【點(diǎn)睛】本題考查了組合圖形的面積計(jì)算，涉及到扇形面積、三角形面積、半圓的面積的計(jì)算，解題的關(guān)

鍵是把不規(guī)則圖形面積計(jì)算通過(guò)割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的已學(xué)過(guò)的圖形面積的計(jì)算．

【變式5】（2022·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，O與BC，AC分別相切于點(diǎn)E，

F，BO平分ABC，連接OA．

第18頁(yè)共86頁(yè).

(1)求證：AB是O的切線；

(2)若BEAC6，O的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

3

(2)10

2

【分析】（1）連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OGAB于點(diǎn)G，如圖，由切線的性質(zhì)得到OEBC，再由角平分線的

性質(zhì)得到OEOG，由此即可證明AB是O的切線；

（2）連接OE，OF，過(guò)點(diǎn)O作OGAB于點(diǎn)G，如圖，先證明四邊形OECF為正方形．得到

ECFCOEOF2．求出BC8，即可求出AB10．證明AO平分BAC，進(jìn)而推出

1135223

OABOBC45，則AOB135．即可得到S陰影SS扇形10210=10．

OABOMN23602

【詳解】（1）證明：連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OGAB于點(diǎn)G，如圖，

∵BC為O的切線，

∴OEBC．

∵BO平分ABC，OGAB，OEBC，

∴OEOG．

∴直線AB經(jīng)過(guò)半徑OG的外端G，且垂直于半徑OG，

∴AB是O的切線；

（2）解：連接OE，OF，過(guò)點(diǎn)O作OGAB于點(diǎn)G，如圖，

∵O與BC，AC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，

第19頁(yè)共86頁(yè).

∴OEBC，OFAC，

∵ACB90，

∴四邊形OECF為矩形，

∵OEOF，

∴四邊形OECF為正方形．

∴ECFCOEOF2．

∵BEAC6，

∴BC8，

∴ABAC2BC210．

由（1）知：OGOE2，

∴OGOF，

∵OGAB，OFAC，

∴AO平分BAC，

∴∠OAB∠BAC．

∵BO平分ABC，

∴OBA∠ABC．

∵ACB90，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

1

∴OABOBCABCBAC45，

2

∴AOB135．

1135223

∴S陰影SS扇形10210=10．

OABOMN23602

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)與判定，

求不規(guī)則圖形面積得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

第20頁(yè)共86頁(yè).

核心考點(diǎn)三圓切線與陰影部分求面積結(jié)合

例1（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于O，PA，PD分別與O

相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，PD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（）

55

A．5B．5C．D．

22224

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得ED,DP的長(zhǎng)，勾股定理求得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)

1

S陰影=SS即可求解．

梯形ACEP2O

【詳解】如圖，連接AC,BD，

邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于O，即CD2，

AC2，AC，BD為O的直徑，ECD90，

PA，PD分別與O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，

EPBD，

四邊形ABCD是正方形，

第21頁(yè)共86頁(yè).

EBD45，

BED是等腰直角三角形，

EDBDAC2，

ACBD,PAAO,PDOD，

四邊形OAPD是矩形，

OAOD，

四邊形OAPD是正方形，

DPOA1，

EPEDPD213，

1

S陰影=SS

梯形ACEP2O

11

23112

22

5

=．

22

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是O的切線，B為切點(diǎn)，OA與O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A

為圓心、以O(shè)C的長(zhǎng)為半徑作EF，分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OC2,AB4，則圖中陰影部分的面積為

__________．

【答案】4

【分析】先證明?ABO90靶,O+?A90,再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形面積即可得到答

案．

【詳解】解：如圖，連接OB，AB是O的切線，

\?ABO90靶,O+?A90,

第22頁(yè)共86頁(yè).

D=D=

設(shè)On1,An2,

OC2,AB4

1

\OB=AE=2,SV=創(chuàng)24=4,

ABO2

npOB2npAE2

\S+S=1+2

扇形BOC扇形AEF360360

+p2

(n1n2)OB90p′4

===p,

360360

\S陰影=4-p.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握“整體求解扇形的面積”是解本題的關(guān)鍵．

例3（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切

線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．

(1)求證：∠ACO＝∠BCP；

(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；

(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)30°

(3)2π﹣23

【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；

（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；

1

（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝3BC，即得SABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去SABC

2

△△

第23頁(yè)共86頁(yè).

即可解題．

【詳解】（1）∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CP是半圓O的切線，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACB＝∠OCP，

∴∠ACO＝∠BCP；

（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，

∵∠ABC＝2∠BCP，

∴∠ABC＝2∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ABC＝2∠A，

∵∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠ACO＝∠BCP＝30°，

∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，

答：∠P的度數(shù)是30°；

（3）由（2）知∠A＝30°，

∵∠ACB＝90°，

1

∴BC＝AB＝2，AC＝3BC＝23，

2

11

∴SABC＝BC?AC＝×2×23＝23，

22

△

1AB2

∴陰影部分的面積是()﹣23＝2π﹣23，

22

答：陰影部分的面積是2π﹣23．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．

【變式1】5．（2023·湖北武漢·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑

第24頁(yè)共86頁(yè).

為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為（）

22163201632214320143

A．B．C．D．

3333

【答案】A

【分析】OH為BC邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到ABACBC8，則可判斷ABC為等邊三角形，

83

則CH4，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到O的

3

83

半徑OEOCCE1，然后利用大圓的面積減去15個(gè)小圓的面積得到陰影部分的面積．

3

【詳解】如圖，OH為BC邊的高

所有小圓相切，

ABACBC8，

ABC為等邊三角形，

OCB30，

OHBC，

CH4，

343

OHCH，

33

83

OC2OH，

3

C與O相切，

83

O的半徑OEOCCE1，

3

陰影部分的面積

第25頁(yè)共86頁(yè).

2

832

1151

3

22163

，

3

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．解

決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．

【變式2】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A與B外切于點(diǎn)P，它們的半徑分別為6和2，直線CD與

它們都相切，切點(diǎn)分別為C，D，則圖中陰影部分的面積是（）

422

A．163B．1636C．163D．163

33

【答案】D

【分析】連接AC,BD,AB，過(guò)點(diǎn)B作BEAC，利用陰影部分的面積等于梯形ABDC的面積減去扇形ACP

的面積減去扇形BPD的面積，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：連接AC,BD,AB，過(guò)點(diǎn)B作BEAC，

∵A與B外切于點(diǎn)P，它們的半徑分別為6和2，直線CD與A，B都相切，

∴ABAPBP628，四邊形CDBE為矩形，

∴CEBD2，

∴AEACCE624，

∴BE641643，

BE3

∴sinA，

AB2

第26頁(yè)共86頁(yè).

∴A60，

∴ABE30，

∴ABD120，

1

∴梯形ABDC的面積是：(62)43163；

2

6036

扇形ACP的面積為：6；

360

12044

扇形BPD的面積為；

3603

22

則陰影部分的面積梯形ABDC的面積扇形ACP的面積扇形BPD的面積163；

3

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面．利用割補(bǔ)法，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，是解題的關(guān)

鍵．同時(shí)考查了圓與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．

【變式3】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E為AB的中

點(diǎn)，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交AD、BC于M、N兩點(diǎn)，與DC切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面

積是______．

93

【答案】93

42

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE和AEM，根據(jù)勾股定理求出AM，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得

到答案．

113

【詳解】解：由題意得，AEABME，

222

A90，

3

AME30，AMME2AE23，

2

AEM60，

同理，BEN60，

MEN60，

第27頁(yè)共86頁(yè).

133603293

陰影部分的面積323293，

22236042

93

故答案為：93．

42

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，A90，O與A的一邊相切于點(diǎn)P，與另一邊相交于

B，C兩點(diǎn)，且AB1，BC2，則扇形BC的面積為_(kāi)___________

2π2

【答案】##π

33

【分析】連接OP，過(guò)O點(diǎn)作OEBC于點(diǎn)E，作BFOP于點(diǎn)F，利用垂徑定理的內(nèi)容得出

1

BECEBC1，再證明四邊形OEBF、四邊形PABF是矩形，即有OPPFOF2，進(jìn)而有

2

OPOBOC2，從而得出△OBC是等邊三角形，即BOC60，利用扇形面積公式求出即可．

【詳解】連接OP，過(guò)O點(diǎn)作OEBC于點(diǎn)E，作BFOP于點(diǎn)F，如圖，

∵OEBC，BC2，

1

∴BECEBC1，

2

∵O與A的一邊相切于點(diǎn)P，

∴APPO，

∵OEBC，BFOP，A90，

∴可得四邊形OEBF、四邊形PABF是矩形，

∵AB1，BC2，

第28頁(yè)共86頁(yè).

∴AB1PF，BEOF1，

∴OPPFOF2，

∴OPOBOC2，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BOC60，

6022

∴S扇形πOPπ，

BOC3603

2

故答案為：π．

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識(shí)，利

用已知得出OPPFOF2是解決問(wèn)題的